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[典例2]如图，在$△ ABC$中，点D在BC上，点D关于AB，AC对称的对称点分别为点E，F，连接AE，AF，则$∠ EAF$的度数是().
A.$113°$
B.$124°$
C.$129°$
D.$134°$
A.$113°$
B.$124°$
C.$129°$
D.$134°$
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是利用轴对称的性质推导角的数量关系：首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠BAC的度数，再根据轴对称的性质可得AB平分∠EAD、AC平分∠FAD，进而推出∠EAF=2∠BAC，代入计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 62° - 51° = 67°$
∵点D关于AB的对称点为E，由轴对称的性质可知，AB平分$∠ EAD$，即$∠ EAB = ∠ BAD$
同理，点D关于AC的对称点为F，AC平分$∠ FAD$，即$∠ FAC = ∠ CAD$
∴$∠ EAF = ∠ EAB + ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ FAC = 2∠ BAD + 2∠ CAD = 2(∠ BAD + ∠ CAD) = 2∠ BAC$
代入$∠ BAC=67°$，得$∠ EAF = 2×67° = 134°$
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握轴对称的对应角相等的性质，将未知角转化为已知三角形内角的倍数关系求解，计算量较小，思路清晰易推导。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用轴对称的性质推导角的数量关系：首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠BAC的度数，再根据轴对称的性质可得AB平分∠EAD、AC平分∠FAD，进而推出∠EAF=2∠BAC，代入计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 62° - 51° = 67°$
∵点D关于AB的对称点为E，由轴对称的性质可知，AB平分$∠ EAD$，即$∠ EAB = ∠ BAD$
同理，点D关于AC的对称点为F，AC平分$∠ FAD$，即$∠ FAC = ∠ CAD$
∴$∠ EAF = ∠ EAB + ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ FAC = 2∠ BAD + 2∠ CAD = 2(∠ BAD + ∠ CAD) = 2∠ BAC$
代入$∠ BAC=67°$，得$∠ EAF = 2×67° = 134°$
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握轴对称的对应角相等的性质，将未知角转化为已知三角形内角的倍数关系求解，计算量较小，思路清晰易推导。
【难度系数】
0.7
[典例3]如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ CAB$，$BD ⊥ AD$，$DE // AC$. 求证$AE = BE$.
答案
证明：
∵ AD 平分∠CAB，
∴ ∠CAD = ∠EAD。
∵ DE // AC，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE。
∵ BD ⊥ AD，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠EDA + ∠EDB = 90°，∠EAD + ∠EBD = 90°。
又∵ ∠EDA = ∠EAD，
∴ ∠EDB = ∠EBD，
∴ BE = DE。
∴ AE = BE。
∵ AD 平分∠CAB，
∴ ∠CAD = ∠EAD。
∵ DE // AC，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE。
∵ BD ⊥ AD，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠EDA + ∠EDB = 90°，∠EAD + ∠EBD = 90°。
又∵ ∠EDA = ∠EAD，
∴ ∠EDB = ∠EBD，
∴ BE = DE。
∴ AE = BE。
解析
【分析】
要证明AE=BE，可通过寻找中间线段做等量代换推导：首先结合AD平分∠CAB、DE//AC的条件，可推出一组角相等，利用等角对等边得到AE与DE相等；再结合BD⊥AD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，推出另一组角相等，得到BE与DE相等；最后通过等量代换即可证得AE=BE。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠CAD = ∠EAD。
∵ DE // AC，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE。
∵ BD ⊥ AD，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠EDA + ∠EDB = 90°，∠EAD + ∠EBD = 90°。
又
∵ ∠EDA = ∠EAD，
∴ ∠EDB = ∠EBD，
∴ BE = DE。
∴ AE = BE。
【答案】
AE=BE
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的等量关系推导边的等量关系，借助中间线段DE完成两次等角对等边的转化，掌握几何证明里的“中间量代换”思路可以快速解决这类线段相等的证明问题。
【难度系数】
0.7
要证明AE=BE，可通过寻找中间线段做等量代换推导：首先结合AD平分∠CAB、DE//AC的条件，可推出一组角相等，利用等角对等边得到AE与DE相等；再结合BD⊥AD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，推出另一组角相等，得到BE与DE相等；最后通过等量代换即可证得AE=BE。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠CAD = ∠EAD。
∵ DE // AC，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE。
∵ BD ⊥ AD，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠EDA + ∠EDB = 90°，∠EAD + ∠EBD = 90°。
又
∵ ∠EDA = ∠EAD，
∴ ∠EDB = ∠EBD，
∴ BE = DE。
∴ AE = BE。
【答案】
AE=BE
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的等量关系推导边的等量关系，借助中间线段DE完成两次等角对等边的转化，掌握几何证明里的“中间量代换”思路可以快速解决这类线段相等的证明问题。
【难度系数】
0.7
[典例4]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$D,F$分别为$AB,AC$的中点,且$DE⊥ AB$,$FG⊥ AC$,点$E,G$在$BC$上,$BC=18\ \mathrm{cm}$,求线段$EG$的长.
