登录
7. 试说明代数式$(2x+1)(1-2x+4x^2)-x(3x-1)(3x+1)+(x^2+x+1)(x-1)-(x-3)$的值与$x$的取值无关.
答案
7.解:原式$=2x -4x^2 +8x^3 +1 -2x +4x^2 -9x^3 +x +x^3 +x^2 +x -x^2 -x -1 -x +3 =3$,所以代数式的值与$x$的取值无关.
【创新意识】在学习多项式后，小聪研究了多项式值为0的问题，发现当$mx+n=0$或$px+q=0$时，多项式$A=(mx+n)(px+q)=mpx^2+(mq+np)x+nq$的值为0，把此时$x$的值称为多项式$A$的零点。
(1)已知多项式$(3x+1)(x-2)$，则此多项式的零点为
(2)已知多项式$B=(x-1)(bx+c)=ax^2-(a-1)x-\frac{a}{2}$有一个零点为1，求多项式$B$的另一个零点。
(3)小聪继续研究$(x-3)(x-1),x(x-4)$及$(x-\frac{5}{2})(x-\frac{3}{2})$等，发现在$x$轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线$x=2$对称，他把这些多项式称为“2系多项式”。若多项式$M=(2ax+b)(cx-5c)=bx^2-4cx-2a-4$是“2系多项式”，则$a=$
(1)已知多项式$(3x+1)(x-2)$，则此多项式的零点为
$-\frac{1}{3}$或2
。(2)已知多项式$B=(x-1)(bx+c)=ax^2-(a-1)x-\frac{a}{2}$有一个零点为1，求多项式$B$的另一个零点。
(3)小聪继续研究$(x-3)(x-1),x(x-4)$及$(x-\frac{5}{2})(x-\frac{3}{2})$等，发现在$x$轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线$x=2$对称，他把这些多项式称为“2系多项式”。若多项式$M=(2ax+b)(cx-5c)=bx^2-4cx-2a-4$是“2系多项式”，则$a=$
$\frac{1}{2}$
，$c=$1
。答案
解:(1)$-\frac{1}{3}$或2
(2)依据题意,将$x=1$代入多项式B,得$B=a-(a-1)-\frac{1}{2}a=0$,解得$a=2$.
将$a=2$代入多项式B,得$B=2x^2 -x -1=(x-1)(2x+1)$,令$2x+1=0$,得多项式B的另一个零点为$-\frac{1}{2}$.
(3)$\frac{1}{2}$ 1 点拨:$\because M=(2ax+b)(cx-5c)$,
$\therefore M$的两个零点分别是$-\frac{b}{2a}$和5.
根据“2系多项式”的定义,有$-\frac{b}{2a}+5=4$,化简,得$b=2a$.
将$b=2a$代入多项式M进行化简,
得$M=(2ax+b)(cx-5c)=2ac(x+1)(x-5)=2ac(x^2 -4x -5)=2acx^2 -8acx -10ac$,
$M=bx^2 -4cx -2a -4=2ax^2 -4cx -2a -4$,
$\therefore 2ac=2a,-8ac=-4c$,
整理,得$a=\frac{1}{2},c=1$.
(2)依据题意,将$x=1$代入多项式B,得$B=a-(a-1)-\frac{1}{2}a=0$,解得$a=2$.
将$a=2$代入多项式B,得$B=2x^2 -x -1=(x-1)(2x+1)$,令$2x+1=0$,得多项式B的另一个零点为$-\frac{1}{2}$.
(3)$\frac{1}{2}$ 1 点拨:$\because M=(2ax+b)(cx-5c)$,
$\therefore M$的两个零点分别是$-\frac{b}{2a}$和5.
根据“2系多项式”的定义,有$-\frac{b}{2a}+5=4$,化简,得$b=2a$.
将$b=2a$代入多项式M进行化简,
得$M=(2ax+b)(cx-5c)=2ac(x+1)(x-5)=2ac(x^2 -4x -5)=2acx^2 -8acx -10ac$,
$M=bx^2 -4cx -2a -4=2ax^2 -4cx -2a -4$,
$\therefore 2ac=2a,-8ac=-4c$,
整理,得$a=\frac{1}{2},c=1$.
