6. 如图4-2-8，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……
（1）设正方形ABCD的边长为$a_1 = 1$，按上述方法所作的正方形的边长依次为$a_2$，$a_3$，$a_4$，…，$a_n$，请求出$a_2$，$a_3$，$a_4$的值。

（2）根据以上规律写出$a_n$的表达式。

6. (1) $a_2 = \sqrt{2}$，$a_3 = 2$，$a_4 = 2\sqrt{2}$.
(2) $a_n = (\sqrt{2})^{n-1}(n = 2,3,4,\dots)$.

7.如图4-2-9，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且$DE ⊥ DF$.求证：$AE^2 + BF^2 = EF^2$. 图4-2-9

7. 提示:延长 ED 到 G,使 $DG = DE$,连结 BG, FG，. 易证 $△ ADE ≌ △ BDG$.
$\therefore AE = BG, DE = DG$,
$∠ A = ∠ DBG$.
$\because DE ⊥ DF$,
$\therefore FG = EF$.
$\therefore ∠ FBG = ∠ DBG + ∠ ABC = 90°$.
$\therefore EF^2 = FG^2 = BF^2 + BG^2 = BF^2 + AE^2$.