答案
解：
连接AE、AG。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
∵ $D$为$AB$的中点，$DE⊥ AB$，
∴ $DE$是线段$AB$的垂直平分线，
∴ $AE=BE$，
∴ $∠ EAB=∠ B=30°$，
∴ $∠ AEG=∠ B+∠ EAB=60°$。
同理可证：$AG=CG$，$∠ GAC=∠ C=30°$，
∴ $∠ AGE=∠ C+∠ GAC=60°$。
在$△ AEG$中，$∠ EAG=180°-60°-60°=60°$，
∴ $△ AEG$是等边三角形，
∴ $AE=EG=AG$，
∴ $BE=EG=GC$。
∵ $BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $3EG=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $EG=6\ \mathrm{cm}$。
答：线段$EG$的长为$6\ \mathrm{cm}$。
连接AE、AG。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
∵ $D$为$AB$的中点，$DE⊥ AB$，
∴ $DE$是线段$AB$的垂直平分线，
∴ $AE=BE$，
∴ $∠ EAB=∠ B=30°$，
∴ $∠ AEG=∠ B+∠ EAB=60°$。
同理可证：$AG=CG$，$∠ GAC=∠ C=30°$，
∴ $∠ AGE=∠ C+∠ GAC=60°$。
在$△ AEG$中，$∠ EAG=180°-60°-60°=60°$，
∴ $△ AEG$是等边三角形，
∴ $AE=EG=AG$，
∴ $BE=EG=GC$。
∵ $BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $3EG=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $EG=6\ \mathrm{cm}$。
答：线段$EG$的长为$6\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知D是AB中点且DE⊥AB，可知DE是AB的垂直平分线，同理FG是AC的垂直平分线，因此优先考虑连接AE、AG，利用垂直平分线的性质得到相等线段；再结合等腰△ABC的顶角为120°，可算出底角为30°，进一步推导角的度数，判断△AEG的形状，最后结合BC的长度通过等量代换求出EG的长。
【解析】
连接AE、AG。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
∵ $D$为$AB$的中点，$DE⊥ AB$，
∴ $DE$是线段$AB$的垂直平分线，
∴ $AE=BE$，
∴ $∠ EAB=∠ B=30°$，
∴ $∠ AEG=∠ B+∠ EAB=60°$。
同理可证：$AG=CG$，$∠ GAC=∠ C=30°$，
∴ $∠ AGE=∠ C+∠ GAC=60°$。
在$△ AEG$中，$∠ EAG=180°-60°-60°=60°$，
∴ $△ AEG$是等边三角形，
∴ $AE=EG=AG$，
∴ $BE=EG=GC$。
∵ $BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $3EG=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $EG=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过添加辅助线，利用线段垂直平分线的性质完成线段和角的等量转换，进而判断出等边三角形，将BC的长度三等分得到所求线段长度，属于基础综合类典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征，已知D是AB中点且DE⊥AB，可知DE是AB的垂直平分线，同理FG是AC的垂直平分线，因此优先考虑连接AE、AG，利用垂直平分线的性质得到相等线段；再结合等腰△ABC的顶角为120°，可算出底角为30°，进一步推导角的度数，判断△AEG的形状，最后结合BC的长度通过等量代换求出EG的长。
【解析】
连接AE、AG。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
∵ $D$为$AB$的中点，$DE⊥ AB$，
∴ $DE$是线段$AB$的垂直平分线，
∴ $AE=BE$，
∴ $∠ EAB=∠ B=30°$，
∴ $∠ AEG=∠ B+∠ EAB=60°$。
同理可证：$AG=CG$，$∠ GAC=∠ C=30°$，
∴ $∠ AGE=∠ C+∠ GAC=60°$。
在$△ AEG$中，$∠ EAG=180°-60°-60°=60°$，
∴ $△ AEG$是等边三角形，
∴ $AE=EG=AG$，
∴ $BE=EG=GC$。
∵ $BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $3EG=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $EG=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过添加辅助线，利用线段垂直平分线的性质完成线段和角的等量转换，进而判断出等边三角形，将BC的长度三等分得到所求线段长度，属于基础综合类典型题型。
【难度系数】
0.6
[典例5]如图,在△ABC中,∠ACB=30°,DE垂直平分AC,点O在DE上,∠OAB=∠OBA.
