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1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=55°$，则$∠ B$的度数为 （
A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第5题图）
B
）A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第5题图）
答案
1. B
解析
【分析】
本题已知三角形是直角三角形，且给出一个锐角的度数，求另一个锐角度数。首先回忆三角形内角和性质，直角三角形中直角为90°，两个锐角的和等于90°（即两锐角互余），因此直接用90°减去已知锐角的度数，就能求出未知角的度数。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为$180°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴$∠ A+∠ B=180°-∠ C=90°$
又
∵$∠ A=55°$
∴$∠ B=90°-55°=35°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题目，核心考查直角三角形的角度计算性质，掌握相关基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题已知三角形是直角三角形，且给出一个锐角的度数，求另一个锐角度数。首先回忆三角形内角和性质，直角三角形中直角为90°，两个锐角的和等于90°（即两锐角互余），因此直接用90°减去已知锐角的度数，就能求出未知角的度数。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为$180°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴$∠ A+∠ B=180°-∠ C=90°$
又
∵$∠ A=55°$
∴$∠ B=90°-55°=35°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题目，核心考查直角三角形的角度计算性质，掌握相关基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.如图,盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,这样做的数学原理是 （
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形具有稳定性
D
）A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形具有稳定性
答案
2. D
解析
【分析】首先分析题干中的操作：在四边形窗框上斜钉一根木条后，原本的四边形结构中就形成了三角形结构。接下来逐一判断选项对应的应用场景：选项A“两点之间，线段最短”多用于解决路径最短类问题；选项B“垂线段最短”多用于解决点到直线的距离相关的最短距离问题；选项C“两点确定一条直线”多用于解决确定直线、固定物体位置类问题；选项D“三角形具有稳定性”多用于解决结构固定、防止变形类问题，和本题中固定窗框的需求匹配，即可得出正确答案。
【解析】窗框原本是四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生变形。当斜钉一根木条后，木条与窗框的两条边共同构成了三角形结构，而三角形具有稳定性的特点，能够让窗框保持固定形状不易变形，因此该做法的数学原理是三角形具有稳定性。
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】本题是生活中几何原理应用的典型题目，需要学生准确区分不同几何基本性质的适用场景，将理论知识和生活实际结合即可解题。
【难度系数】0.9
【解析】窗框原本是四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生变形。当斜钉一根木条后，木条与窗框的两条边共同构成了三角形结构，而三角形具有稳定性的特点，能够让窗框保持固定形状不易变形，因此该做法的数学原理是三角形具有稳定性。
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】本题是生活中几何原理应用的典型题目，需要学生准确区分不同几何基本性质的适用场景，将理论知识和生活实际结合即可解题。
【难度系数】0.9
3.如图,图中三角形的个数为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. D
解析
【分析】
要数出图中三角形的个数，我们可以按照“从小到大、先单个后组合”的顺序计数，避免重复或遗漏。首先识别独立的小三角形，再找由多个小三角形组合而成的大三角形，最后相加得到总个数即可。
【解析】
我们按顺序分类计数：
1. 单个的小三角形：$△ ABE$、$△ BCE$、$△ CDE$，共3个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ ABC$（由$△ ABE$和$△ BCE$组成）、$△ DBC$（由$△ BCE$和$△ CDE$组成），共2个；
总个数为$3+2=5$个。
【答案】
D
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题是基础的图形计数题，解题的核心是按照固定顺序计数，养成有序思考的习惯，就能避免多数或者漏数的情况。
【难度系数】
0.8
要数出图中三角形的个数，我们可以按照“从小到大、先单个后组合”的顺序计数，避免重复或遗漏。首先识别独立的小三角形，再找由多个小三角形组合而成的大三角形，最后相加得到总个数即可。
【解析】
我们按顺序分类计数：
1. 单个的小三角形：$△ ABE$、$△ BCE$、$△ CDE$，共3个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ ABC$（由$△ ABE$和$△ BCE$组成）、$△ DBC$（由$△ BCE$和$△ CDE$组成），共2个；
总个数为$3+2=5$个。
【答案】
D
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题是基础的图形计数题，解题的核心是按照固定顺序计数，养成有序思考的习惯，就能避免多数或者漏数的情况。
【难度系数】
0.8
4. 下列条件不能判定$△ ABC$为直角三角形的是 （
A.$∠ A=90° - ∠ C$
B.$∠ A=∠ B - ∠ C$
C.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
D.$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
C
）A.$∠ A=90° - ∠ C$
B.$∠ A=∠ B - ∠ C$
C.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
D.$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
答案
4. C
解析
【分析】
要判定△ABC是否为直角三角形，核心是判断三角形中是否存在90°的内角。我们可以结合三角形内角和为180°的定理，把每个选项给出的三个角的数量关系代入内角和公式，计算出最大角的度数，看是否等于90°即可得出结论。
【解析】
已知三角形内角和满足$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一分析选项：
A选项：由$∠ A=90°-∠ C$可得$∠ A+∠ C=90°$，代入内角和公式得$∠ B=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
B选项：由$∠ A=∠ B-∠ C$可得$∠ A+∠ C=∠ B$，代入内角和公式得$∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
