4. (多选) 已知 $ a, b \in \mathbf { R } $,且 $ a b ＞ 0 $,则下列不等式恒成立的是 ()
A. $ \frac { a + b } { 2 } \geq \sqrt { a b } $
B. $ 2 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) \geq ( a + b ) ^ { 2 } $
C. $ \frac { b } { a } + \frac { a } { b } \geq 2 $
D. $ \left( a + \frac { 1 } { a } \right) \left( b + \frac { 1 } { b } \right) \geq 4 $

BCD 对于 A，当 $ a, b $ 都为负数时不成立，故 A 错误；对于 B，$ 2\left(a^{2}+b^{2}\right)-(a+b)^{2}=(a-b)^{2} \geq 0 $，则 $ 2\left(a^{2}+b^{2}\right) \geq(a+b)^{2} $，故 B 正确；对于 C，$ a b＞0 $，则 $ \frac{b}{a}, \frac{a}{b} $ 都为正数，则 $ \frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}=2 $，当且仅当 $ \frac{b}{a}=\frac{a}{b} $，即 $ a=b $ 时，等号成立，故 C 正确；对于 D，$ \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)=a b+\frac{1}{a b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2+2=4 $，当且仅当 $ a b=\frac{1}{a b} $ 且 $ \frac{b}{a}=\frac{a}{b} $，即 $ a=b=\pm 1 $ 时，等号成立，故 D 正确.

5. 若 $ x ＞ 0 $,则 $ 2 \sqrt { x } + \frac { 3 } { \sqrt { x } } $ 的最小值为 。

$ 2 \sqrt{6} $ 由题意，得 $ 2 \sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{2 \sqrt{x} \cdot \frac{3}{\sqrt{x}}}=2 \sqrt{6} $，当且仅当 $ 2 \sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}} $，即 $ x=\frac{3}{2} $ 时，等号成立，所以 $ 2 \sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}} $ 的最小值为 $ 2 \sqrt{6} $.

6. (一题多解) 已知 $ 0 ＜ x ＜ \frac { 1 } { 3 } $,则 $ x ( 1 - 3 x ) $ 的最大值为 。

(一题多解) $ \frac{1}{12} $ 方法 1：因为 $ 0＜x＜\frac{1}{3} $，所以 $ 1-3 x＞0 $，所以 $ x(1-3 x)=\frac{1}{3} \times 3 x(1-3 x) \leq \frac{1}{3} \times\left(\frac{3 x+1-3 x}{2}\right)^{2}=\frac{1}{12} $，当且仅当 $ 3 x=1-3 x $，即 $ x=\frac{1}{6} $ 时，等号成立，所以 $ x(1-3 x) $ 的最大值为 $ \frac{1}{12} $. 方法 2：令 $ f(x)=x(1-3 x)=-3 x^{2}+x=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{1}{12} $，其图象开口向下，对称轴为 $ x=\frac{1}{6} $. 因为 $ 0＜x＜\frac{1}{3} $，所以当 $ x=\frac{1}{6} $ 时，$ f(x)=x(1-3 x) $ 取得最大值，最大值为 $ \frac{1}{12} $.

7. 已知 $ x ＞ 0 $,求证: $ x + \frac { 2 } { 2 x + 1 } \geq \frac { 3 } { 2 } $。

证明：因为 $ x＞0 $，所以 $ x+\frac{1}{2}＞0 $，所以 $ x+\frac{2}{2 x+1}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}=\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{x+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} $，当且仅当 $ x+\frac{1}{2}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}} $，即 $ x=\frac{1}{2} $ 时，等号成立，故不等式得证.

8. (1) 已知 $ t ＞ 0 $,求 $ y = \frac { t ^ { 2 } - 4 t + 1 } { t } $ 的最小值；

解：(1) $ \because y=\frac{t^{2}-4 t+1}{t}, t＞0 $，$ \therefore y=t+\frac{1}{t}-4 \geq 2 \sqrt{t \cdot \frac{1}{t}}-4=-2 $，当且仅当 $ t=\frac{1}{t} $，即 $ t=1 $ 时，等号成立，故 $ y=\frac{t^{2}-4 t+1}{t} $ 的最小值为 -2.

