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5. 五年级的 46 个同学去划船，一共乘坐 10 条船，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，正好全部坐满。大船、小船各有多少条？
答案
解：设大船有$x$条，则小船有$(10 - x)$条。
$6x + 4(10 - x) = 46$
$6x + 40 - 4x = 46$
$2x = 6$
$x = 3$
小船：$10 - 3 = 7$（条）
答：大船有3条，小船有7条。
$6x + 4(10 - x) = 46$
$6x + 40 - 4x = 46$
$2x = 6$
$x = 3$
小船：$10 - 3 = 7$（条）
答：大船有3条，小船有7条。
6. 如下图所示，已知阴影部分的面积是 $ 3 \mathrm{ cm}^2 $。求空白部分的面积。
答案
设圆的半径为 $r$。
阴影部分面积为三角形，面积公式为：$\frac{1}{2} × 底 × 高$，
三角形的底和高都等于圆的半径，因此：
$\frac{1}{2} × r × r = 3$。
$r^2 = 6$。
空白部分面积为圆的面积减去三角形的面积，圆的面积公式为：$\pi × r^2$，其中$\pi$取3.14，因此：
$3.14 × 6 - 3 = 18.84 - 3 = 15.84$（$\mathrm{cm}^2$）。
空白部分的面积是 $15.84 \mathrm{ cm}^2$。
阴影部分面积为三角形，面积公式为：$\frac{1}{2} × 底 × 高$，
三角形的底和高都等于圆的半径，因此：
$\frac{1}{2} × r × r = 3$。
$r^2 = 6$。
空白部分面积为圆的面积减去三角形的面积，圆的面积公式为：$\pi × r^2$，其中$\pi$取3.14，因此：
$3.14 × 6 - 3 = 18.84 - 3 = 15.84$（$\mathrm{cm}^2$）。
空白部分的面积是 $15.84 \mathrm{ cm}^2$。
7. 某小学六年级有学生 62 人。如果男生人数的 $ \frac{1}{5} $ 和 8 个女生去参加竞赛，那么剩下的女生人数和男生人数同样多。该小学六年级的男生和女生各有多少人？
答案
设男生有$x$人，则女生有$(62 - x)$人。
$(1 - \frac{1}{5})x = 62 - x - 8$
$\frac{4}{5}x = 54 - x$
$\frac{4}{5}x+x = 54$
$\frac{9}{5}x = 54$
$x = 30$
女生人数：$62 - 30 = 32$（人）
答：该小学六年级男生有$30$人，女生有$32$人。
$(1 - \frac{1}{5})x = 62 - x - 8$
$\frac{4}{5}x = 54 - x$
$\frac{4}{5}x+x = 54$
$\frac{9}{5}x = 54$
$x = 30$
女生人数：$62 - 30 = 32$（人）
答：该小学六年级男生有$30$人，女生有$32$人。
8. 一个分数的分子比分母少 23。如果分子加上 5，分母减少 3，那么新的分数约分后是 $ \frac{2}{3} $。求原来的分数。
答案
设原分数的分子为$x$，因为分子比分母少23，则分母为$x + 23$。
分子加上5，分母减少3后，新分数为$\frac{x + 5}{(x + 23)-3}=\frac{x + 5}{x + 20}$。
已知新分数约分后是$\frac{2}{3}$，则可列出方程：
$\frac{x + 5}{x + 20}=\frac{2}{3}$
交叉相乘可得：
$3(x + 5)=2(x + 20)$
去括号：
$3x+15 = 2x + 40$
移项：
$3x-2x=40 - 15$
解得：
$x = 25$
那么分母为$x + 23=25+23 = 48$。
所以原来的分数是$\frac{25}{48}$。
分子加上5，分母减少3后，新分数为$\frac{x + 5}{(x + 23)-3}=\frac{x + 5}{x + 20}$。
已知新分数约分后是$\frac{2}{3}$，则可列出方程：
$\frac{x + 5}{x + 20}=\frac{2}{3}$
交叉相乘可得：
$3(x + 5)=2(x + 20)$
去括号：
$3x+15 = 2x + 40$
移项：
$3x-2x=40 - 15$
解得：
$x = 25$
那么分母为$x + 23=25+23 = 48$。
所以原来的分数是$\frac{25}{48}$。
1. 若规定 $ x\triangle y = \frac{x × y}{x + y} $，求 $ \frac{1}{2}\triangle\frac{1}{3} $ 的值。
答案
根据定义$x\triangle y = \frac{x × y}{x + y}$，将$x = \frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{3}$代入可得：
$\frac{1}{2}\triangle\frac{1}{3}$
$=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$
$=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}$
$=\frac{1}{6}×\frac{6}{5}$
$=\frac{1}{5}$
综上，$\frac{1}{2}\triangle\frac{1}{3}$的值为$\frac{1}{5}$。
$\frac{1}{2}\triangle\frac{1}{3}$
$=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$
$=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}$
$=\frac{1}{6}×\frac{6}{5}$
$=\frac{1}{5}$
综上，$\frac{1}{2}\triangle\frac{1}{3}$的值为$\frac{1}{5}$。
2. 甲、乙、丙、丁四人共做零件 360 个，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四个人做的零件数恰好相等。丙做了多少个零件？
答案
设相等时的零件数为$x$个。
根据题意，甲实际做的零件数为$x - 10$个，乙实际做的零件数为$x + 10$个，丙实际做的零件数为$\frac{x}{2} $（或$0.5x$）个，丁实际做的零件数为$2x$个。
根据四人零件总数，列出方程：
$(x - 10) + (x + 10) + 0.5x + 2x = 360$，
合并同类项得：
$4.5x = 360$，
系数化为$1$得：
$x = 80$。
将$x = 80$代入丙实际做的零件数公式$\frac{x}{2} $中，得：
$\frac{80}{2} = 40$。
所以，丙做了$40$个零件。
根据题意，甲实际做的零件数为$x - 10$个，乙实际做的零件数为$x + 10$个，丙实际做的零件数为$\frac{x}{2} $（或$0.5x$）个，丁实际做的零件数为$2x$个。
根据四人零件总数，列出方程：
$(x - 10) + (x + 10) + 0.5x + 2x = 360$，
合并同类项得：
$4.5x = 360$，
系数化为$1$得：
$x = 80$。
将$x = 80$代入丙实际做的零件数公式$\frac{x}{2} $中，得：
$\frac{80}{2} = 40$。
所以，丙做了$40$个零件。