C选项：设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入内角和公式得$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，通分计算得$\frac{11x}{6}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°\ne90°$，不能判定$△ ABC$是直角三角形，符合题意；
D选项：设$∠ A=∠ B=y$，则$∠ C=2y$，代入内角和公式得$y+y+2y=180°$，解得$y=45°$，则$∠ C=2×45°=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题关键是熟练运用三角形内角和定理，结合选项给出的角的关系做等量代换，计算判断是否存在直角，属于基础题型，计算时注意通分、代换不要出错。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC是否为直角三角形，核心是判断三角形中是否存在90°的内角。我们可以结合三角形内角和为180°的定理，把每个选项给出的三个角的数量关系代入内角和公式，计算出最大角的度数，看是否等于90°即可得出结论。
【解析】
已知三角形内角和满足$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一分析选项：
A选项：由$∠ A=90°-∠ C$可得$∠ A+∠ C=90°$，代入内角和公式得$∠ B=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
B选项：由$∠ A=∠ B-∠ C$可得$∠ A+∠ C=∠ B$，代入内角和公式得$∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
C选项：设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入内角和公式得$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，通分计算得$\frac{11x}{6}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°\ne90°$，不能判定$△ ABC$是直角三角形，符合题意；
D选项：设$∠ A=∠ B=y$，则$∠ C=2y$，代入内角和公式得$y+y+2y=180°$，解得$y=45°$，则$∠ C=2×45°=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题关键是熟练运用三角形内角和定理，结合选项给出的角的关系做等量代换，计算判断是否存在直角，属于基础题型，计算时注意通分、代换不要出错。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=46°,∠ C=74°,BD$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$D$,则$∠ BDC$的度数是（
A.$76°$
B.$81°$
C.$92°$
D.$104°$
A
）A.$76°$
B.$81°$
C.$92°$
D.$104°$
答案
5. A
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，在△ABC中求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，求出∠DBC的度数；最后再次利用三角形内角和定理，在△BDC中计算出∠BDC的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 46° - 74° = 60°$
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
在△BDC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BDC = 180° - ∠ C - ∠ DBC = 180° - 74° - 30° = 76°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义，通过两次运用三角形内角和即可求出对应角的度数，是几何中常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠BDC的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，在△ABC中求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，求出∠DBC的度数；最后再次利用三角形内角和定理，在△BDC中计算出∠BDC的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 46° - 74° = 60°$
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
在△BDC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BDC = 180° - ∠ C - ∠ DBC = 180° - 74° - 30° = 76°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义，通过两次运用三角形内角和即可求出对应角的度数，是几何中常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$∠1=∠2$，$∠ C=68°$，则$∠ BAC$的度数为 （
A.$67°$
B.$68°$
C.$77°$
D.$78°$
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
A
）A.$67°$
B.$68°$
C.$77°$
D.$78°$
（第6题图）（第7题图）
（第8题图）
答案
6. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件AD⊥BC入手，可得△ADB和△ADC都是直角三角形，两个三角形的两个锐角之和为90°。第一步先在Rt△ADC中，结合已知∠C=68°算出∠DAC的度数；第二步在Rt△ADB中，利用∠1=∠2的条件算出∠1的度数；最后将∠1和∠DAC相加，就能得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，∠C=68°，根据直角三角形两锐角互余，得：
∠DAC=90°-68°=22°。
在Rt△ADB中，∠1+∠2=90°，又
∵∠1=∠2，
∴∠1=90°÷2=45°。
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+22°=67°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；垂直的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是识别图中的直角三角形，结合已知角的关系分步推导未知角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AD⊥BC入手，可得△ADB和△ADC都是直角三角形，两个三角形的两个锐角之和为90°。第一步先在Rt△ADC中，结合已知∠C=68°算出∠DAC的度数；第二步在Rt△ADB中，利用∠1=∠2的条件算出∠1的度数；最后将∠1和∠DAC相加，就能得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，∠C=68°，根据直角三角形两锐角互余，得：
∠DAC=90°-68°=22°。
在Rt△ADB中，∠1+∠2=90°，又
∵∠1=∠2，
∴∠1=90°÷2=45°。
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+22°=67°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；垂直的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是识别图中的直角三角形，结合已知角的关系分步推导未知角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
