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1.(2025重庆江津区期末)在“设计学校田径运动会比赛场地”活动中,某同学在设计铅球场地时,了解到铅球场地由圆与扇形的一部分组成.若扇形两条半径的夹角约为$34°55'12''$,则它的补角的度数为
145°4′48″
.答案
1. 145°4′48″
解析
【分析】
解题时首先明确补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角，因此求已知角的补角只需用180°减去已知角即可。其次要注意度、分、秒采用60进制运算规则，即1°=60′、1′=60″，减法运算中如果低位不够减，需要向高位借1当60，所以可以先把180°转化为179°59′60″的形式，再对应度、分、秒分别相减就能得到结果。
【解析】
根据补角的定义，该扇形圆心角的补角为：
$180° - 34°55'12''$
依据度分秒60进制的规则，将$180°$换算为$179°59'60''$再进行减法运算：
$179°59'60'' - 34°55'12'' = (179°-34°)+(59'-55')+(60''-12'') = 145°4'48''$
【答案】
$145°4'48''$
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础类运算题，核心考查补角的性质和度分秒的计算规则，易错点是度分秒减法的借位操作，熟练掌握60进制的运算规则即可快速正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角，因此求已知角的补角只需用180°减去已知角即可。其次要注意度、分、秒采用60进制运算规则，即1°=60′、1′=60″，减法运算中如果低位不够减，需要向高位借1当60，所以可以先把180°转化为179°59′60″的形式，再对应度、分、秒分别相减就能得到结果。
【解析】
根据补角的定义，该扇形圆心角的补角为：
$180° - 34°55'12''$
依据度分秒60进制的规则，将$180°$换算为$179°59'60''$再进行减法运算：
$179°59'60'' - 34°55'12'' = (179°-34°)+(59'-55')+(60''-12'') = 145°4'48''$
【答案】
$145°4'48''$
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础类运算题，核心考查补角的性质和度分秒的计算规则，易错点是度分秒减法的借位操作，熟练掌握60进制的运算规则即可快速正确作答。
【难度系数】
0.8
2. (2026河北邢台期末)一个标准的400 m跑道由两段平行的直道和两段半径相等的半圆形弯道组成.
(1)某跑道的示意图如图1所示,该跑道第一分道的总长度为400 m,直道长为100 m.某运动员在该跑道的第一分道上完成1 000 m跑比赛,他需要跑
(2)某中学建成一个如图2所示的田径运动场,总占地面积为420a m²,其中足球场的长为100 m,宽为2a m,两端的缓冲区均是直径为2a m的半圆.
①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米?(用含a的代数式表示,结果保留π)
②若塑胶跑道的建造费用为每平方米100元,则当a=30时,塑胶跑道的建造费用是多少元?(π取3)
(1)某跑道的示意图如图1所示,该跑道第一分道的总长度为400 m,直道长为100 m.某运动员在该跑道的第一分道上完成1 000 m跑比赛,他需要跑
2.5
圈.若终点位于D处,则起点应在B
(填“A”“B”“C”或“D”)处.(2)某中学建成一个如图2所示的田径运动场,总占地面积为420a m²,其中足球场的长为100 m,宽为2a m,两端的缓冲区均是直径为2a m的半圆.
①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米?(用含a的代数式表示,结果保留π)
②若塑胶跑道的建造费用为每平方米100元,则当a=30时,塑胶跑道的建造费用是多少元?(π取3)
答案
2. 解:(1)2.5;B
(2)①由题意得 100×2a + π×(2a/2)² = 200a + πa²,
所以足球场和缓冲区的总面积是(200a+πa²)m².
②420a-(200a+πa²)=220a-πa²,
当a=30时,220a-πa²=220×30-3×30²=3 900,
3 900×100=390 000(元).
答:塑胶跑道的建造费用是390 000元.
(2)①由题意得 100×2a + π×(2a/2)² = 200a + πa²,
所以足球场和缓冲区的总面积是(200a+πa²)m².