(2) 已知 $ x ＜ 3 $,求 $ y = x + \frac { 4 } { x - 3 } $ 的最大值。

(2) $ \because x＜3, \therefore 3-x＞0, \therefore \frac{4}{3-x}＞0 $，$ \therefore(3-x)+\frac{4}{3-x} \geq 2 \sqrt{(3-x) \cdot \frac{4}{3-x}}=4 $，当且仅当 $ 3-x=\frac{4}{3-x} $，即 $ x=1 $ 时，等号成立，$ \therefore(x-3)+\frac{4}{x-3} \leq-4 $，$ \therefore y=x+\frac{4}{x-3}=(x-3)+\frac{4}{x-3}+3 \leq-1 $，故其最大值为 -1.

9. 若 $ 0 ＜ x ＜ 1 $,则 $ \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 3 } { 2 x + 2 } $ 的最小值为 。

$ \sqrt{2} $ $ \frac{x^{2}+2 x+3}{2 x+2}=\frac{1}{2}\left(x+1+\frac{2}{x+1}\right) \geq \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{(x+1) \cdot \frac{2}{x+1}}=\sqrt{2} $，当且仅当 $ x+1=\frac{2}{x+1} $，即 $ x=\sqrt{2}-1 $ 时，等号成立，所以 $ \frac{x^{2}+2 x+3}{2 x+2} $ 的最小值为 $ \sqrt{2} $.

10. (天津卷) 若 $ a ＞ 0, b ＞ 0 $,则 $ \frac { 1 } { a } + \frac { a } { b ^ { 2 } } + b $ 的最小值为 。

$ 2 \sqrt{2} $ 因为 $ a＞0, b＞0 $，所以 $ \frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{a}{b^{2}}}+b=\frac{2}{b}+b \geq 2 \sqrt{\frac{2}{b} \cdot b}=2 \sqrt{2} $，当且仅当 $ \frac{1}{a}=\frac{a}{b^{2}} $ 且 $ \frac{2}{b}=b $，即 $ a=b=\sqrt{2} $ 时，等号成立，所以 $ \frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b $ 的最小值为 $ 2 \sqrt{2} $.

11. 已知 $ a ＞ 0, b ＞ 0 $,且 $ \frac { 2 } { a } + \frac { 1 } { b } = 1 $,有下列结论: ① $ 2 a + b $ 的最小值是 9；② $ a b $ 的最大值是 8；③ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ 的最小值是 16；④ $ \frac { 2 } { b - 1 } + \frac { 4 b } { a } $ 的最小值是 4。其中正确的是 。(填序号)
(提示: ① $ 2 a + b = ( 2 a + b ) \cdot 1 = ( 2 a + b ) \cdot \left( \frac { 2 } { a } + \frac { 1 } { b } \right) $；② $ \frac { 2 } { a } + \frac { 1 } { b } \geq 2 \sqrt { \frac { 2 } { a } \cdot \frac { 1 } { b } } $ (当且仅当 $ \frac { 2 } { a } = \frac { 1 } { b } $ 时,等号成立)；③ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq 2 a b $ (当且仅当 $ a = b $ 时,等号成立)；④ 由 $ \frac { 2 } { a } + \frac { 1 } { b } = 1 $,得 $ \frac { 2 } { b - 1 } = \frac { a } { b } $)

①④ 因为 $ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1, a＞0, b＞0 $，所以 $ 2 a+b=(2 a+b)\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2 b}{a}+\frac{2 a}{b}+5 \geq 2 \sqrt{\frac{2 b}{a} \cdot \frac{2 a}{b}}+5=4+5=9 $，当且仅当 $ \frac{2 b}{a}=\frac{2 a}{b} $，即 $ a=b=3 $ 时，等号成立，故①正确；因为 $ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 $，所以 $ 2 \sqrt{\frac{2}{a b}} \leq \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 $，所以 $ a b \geq 8 $，当且仅当 $ \frac{2}{a}=\frac{1}{b} $，即 $ a=4, b=2 $ 时，等号成立，故②错误；因为 $ a^{2}+b^{2} \geq 2 a b, \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 $，当且仅当 $ a=b $，即 $ a=b=3 $ 时，等号成立，所以 $ a^{2}+b^{2} \geq 18＞16 $，故③错误；因为 $ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 $，所以 $ \frac{2}{a}=1-\frac{1}{b}=\frac{b-1}{b} $，所以 $ \frac{2}{b-1}=\frac{a}{b} $，所以 $ \frac{2}{b-1}+\frac{4 b}{a}=\frac{a}{b}+\frac{4 b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{4 b}{a}}=4 $，当且仅当 $ \frac{a}{b}=\frac{4 b}{a} $，即 $ a=4, b=2 $ 时，等号成立，故④正确. 故正确的是①④.