7.如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在AD上，$AE=2DE$.若$△ ABE$的面积是4，则$△ ABC$的面积是（
A.16
B.12
C.10
D.8
B
）A.16
B.12
C.10
D.8
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先利用“同高的两个三角形，面积之比等于对应底的比”这一规律，先根据AE和DE的长度关系求出△BDE的面积，进而得到△ABD的面积；再根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，即可求出△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△BDE的面积：
△ABE和△BDE共用顶点B，AD边上的高相同，因此面积比等于底的比，即$S_{△ ABE}:S_{△ BDE}=AE:DE=2:1$。
已知$S_{△ ABE}=4$，代入比例关系解得$S_{△ BDE}=2$。
2. 求△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=4+2=6$。
3. 求△ABC的面积：
因为AD是△ABC的中线，所以D为BC中点，BD=DC，△ABD和△ACD共用顶点A，BC边上的高相同，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=6$。
所以$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=6+6=12$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心是灵活运用三角形面积和底高的比例关系，解题的关键是准确找到共高的三角形，结合中线的性质逐步推导面积即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用“同高的两个三角形，面积之比等于对应底的比”这一规律，先根据AE和DE的长度关系求出△BDE的面积，进而得到△ABD的面积；再根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，即可求出△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△BDE的面积：
△ABE和△BDE共用顶点B，AD边上的高相同，因此面积比等于底的比，即$S_{△ ABE}:S_{△ BDE}=AE:DE=2:1$。
已知$S_{△ ABE}=4$，代入比例关系解得$S_{△ BDE}=2$。
2. 求△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=4+2=6$。
3. 求△ABC的面积：
因为AD是△ABC的中线，所以D为BC中点，BD=DC，△ABD和△ACD共用顶点A，BC边上的高相同，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=6$。
所以$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=6+6=12$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心是灵活运用三角形面积和底高的比例关系，解题的关键是准确找到共高的三角形，结合中线的性质逐步推导面积即可。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,且$∠ ACB=∠ BAD$,$AE$平分$∠ CAD$,交$BC$于点$E$,过点$E$作$EF// AC$,分别交$AB$,$AD$于点$F$,$G$.有下列结论:①$∠ BAC=90°$;②$∠ AEF=∠ EAD$;③$∠ BAE=∠ BEA$;④$∠ DAB+2∠ AEF=90°$.其中正确的是 (
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
D
)A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
答案
8. D
解析
【分析】
首先结合AD是高的条件，利用直角三角形两锐角互余和已知角相等推导∠BAC的度数判断结论①；再根据角平分线定义和平行线的内错角相等性质判断结论②；接着利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，结合已知角的等量关系判断结论③；最后通过角的等量代换，结合直角三角形两锐角互余的性质判断结论④。
【解析】
1. 验证①：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，可得∠C+∠CAD=90°。
已知∠ACB=∠BAD，代入得∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°，故①正确。
2. 验证②：
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD。
∵EF//AC，根据“两直线平行，内错角相等”得∠CAE=∠AEF，
∴∠AEF=∠EAD，故②正确。
3. 验证③：
∠BAE=∠BAD+∠EAD，∠BEA是△ACE的外角，故∠BEA=∠C+∠CAE。
∵∠BAD=∠C，∠EAD=∠CAE，
∴∠BAE=∠BEA，故③正确。
4. 验证④：
由②得∠AEF=∠EAD，结合AE平分∠CAD，可得∠CAD=2∠EAD=2∠AEF。
∵∠DAB=∠C，且∠C+∠CAD=90°，
∴∠DAB+2∠AEF=∠C+∠CAD=90°，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】D
【知识点】
直角三角形性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题核心是熟练运用直角三角形两锐角互余、平行线的性质、三角形外角性质，通过多次角的等量代换即可推导得出所有结论。
【难度系数】
0.7
首先结合AD是高的条件，利用直角三角形两锐角互余和已知角相等推导∠BAC的度数判断结论①；再根据角平分线定义和平行线的内错角相等性质判断结论②；接着利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，结合已知角的等量关系判断结论③；最后通过角的等量代换，结合直角三角形两锐角互余的性质判断结论④。
【解析】
1. 验证①：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，可得∠C+∠CAD=90°。
已知∠ACB=∠BAD，代入得∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°，故①正确。
2. 验证②：
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD。
∵EF//AC，根据“两直线平行，内错角相等”得∠CAE=∠AEF，
∴∠AEF=∠EAD，故②正确。
3. 验证③：
∠BAE=∠BAD+∠EAD，∠BEA是△ACE的外角，故∠BEA=∠C+∠CAE。
∵∠BAD=∠C，∠EAD=∠CAE，
∴∠BAE=∠BEA，故③正确。
4. 验证④：
由②得∠AEF=∠EAD，结合AE平分∠CAD，可得∠CAD=2∠EAD=2∠AEF。
∵∠DAB=∠C，且∠C+∠CAD=90°，
∴∠DAB+2∠AEF=∠C+∠CAD=90°，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】D
【知识点】
直角三角形性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题核心是熟练运用直角三角形两锐角互余、平行线的性质、三角形外角性质，通过多次角的等量代换即可推导得出所有结论。
【难度系数】
0.7