(1)求证:△OAB是等边三角形.
(2)若OD=2,OE=4,求BE的长.
典例解析
典例1
答案A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案D
解析 如图,连接AD,DE,DF.
∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点,∴∠EAB=∠BAD,∠FAC=∠CAD.
∵∠B=62°,∠C=51°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°,
∴∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAC+∠CAF=2∠BAC=134°.
故选D.
典例3
证明 ∵DE//AC,
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=ED.
∵BD⊥AD,∴∠ADE+∠EDB=90°,∠DAB+∠ABD=90°.
又∠ADE=∠DAB,
∴∠EDB=∠ABD,∴DE=BE,
∴AE=BE.
典例4
解 如图,连接AE,AG.
∵D为AB中点,ED⊥AB,∴EB=EA,∴△ABE为等腰三角形.同理△AGC为等腰三角形.∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=30°,
∴∠AEG=60°.同理∠AGE=60°,
∴△AEG为等边三角形,
∴AE=EG=AG.
∵AE=BE,AG=GC,∴BE=EG=GC.
∵BE+EG+GC=BC=18 cm,
∴EG=6 cm.
典例5
(1)证明 ∵DE垂直平分AC,∴OA=OC,∠OAC=∠OCA.∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB,∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB.∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°,
∴∠OAC+∠OBC=30°,
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180° - 2×30°)=60°$,∴△OAB是等边三角形.
(2)解 过点O作OF⊥BC于点F(图略),∵OD=2,OE=4,∴DE=OD+OE=6.∵∠ACB=30°,∠CDE=90°,∴CE=2DE=12,∠CED=60°,∴∠EOF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}OE=2$,∴CF=10.
∵OC=OB,OF⊥BC,∴BC=2CF=20,∴BE=BC−CE=20−12=8.
(1)求证:△OAB是等边三角形.
(2)若OD=2,OE=4,求BE的长.
典例解析
典例1
答案A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案D
解析 如图,连接AD,DE,DF.
∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点,∴∠EAB=∠BAD,∠FAC=∠CAD.
∵∠B=62°,∠C=51°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°,
∴∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAC+∠CAF=2∠BAC=134°.
故选D.
典例3
证明 ∵DE//AC,
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=ED.
∵BD⊥AD,∴∠ADE+∠EDB=90°,∠DAB+∠ABD=90°.
又∠ADE=∠DAB,
∴∠EDB=∠ABD,∴DE=BE,
∴AE=BE.
典例4
解 如图,连接AE,AG.
∵D为AB中点,ED⊥AB,∴EB=EA,∴△ABE为等腰三角形.同理△AGC为等腰三角形.∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=30°,
∴∠AEG=60°.同理∠AGE=60°,
∴△AEG为等边三角形,
∴AE=EG=AG.
∵AE=BE,AG=GC,∴BE=EG=GC.
∵BE+EG+GC=BC=18 cm,
∴EG=6 cm.
典例5
(1)证明 ∵DE垂直平分AC,∴OA=OC,∠OAC=∠OCA.∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB,∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB.∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°,
∴∠OAC+∠OBC=30°,
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180° - 2×30°)=60°$,∴△OAB是等边三角形.
(2)解 过点O作OF⊥BC于点F(图略),∵OD=2,OE=4,∴DE=OD+OE=6.∵∠ACB=30°,∠CDE=90°,∴CE=2DE=12,∠CED=60°,∴∠EOF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}OE=2$,∴CF=10.
∵OC=OB,OF⊥BC,∴BC=2CF=20,∴BE=BC−CE=20−12=8.
