【变式1】某厂家拟在2026年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂家的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x= 4-k/(m+1)(k为常数),如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品的年平均成本的1.5倍(此处每件产品的年平均成本按(8+16x)/x元来计算).
(1)将2026年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.
(2)预计该厂家2026年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 最大利润为多少?

解：(1)由题意，当 $ m = 0 $ 时，$ x = 2 $，则 $ 2 = 4 - k $，得 $ k = 2 $，$\therefore x = 4 - \frac{2}{m + 1}$。
$\because$ 每件产品的销售价格为 $(1.5 \times \frac{8 + 16x}{x})$ 元，
$\therefore y = 1.5x \cdot \frac{8 + 16x}{x} - 8 - 16x - m = 4 + 8x - m = 36 - \frac{16}{m + 1} - m(m \geq 0)$。
(2)$\because$ 当 $ m \geq 0 $ 时，$ m + 1 ＞ 0 $，$\therefore \frac{16}{m + 1} + (m + 1) \geq 2\sqrt{16} = 8$，当且仅当 $\frac{16}{m + 1} = m + 1$，即 $ m = 3 $ 时，等号成立，
$\therefore y = 36 - \frac{16}{m + 1} - m = 37 - (\frac{16}{m + 1} + m + 1) \leq 37 - 8 = 29$，即当 $ m = 3 $ 时，$ y_{\max} = 29 $，故预计该厂家 2026 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 29 万元。

【典例2】如图,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点M在射线AB上,点N在射线AD上,且对角线MN过点C.已知AB= 6m,AD= 4m,设AN的长为x(x＞4)m.
(1)用含x的式子表示矩形花坛AMPN的面积.
(2)(一题多解)当AN,AM的长分别为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小? 最小面积为多少?

解题指导 (1)根据相似列出比例式,可得AM的长,进而得到矩形花坛AMPN的面积.
(2)根据上述解析式的特点,将其化为“积定和最小”形式,利用基本不等式求解.
答案 解:(1)因为AN的长为x(x＞4)m,四边形ABCD为矩形,所以DN/AN= DC/AM,所以AM= 6x/(x-4),所以$S_{矩形AMPN}= AN·AM= 6x^2/(x-4)(x＞4)m^2.(2)($一题多解)令$y= S_{矩形AMPN}= 6x^2/(x-4).$方法1:令t= x-4＞0,则x= t+4,
所以y= 6(t+4)^2/t= 6(t+16/t+8)≥6×(2√{t·16/t}+8)= 96,当且仅当t= 16/t,即t= 4,x= 8时,等号成立,此时AN= 8m,AM= 12m,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为96m^2.
方法2:y= 6x^2/(x-4)= 6(x+4)(x-4)+96/(x-4)= 6(x+4)+96/(x-4)= 6(x-4)+96/(x-4)+48≥2√{6(x-4)·96/(x-4)}+48= 96,当且仅当6(x-4)= 96/(x-4),即x= 8时,等号成立,故AN= 8m,AM= 12m时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为96m^2.