②420a-(200a+πa²)=220a-πa²,
当a=30时,220a-πa²=220×30-3×30²=3 900,
3 900×100=390 000(元).
答:塑胶跑道的建造费用是390 000元.
解析
【分析】
(1) 第一空：已知单圈跑道长400m，求跑1000m的圈数，直接用总路程除以单圈长度即可计算。第二空：2.5圈包含2整圈和半圈，2整圈会回到起点，只需判断半圈的起点位置，若终点在D处，半圈对应的起点就是B处。
(2) ① 分别计算足球场和缓冲区的面积再相加：足球场是长方形，按长方形面积公式计算；两个半圆形缓冲区可拼成一个完整的圆，按圆的面积公式计算，最后求和即可。② 先求出塑胶跑道的面积（总占地面积减去足球场和缓冲区的总面积），再代入a=30、π=3求出具体面积，最后乘每平方米的建造费用就能得到总费用。
【解析】
(1) 跑的圈数：$1000÷400=2.5$（圈）；
2.5圈即跑2整圈后再跑半圈（200m），若终点为D，半圈的起点为B，因此起点应在B处。
(2) ① 足球场面积：$100×2a=200a$（$\mathrm{m}^2$），
两个半圆缓冲区拼成1个整圆，半径为$2a÷2=a$（$\mathrm{m}$），圆的面积为$π× a^2=π a^2$（$\mathrm{m}^2$），
则总面积为$200a+π a^2$（$\mathrm{m}^2$）。
② 塑胶跑道面积：$420a-(200a+π a^2)=220a-π a^2$，
当$a=30$，$π=3$时，代入得：
$220×30-3×30^2=6600-2700=3900$（$\mathrm{m}^2$），
总建造费用：$3900×100=390000$（元）。
【答案】
(1) $2.5$；$B$
(2) ① $\boxed{(200a+π a^2)\mathrm{m}^2}$；② $\boxed{390000}$元
【知识点】
列代数式、面积计算、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活中的田径场场景出题，融合了路程计算、几何图形面积计算和代数式的应用，解题核心是理清各个量之间的关系和图形的构成，计算时注意代入数值准确即可。
【难度系数】
0.7
(1) 第一空：已知单圈跑道长400m，求跑1000m的圈数，直接用总路程除以单圈长度即可计算。第二空：2.5圈包含2整圈和半圈，2整圈会回到起点，只需判断半圈的起点位置，若终点在D处，半圈对应的起点就是B处。
(2) ① 分别计算足球场和缓冲区的面积再相加：足球场是长方形，按长方形面积公式计算；两个半圆形缓冲区可拼成一个完整的圆，按圆的面积公式计算，最后求和即可。② 先求出塑胶跑道的面积（总占地面积减去足球场和缓冲区的总面积），再代入a=30、π=3求出具体面积，最后乘每平方米的建造费用就能得到总费用。
【解析】
(1) 跑的圈数：$1000÷400=2.5$（圈）；
2.5圈即跑2整圈后再跑半圈（200m），若终点为D，半圈的起点为B，因此起点应在B处。
(2) ① 足球场面积：$100×2a=200a$（$\mathrm{m}^2$），
两个半圆缓冲区拼成1个整圆，半径为$2a÷2=a$（$\mathrm{m}$），圆的面积为$π× a^2=π a^2$（$\mathrm{m}^2$），
则总面积为$200a+π a^2$（$\mathrm{m}^2$）。
② 塑胶跑道面积：$420a-(200a+π a^2)=220a-π a^2$，
当$a=30$，$π=3$时，代入得：
$220×30-3×30^2=6600-2700=3900$（$\mathrm{m}^2$），
总建造费用：$3900×100=390000$（元）。
【答案】
(1) $2.5$；$B$
(2) ① $\boxed{(200a+π a^2)\mathrm{m}^2}$；② $\boxed{390000}$元
【知识点】
列代数式、面积计算、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活中的田径场场景出题，融合了路程计算、几何图形面积计算和代数式的应用，解题核心是理清各个量之间的关系和图形的构成，计算时注意代入数值准确即可。
【难度系数】
0.7
3. (2025江苏南通海安市期末)七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动.
