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用科学记数法表示小于1的正数
一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为
n是正整数。
一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为
a×10⁻ⁿ
的形式，其中1≤a＜10，n是正整数。
答案
a×10⁻ⁿ
解析
【分析】
首先明确科学记数法的核心要求：表示结果必须满足$1≤ a＜10$。对于小于1的正数，我们需要将小数点向右移动到第一个非零数字的后面得到$a$，小数点向右移动了几位，为了保证原数大小不变，就要乘10的负几次方，由此就能推导出小于1的正数的科学记数法通用形式。
【解析】
根据科学记数法的规则，小于1的正数转化为科学记数法时，先调整小数点位置得到符合$1≤ a＜10$的数$a$，若小数点共向右移动了$n$位（$n$为正整数），则原数可写为$a×10^{-n}$的形式，完全符合题干给出的$1≤ a＜10$、$n$是正整数的条件。
【答案】
$a×10^{-n}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 负整数指数幂的应用
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对科学记数法表示小于1的正数的形式记忆，掌握科学记数法的基本规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
首先明确科学记数法的核心要求：表示结果必须满足$1≤ a＜10$。对于小于1的正数，我们需要将小数点向右移动到第一个非零数字的后面得到$a$，小数点向右移动了几位，为了保证原数大小不变，就要乘10的负几次方，由此就能推导出小于1的正数的科学记数法通用形式。
【解析】
根据科学记数法的规则，小于1的正数转化为科学记数法时，先调整小数点位置得到符合$1≤ a＜10$的数$a$，若小数点共向右移动了$n$位（$n$为正整数），则原数可写为$a×10^{-n}$的形式，完全符合题干给出的$1≤ a＜10$、$n$是正整数的条件。
【答案】
$a×10^{-n}$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 负整数指数幂的应用
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对科学记数法表示小于1的正数的形式记忆，掌握科学记数法的基本规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
1. 用科学记数法表示小于1的正数
[典例1]用科学记数法表示下列各数：
0.000 1,0.000 13,0.000 000 204,
0.000 000 004 06.
规律总结 确定n的方法:对于小于1的正数,n的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数(包括小数点前的那个0).例如:0.000 031 5这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0,则$n=5$,所以$0.000\ 031\ 5=3.15× 10^{-5}$.
[举一反三]用科学记数法表示下列各数：
(1)0.003 009；
(2)0.000 010 96；
(3)0.000 329.
[典例1]用科学记数法表示下列各数：
0.000 1,0.000 13,0.000 000 204,
0.000 000 004 06.
规律总结 确定n的方法:对于小于1的正数,n的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数(包括小数点前的那个0).例如:0.000 031 5这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0,则$n=5$,所以$0.000\ 031\ 5=3.15× 10^{-5}$.
[举一反三]用科学记数法表示下列各数：
(1)0.003 009；
(2)0.000 010 96；
(3)0.000 329.
答案
1. (1) 0.003 009=3.009×10⁻³.
(2) 0.000 010 96=1.096×10⁻⁵.
(3) 0.000 329=3.29×10⁻⁴.
(2) 0.000 010 96=1.096×10⁻⁵.
(3) 0.000 329=3.29×10⁻⁴.
解析
【分析】
用科学记数法表示小于1的正数时，首先要牢记其标准形式为$a×10^{-n}$，需满足两个要求：一是$1≤ a＜10$，二是$n$为正整数。解题步骤可分为三步：第一步找到原数左起第一个不为0的数字，第二步将原数的小数点向右移动到这个数字的后面得到$a$，第三步数出这个非0数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）得到$n$，最后组合成标准形式即可。
【解析】
按照科学记数法的表示规则逐一计算：
(1) 对于0.003 009：左起第一个不为0的数字是3，它前面共有3个0（含小数点前的0），因此$n=3$，把小数点向右移动3位得到$a=3.009$，即$0.003 009=3.009×10^{-3}$。
(2) 对于0.000 010 96：左起第一个不为0的数字是1，它前面共有5个0（含小数点前的0），因此$n=5$，把小数点向右移动5位得到$a=1.096$，即$0.000 010 96=1.096×10^{-5}$。
(3) 对于0.000 329：左起第一个不为0的数字是3，它前面共有4个0（含小数点前的0），因此$n=4$，把小数点向右移动4位得到$a=3.29$，即$0.000 329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1) $3.009×10^{-3}$
(2) $1.096×10^{-5}$
(3) $3.29×10^{-4}$
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂
【点评】
本题属于科学记数法的基础考察题型，解题的关键是准确确定$a$的取值和负指数$n$的数值，注意不要数错0的个数，也不要遗漏$a$中小数点后的有效数字，熟练掌握规则后可快速求解。
【难度系数】
0.9
用科学记数法表示小于1的正数时，首先要牢记其标准形式为$a×10^{-n}$，需满足两个要求：一是$1≤ a＜10$，二是$n$为正整数。解题步骤可分为三步：第一步找到原数左起第一个不为0的数字，第二步将原数的小数点向右移动到这个数字的后面得到$a$，第三步数出这个非0数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）得到$n$，最后组合成标准形式即可。
【解析】
按照科学记数法的表示规则逐一计算：
(1) 对于0.003 009：左起第一个不为0的数字是3，它前面共有3个0（含小数点前的0），因此$n=3$，把小数点向右移动3位得到$a=3.009$，即$0.003 009=3.009×10^{-3}$。
(2) 对于0.000 010 96：左起第一个不为0的数字是1，它前面共有5个0（含小数点前的0），因此$n=5$，把小数点向右移动5位得到$a=1.096$，即$0.000 010 96=1.096×10^{-5}$。
(3) 对于0.000 329：左起第一个不为0的数字是3，它前面共有4个0（含小数点前的0），因此$n=4$，把小数点向右移动4位得到$a=3.29$，即$0.000 329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1) $3.009×10^{-3}$
(2) $1.096×10^{-5}$
(3) $3.29×10^{-4}$
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂
【点评】
本题属于科学记数法的基础考察题型，解题的关键是准确确定$a$的取值和负指数$n$的数值，注意不要数错0的个数，也不要遗漏$a$中小数点后的有效数字，熟练掌握规则后可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 科学记数法的应用
[典例 2]某杆状细菌长约 2 μm（1 μm=$10^{-6}$ m）.若 1 000 个该杆状细菌依次连接成一条直线，求连接成的这条直线的长度？（结果用科学记数法表示）
[典例 2]某杆状细菌长约 2 μm（1 μm=$10^{-6}$ m）.若 1 000 个该杆状细菌依次连接成一条直线，求连接成的这条直线的长度？（结果用科学记数法表示）
答案
2. 解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}\ (\mathrm{m})$.
