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7. [2025石家庄月考]如图，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，下列选项能判断AB//CD的是（
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠2+∠3=90°
D.∠1+∠2=90°
D
）A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠2+∠3=90°
D.∠1+∠2=90°
答案
7 因为BE平分∠ABC,所以∠ABC=2∠1。因为CE平分∠BCD,所以∠BCD=2∠2,所以∠ABC + ∠BCD = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2)。当∠1 + ∠2 =90°时,∠ABC + ∠BCD = 180°,由“同旁内角互补,两直线平行”可得AB//CD。
8. [2026济南历城区期末]如图,已知点P在直线AB外,在直线AB上任取一点Q,以点Q为圆心,以PQ的长为半径作弧,交直线AB于点M;以点P为圆心,以PQ的长为半径作弧;以点Q为圆心,以PM的长为半径作弧,交前弧于点C;作直线PC,则$PC// AB$的依据为 (
A.同位角相等,两直线平行
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.内错角相等,两直线平行
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C
)A.同位角相等,两直线平行
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.内错角相等,两直线平行
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
答案
8 如图,连接PQ,由等角的作图方法,得∠PQM = ∠CPQ,根据“内错角相等,两直线平行”,可知PC//AB。
9.［2025衡水期末］如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边a，b互相平行的是（
A.如图1，展开后测得∠1 = ∠2
B.如图2，展开后测得∠1 = ∠2且∠3 = ∠4
C.如图3，测得∠1 = ∠2 = 60°
D.如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得AB⊥CD
D
）A.如图1，展开后测得∠1 = ∠2
B.如图2，展开后测得∠1 = ∠2且∠3 = ∠4
C.如图3，测得∠1 = ∠2 = 60°
D.如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得AB⊥CD
答案
9 A项,由∠1 = ∠2,可以判定a//b,理由是“内错角相等,两直线平行”;B项,由∠1 = ∠2且∠3 = ∠4,可得∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 =90°,所以∠2 + ∠4 = 180°,可以判定a//b,理由是“同旁内角互补,两直线平行”;C项,由折叠的性质知∠1 = ∠3,因为∠1 = ∠2 =60°,所以∠3 = ∠2,可以判定a//b,理由是“内错角相等,两直线平行”。
10. [2025甘孜州期末]已知:如图,点F在AB上,EF交BD于G,交CD于E,∠1=∠2,∠3=∠ABE,∠ADC+∠C=180°。求证:AD//EF。
答案
10 证明:
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠ABE = ∠DBC,
又
∵ ∠3 = ∠ABE,
∴ ∠3 = ∠DBC,
∴ EF//BC。
∵ ∠ADC + ∠C = 180°,
∴ AD//BC,
∴ AD//EF。
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠ABE = ∠DBC,
又
∵ ∠3 = ∠ABE,
∴ ∠3 = ∠DBC,
∴ EF//BC。
∵ ∠ADC + ∠C = 180°,
∴ AD//BC,
∴ AD//EF。
11. 一题多解 有一段如图所示的公路，其中$∠ BCD + ∠ B + ∠ D = 360°$，那么该段公路中的AB与ED平行吗？请说明理由。
答案
11 解:AB//ED。理由如下:
通解 如图,过点C作CF//AB,所以∠B + ∠BCF = 180°。
因为∠BCD + ∠B + ∠D = 360°,
所以∠D + ∠DCF = 360° - ∠B - ∠BCF = 360° - (∠B + ∠BCF) = 360° - 180° = 180°,
所以CF//DE,所以AB//ED。
另解 如图,连接BD。
在△BCD中,∠BCD + ∠2 + ∠4 = 180°。
因为∠BCD + ∠ABC + ∠CDE = 360°,∠ABC = ∠1 + ∠2,∠CDE = ∠3 + ∠4,所以∠1 + ∠3 + ∠2 + ∠4 + ∠BCD = 360°,
所以∠1 + ∠3 = 180°,所以AB//ED。
12. 几何直观 已知∠EAC = 90°, ∠1 + ∠2 = 90°, ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4。
(1)如图1,求证:DE//BC。
(2)在图2、图3、图4中,(1)的结论是否仍成立?若成立,请选出一个图形予以证明;若不成立,请说明理由。
(1)如图1,求证:DE//BC。
(2)在图2、图3、图4中,(1)的结论是否仍成立?若成立,请选出一个图形予以证明;若不成立,请说明理由。
答案
(1)证明:因为∠1 + ∠2 = 90°,∠EAC = 90°,
所以∠1 + ∠2 + ∠EAC = 180°,
所以A,B,D三点在同一条直线上。
因为∠1 = ∠3,∠2 = ∠4,
所以∠1 + ∠3 + ∠2 + ∠4 = 2(∠1 + ∠2)。
因为∠1 + ∠2 = 90°,所以∠1 + ∠3 + ∠2 + ∠4 = 180°。
因为∠D + ∠B + ∠1 + ∠3 + ∠2 + ∠4 = 360°,
所以∠D + ∠B = 180°,所以DE//BC。
(2)解:成立。选择题图2证明如下:
如图1,连接EC。
因为∠1 = ∠3,∠2 = ∠4,且∠1 + ∠2 = 90°,
所以∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 = 90°。
因为∠EAC = 90°,
所以∠AEC + ∠ACE = 180° - 90° = 90°,
所以∠AEC + ∠ACE + ∠3 + ∠4 = 180°,
即∠DEC + ∠BCE = 180°,所以DE//BC。
选择题图3证明如下:
如图2,延长AE和CB交于点G,
因为∠GAC = 90°,
所以∠3 + ∠AGC = 90°。
因为∠1 + ∠2 = 90°,∠1 = ∠3,∠2 = ∠4,
所以∠1 + ∠AGC = 90°,∠1 + ∠4 = 90°,
所以∠AGC = ∠4,所以DE//BC。
选择题图4证明如下:
如图3,过点A作AM//DE,所以∠4 = ∠5。
因为∠EAC = 90°,所以∠5 + ∠6 = 90°。
因为∠1 + ∠2 = 90°,∠2 = ∠4,
所以∠2 = ∠5,所以∠1 + ∠5 = 90°,
所以∠1 = ∠6。
因为∠1 = ∠3,所以∠3 = ∠6,
所以AM//BC,所以DE//BC。