素材:
学校操场的部分跑道的示意图如图所示,操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成. 400 m标准跑道的直道长约84.4 m,第一分道的总长度为400 m. 一般设置8条跑道,每道宽1.22 m. 在一个标准的400 m跑道内,200 m,400 m,800 m等比赛的跑道的起点都不同,终点相同.(π取3,跑道分界线的宽度忽略不计)
任务:
(1)某校的操场是400 m标准跑道.
①求第一分道的弯道半径.(结果保留一位小数)
②小明、小勇参加学校运动会200 m比赛,小明在第一分道,小勇在第二分道,小明的速度是5.4 m/s,小勇的速度是4.8 m/s,他们同时跑向同一终点,小明几秒后追上小勇?
(2)小丽、小红参加学校运动会200 m比赛,若小丽在第三分道,小红在最外道,并且最外道的起跑点比第三分道的起跑点前伸10.98 m,求操场最外道的总长度.
素材:
学校操场的部分跑道的示意图如图所示,操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成. 400 m标准跑道的直道长约84.4 m,第一分道的总长度为400 m. 一般设置8条跑道,每道宽1.22 m. 在一个标准的400 m跑道内,200 m,400 m,800 m等比赛的跑道的起点都不同,终点相同.(π取3,跑道分界线的宽度忽略不计)
任务:
(1)某校的操场是400 m标准跑道.
①求第一分道的弯道半径.(结果保留一位小数)
②小明、小勇参加学校运动会200 m比赛,小明在第一分道,小勇在第二分道,小明的速度是5.4 m/s,小勇的速度是4.8 m/s,他们同时跑向同一终点,小明几秒后追上小勇?
(2)小丽、小红参加学校运动会200 m比赛,若小丽在第三分道,小红在最外道,并且最外道的起跑点比第三分道的起跑点前伸10.98 m,求操场最外道的总长度.
答案
3. 解:(1)①(400-2×84.4)÷2÷3≈38.5(m).
答:第一分道的弯道半径约是38.5 m.
②第二分道的弯道半径为38.5+1.22=39.72(m),
小明追上小勇所用的时间为(3×39.72-3×38.5)÷(5.4-4.8)=6.1(s).
答:小明6.1 s后追上小勇.
(2)第三分道的弯道半径为38.5+2×1.22=40.94(m),
最外道的弯道半径为(3×40.94+10.98)÷3=44.6(m),
操场最外道的总长度为84.4×2+2×3×44.6=436.4(m).
答:操场最外道的总长度为436.4 m.
答:第一分道的弯道半径约是38.5 m.
②第二分道的弯道半径为38.5+1.22=39.72(m),
小明追上小勇所用的时间为(3×39.72-3×38.5)÷(5.4-4.8)=6.1(s).
答:小明6.1 s后追上小勇.
(2)第三分道的弯道半径为38.5+2×1.22=40.94(m),
最外道的弯道半径为(3×40.94+10.98)÷3=44.6(m),
操场最外道的总长度为84.4×2+2×3×44.6=436.4(m).
答:操场最外道的总长度为436.4 m.