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$.
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
解题时先明确总长度的计算逻辑：总长度=单个细菌长度×细菌数量。第一步结合题目给出的μm和m的换算关系，把单个细菌的长度单位换算为m；第二步用细菌总数乘单个细菌的长度得到总长度；最后把计算结果整理为规范的科学记数法形式（要求a×10ⁿ中1≤a＜10，n为整数）即可。
【解析】
解：已知1μm=$10^{-6}$m，因此单个杆状细菌的长度为$2×10^{-6}$m。
1000个该细菌连接成直线的总长度为：
$\begin{aligned}&1000×2×10^{-6}\\=&2×10^3×10^{-6}\\=&2×10^{-3}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$2×10^{-3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
科学记数法；长度单位换算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是科学记数法的实际应用基础题，解题关键是理清总长度的计算逻辑，准确完成单位换算和幂的运算，书写结果时要注意符合科学记数法的规范要求。
【难度系数】
0.8
解题时先明确总长度的计算逻辑：总长度=单个细菌长度×细菌数量。第一步结合题目给出的μm和m的换算关系，把单个细菌的长度单位换算为m；第二步用细菌总数乘单个细菌的长度得到总长度；最后把计算结果整理为规范的科学记数法形式（要求a×10ⁿ中1≤a＜10，n为整数）即可。
【解析】
解：已知1μm=$10^{-6}$m，因此单个杆状细菌的长度为$2×10^{-6}$m。
1000个该细菌连接成直线的总长度为：
$\begin{aligned}&1000×2×10^{-6}\\=&2×10^3×10^{-6}\\=&2×10^{-3}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$2×10^{-3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
科学记数法；长度单位换算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是科学记数法的实际应用基础题，解题关键是理清总长度的计算逻辑，准确完成单位换算和幂的运算，书写结果时要注意符合科学记数法的规范要求。
【难度系数】
0.8
[举一反三]钢轨温度每变化1 ℃，每米钢轨就伸缩0.000 011 8 m，如果一年中气温上下相差40 ℃，那么对于100 m长的铁路，最长可伸长多少米？（结果用科学记数法表示）
典例解析
典例1
解 $0.000\ 1=1× 10^{-4}$；
$0.000\ 13=1.3× 10^{-4}$；
$0.000\ 000\ 204=2.04× 10^{-7}$；
$0.000\ 000\ 004\ 06=4.06× 10^{-9}$.
典例2
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}\ (\mathrm{m})$.
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$.
典例解析
典例1
解 $0.000\ 1=1× 10^{-4}$；
$0.000\ 13=1.3× 10^{-4}$；
$0.000\ 000\ 204=2.04× 10^{-7}$；
$0.000\ 000\ 004\ 06=4.06× 10^{-9}$.
典例2
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}\ (\mathrm{m})$.
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$.
答案
解 100 × 40 × 0. 000 011 8 = 0.047 2=4.72×10⁻²(m).
故最长可伸长4.72×10⁻²m.
故最长可伸长4.72×10⁻²m.
解析
【分析】
解题时首先理清数量关系：钢轨总伸长量=每米钢轨每1℃的伸缩量×气温差×钢轨总长度。先代入三个已知数值进行乘法运算得到总伸长量的具体数值，再按照科学记数法表示小于1的正数的规则（形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，n为原数左起第一个非零数字前所有0的个数）改写结果即可。
【解析】
根据题意列式计算总伸长量：
$\begin{aligned}&100 × 40 × 0.0000118\\=&4000 × 0.0000118\\=&0.0472\end{aligned}$
将$0.0472$用科学记数法表示：$0.0472 = 4.72 × 10^{-2}$（m）
【答案】
最长可伸长$4.72 × 10^{-2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法表示较小数；实际问题列式计算
【点评】
本题结合生活场景考查基础运算能力和科学记数法的应用，难度较低，只要找准数量关系正确计算，熟练掌握科学记数法的改写规则就能得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先理清数量关系：钢轨总伸长量=每米钢轨每1℃的伸缩量×气温差×钢轨总长度。先代入三个已知数值进行乘法运算得到总伸长量的具体数值，再按照科学记数法表示小于1的正数的规则（形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，n为原数左起第一个非零数字前所有0的个数）改写结果即可。
【解析】
根据题意列式计算总伸长量：
$\begin{aligned}&100 × 40 × 0.0000118\\=&4000 × 0.0000118\\=&0.0472\end{aligned}$
将$0.0472$用科学记数法表示：$0.0472 = 4.72 × 10^{-2}$（m）
【答案】
最长可伸长$4.72 × 10^{-2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法表示较小数；实际问题列式计算
【点评】
本题结合生活场景考查基础运算能力和科学记数法的应用，难度较低，只要找准数量关系正确计算，熟练掌握科学记数法的改写规则就能得分。
【难度系数】
0.8