答案
(1) 证明：
∵ DE垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠OAB=∠OBA，
∴ OA=OB，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴ ∠OAC+∠OBC=30°，
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180° - 2×30°)=60°$，
∴ △OAB是等边三角形。
(2) 解：
过点O作OF⊥BC于点F，
∵ OD=2，OE=4，
∴ DE=OD+OE=6。
∵ ∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴ CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴ ∠EOF=30°，
∴ EF=$\frac{1}{2}OE=2$，
∴ CF=CE-EF=10。
∵ OC=OB，OF⊥BC，
∴ BC=2CF=20，
∴ BE=BC-CE=20-12=8。
∵ DE垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠OAB=∠OBA，
∴ OA=OB，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴ ∠OAC+∠OBC=30°，
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180° - 2×30°)=60°$，
∴ △OAB是等边三角形。
(2) 解：
过点O作OF⊥BC于点F，
∵ OD=2，OE=4，
∴ DE=OD+OE=6。
∵ ∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴ CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴ ∠EOF=30°，
∴ EF=$\frac{1}{2}OE=2$，
∴ CF=CE-EF=10。
∵ OC=OB，OF⊥BC，
∴ BC=2CF=20，
∴ BE=BC-CE=20-12=8。
解析
【分析】
(1) 要证△OAB是等边三角形，已知∠OAB=∠OBA，即△OAB为等腰三角形，只需证明其中一个内角为60°即可。首先根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，结合∠OAB=∠OBA可推得OA=OB=OC，进而得到角的等量关系，再结合∠ACB=30°，利用三角形内角和定理计算出∠OAB=∠OBA=60°，即可完成证明。
(2) 求BE的长可通过BE=BC-CE转化为求BC和CE的长度。先计算DE的总长度，在Rt△CDE中利用含30°角的直角三角形的性质求出CE；过点O作OF⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质可知BC=2CF，再在Rt△OEF中利用含30°角的直角三角形的性质求出EF的长，进而得到CF的长度，算出BC后代入即可求出BE。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠OAB=∠OBA，
∴ OA=OB，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴ ∠OAC+∠OBC=30°，
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180° - 2×30°)=60°$，
∴ △OAB是等边三角形。
(2) 解：
过点O作OF⊥BC于点F，
∵ OD=2，OE=4，
∴ DE=OD+OE=6。
∵ ∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴ CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴ ∠EOF=30°，
∴ EF=$\frac{1}{2}OE=2$，
∴ CF=CE-EF=10。
∵ OC=OB，OF⊥BC，
∴ BC=2CF=20，
∴ BE=BC-CE=20-12=8。
【答案】
(1) △OAB是等边三角形，得证；(2) $\boldsymbol{BE=8}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等边三角形的判定
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了多个几何基础知识点，解题的关键是理清边角之间的等量转化关系，合理构造辅助线利用等腰三角形三线合一和特殊直角三角形的性质简化计算，对几何逻辑推导能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证△OAB是等边三角形，已知∠OAB=∠OBA，即△OAB为等腰三角形，只需证明其中一个内角为60°即可。首先根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，结合∠OAB=∠OBA可推得OA=OB=OC，进而得到角的等量关系，再结合∠ACB=30°，利用三角形内角和定理计算出∠OAB=∠OBA=60°，即可完成证明。
(2) 求BE的长可通过BE=BC-CE转化为求BC和CE的长度。先计算DE的总长度，在Rt△CDE中利用含30°角的直角三角形的性质求出CE；过点O作OF⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质可知BC=2CF，再在Rt△OEF中利用含30°角的直角三角形的性质求出EF的长，进而得到CF的长度，算出BC后代入即可求出BE。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠OAB=∠OBA，
∴ OA=OB，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴ ∠OAC+∠OBC=30°，
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180° - 2×30°)=60°$，
∴ △OAB是等边三角形。
(2) 解：
过点O作OF⊥BC于点F，
∵ OD=2，OE=4，
∴ DE=OD+OE=6。
∵ ∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴ CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴ ∠EOF=30°，
∴ EF=$\frac{1}{2}OE=2$，
∴ CF=CE-EF=10。
∵ OC=OB，OF⊥BC，
∴ BC=2CF=20，
∴ BE=BC-CE=20-12=8。
【答案】
(1) △OAB是等边三角形，得证；(2) $\boldsymbol{BE=8}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等边三角形的判定
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了多个几何基础知识点，解题的关键是理清边角之间的等量转化关系，合理构造辅助线利用等腰三角形三线合一和特殊直角三角形的性质简化计算，对几何逻辑推导能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