解析
【分析】
（1）① 400m跑道总长度由2条直道和2个半圆形弯道组成，2个半圆形弯道可拼成1个整圆，因此先从总长度中减去2条直道的长度得到弯道整圆的周长，再根据圆的周长公式$C=2π r$变形求半径即可。
② 200m比赛需跑1条直道加1个半圆形弯道，不同分道的选手路程差来自弯道半周长的差。先求出第二分道的弯道半径，计算出两人的路程差，再根据追及时间=路程差÷速度差代入计算即可。
（2）先求出第三分道的弯道半径，起跑点前伸的长度就是不同分道半周弯道的周长差，据此求出最外道的弯道半径，再根据跑道总长度=2×直道长度+弯道整圆周长计算最外道总长度即可。
【解析】
(1) ① 两个直道总长度：$2×84.4=168.8(\mathrm{m})$
弯道组成的整圆周长：$400-168.8=231.2(\mathrm{m})$
根据圆的周长公式$C=2π r$，$π$取3，得第一分道弯道半径：
$r=231.2÷2÷3\approx38.5(\mathrm{m})$
② 第二分道弯道半径：$38.5+1.22=39.72(\mathrm{m})$
两人200m比赛的路程差为半周弯道的周长差：
$3×39.72 - 3×38.5=3.66(\mathrm{m})$
追及时间=路程差÷速度差：
$3.66÷(5.4-4.8)=6.1(\mathrm{s})$
(2) 第三分道弯道半径：$38.5+2×1.22=40.94(\mathrm{m})$
设最外道弯道半径为$R$，前伸长度为半周弯道周长差：
$3R - 3×40.94=10.98$
解得$R=(3×40.94+10.98)÷3=44.6(\mathrm{m})$
最外道总长度：
$2×84.4 + 2×3×44.6=168.8+267.6=436.4(\mathrm{m})$
【答案】
(1) ①第一分道的弯道半径约是$\boxed{38.5\mathrm{m}}$；②小明$\boxed{6.1\mathrm{s}}$后追上小勇；(2)操场最外道的总长度为$\boxed{436.4\mathrm{m}}$
【知识点】
圆的周长计算，追及问题，实际问题应用
【点评】
本题结合运动会跑道设计的真实场景，综合考查圆的周长、行程追及等知识的应用，解题的核心是理解不同跑道起跑点前伸量的本质是弯道的周长差，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）① 400m跑道总长度由2条直道和2个半圆形弯道组成，2个半圆形弯道可拼成1个整圆，因此先从总长度中减去2条直道的长度得到弯道整圆的周长，再根据圆的周长公式$C=2π r$变形求半径即可。
② 200m比赛需跑1条直道加1个半圆形弯道，不同分道的选手路程差来自弯道半周长的差。先求出第二分道的弯道半径，计算出两人的路程差，再根据追及时间=路程差÷速度差代入计算即可。
（2）先求出第三分道的弯道半径，起跑点前伸的长度就是不同分道半周弯道的周长差，据此求出最外道的弯道半径，再根据跑道总长度=2×直道长度+弯道整圆周长计算最外道总长度即可。
【解析】
(1) ① 两个直道总长度：$2×84.4=168.8(\mathrm{m})$
弯道组成的整圆周长：$400-168.8=231.2(\mathrm{m})$
根据圆的周长公式$C=2π r$，$π$取3，得第一分道弯道半径：
$r=231.2÷2÷3\approx38.5(\mathrm{m})$
② 第二分道弯道半径：$38.5+1.22=39.72(\mathrm{m})$
两人200m比赛的路程差为半周弯道的周长差：
$3×39.72 - 3×38.5=3.66(\mathrm{m})$
追及时间=路程差÷速度差：
$3.66÷(5.4-4.8)=6.1(\mathrm{s})$
(2) 第三分道弯道半径：$38.5+2×1.22=40.94(\mathrm{m})$
设最外道弯道半径为$R$，前伸长度为半周弯道周长差：
$3R - 3×40.94=10.98$
解得$R=(3×40.94+10.98)÷3=44.6(\mathrm{m})$
最外道总长度：
$2×84.4 + 2×3×44.6=168.8+267.6=436.4(\mathrm{m})$
【答案】
(1) ①第一分道的弯道半径约是$\boxed{38.5\mathrm{m}}$；②小明$\boxed{6.1\mathrm{s}}$后追上小勇；(2)操场最外道的总长度为$\boxed{436.4\mathrm{m}}$
【知识点】
圆的周长计算，追及问题，实际问题应用
【点评】
本题结合运动会跑道设计的真实场景，综合考查圆的周长、行程追及等知识的应用，解题的核心是理解不同跑道起跑点前伸量的本质是弯道的周长差，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
