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12.(12分)解方程：
(1)$\frac{3}{x+2}+1=\frac{x}{x-2}$；
(2)$\frac{2}{x^2-1}+\frac{x}{x-1}=1$。
(1)$\frac{3}{x+2}+1=\frac{x}{x-2}$；
(2)$\frac{2}{x^2-1}+\frac{x}{x-1}=1$。
答案
12. 解:(1)方程两边乘$(x+2)(x-2)$,得$3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)$,解得$x=10$. 检验:当$x=10$时,$(x+2)(x-2)≠0$,所以,原分式方程的解是$x=10$.(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得$2+x(x+1)=(x+1)(x-1)$,解得$x=-3$.检验:当$x=-3$时,$(x+1)(x-1)≠0.∴$原分式方程的解为$x=-3$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤为：首先找到各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母得到整式方程；其次解整式方程得到未知数的值；最后必须验根：把求得的未知数代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
针对第(1)题，分母为$x+2$和$x-2$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第(2)题先因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)$
展开得：$3x-6+x^2-4=x^2+2x$
移项、合并同类项得：$x=10$
检验：当$x=10$时，$(x+2)(x-2)=(10+2)×(10-2)=96≠0$，符合要求。
(2) 先因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$2+x(x+1)=(x+1)(x-1)$
展开得：$2+x^2+x=x^2-1$
移项、合并同类项得：$x=-3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=(-3+1)×(-3-1)=8≠0$，符合要求。
【答案】
(1)$x=10$；(2)$x=-3$
【知识点】
分式方程解法，分式方程验根，整式运算
【点评】
本题是分式方程求解的常规基础题，考查转化思想的应用，需牢记解分式方程必须验根，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤为：首先找到各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母得到整式方程；其次解整式方程得到未知数的值；最后必须验根：把求得的未知数代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
针对第(1)题，分母为$x+2$和$x-2$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第(2)题先因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)$
展开得：$3x-6+x^2-4=x^2+2x$
移项、合并同类项得：$x=10$
检验：当$x=10$时，$(x+2)(x-2)=(10+2)×(10-2)=96≠0$，符合要求。
(2) 先因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$2+x(x+1)=(x+1)(x-1)$
展开得：$2+x^2+x=x^2-1$
移项、合并同类项得：$x=-3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=(-3+1)×(-3-1)=8≠0$，符合要求。
【答案】
(1)$x=10$；(2)$x=-3$
【知识点】
分式方程解法，分式方程验根，整式运算
【点评】
本题是分式方程求解的常规基础题，考查转化思想的应用，需牢记解分式方程必须验根，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8
13.（12分）先化简，再求值：$\dfrac{a^2 -6a +9}{a-2} ÷ (a+2 + \dfrac{5}{2-a})$，其中$a$是使不等式$\dfrac{a-1}{2} ≤1$成立的正整数。
答案
13. 解:原式$=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \frac{4-a^2+5}{2-a} = \frac{(a-3)^2}{a-2} · \frac{2-a}{(3-a)(3+a)} =\frac{a-3}{a+3}$. 由$\frac{a-1}{2}≤1$,解得$a≤3. ∵a$是正整数,$a≠2$且$a≠±3$,$∴a=1. ∴$当$a=1$时,原式$=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值结合不等式的综合题，解题思路分三步：第一步先化简分式，先计算括号内的分式加法，将整式和异分母分式通分合并，再将分式除法转化为乘法，通过因式分解、约分得到最简分式；第二步解一元一次不等式，求出a的取值范围，结合a是正整数列出可能的取值；第三步结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的a值，最后将符合条件的a代入最简分式计算结果。要注意2-a和a-2互为相反数，变形时要注意符号变化。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ (a+2 + \frac{5}{2-a})\\&=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \frac{(a+2)(2-a)+5}{2-a}\\&=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \frac{4-a^2+5}{2-a}\\&=\frac{(a-3)^2}{a-2} · \frac{2-a}{(3-a)(3+a)}\\&=\frac{a-3}{a+3}\end{aligned}$
再解不等式$\frac{a-1}{2} ≤ 1$：
两边同乘2得$a-1 ≤ 2$，解得$a ≤ 3$。
因为a是正整数，所以a的可能取值为1、2、3。
又因为分式有意义，需满足分母不为0、除数不为0，即$a≠2$且$a≠±3$，因此符合条件的a只有1。
将$a=1$代入最简式得：
原式$=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，一元一次不等式解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规综合题，解题的易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接将a=2或a=3代入计算导致错误，求解时要先确定所有使原式有意义的a的取值范围再选值代入。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值结合不等式的综合题，解题思路分三步：第一步先化简分式，先计算括号内的分式加法，将整式和异分母分式通分合并，再将分式除法转化为乘法，通过因式分解、约分得到最简分式；第二步解一元一次不等式，求出a的取值范围，结合a是正整数列出可能的取值；第三步结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不符合要求的a值，最后将符合条件的a代入最简分式计算结果。要注意2-a和a-2互为相反数，变形时要注意符号变化。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ (a+2 + \frac{5}{2-a})\\&=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \frac{(a+2)(2-a)+5}{2-a}\\&=\frac{(a-3)^2}{a-2} ÷ \frac{4-a^2+5}{2-a}\\&=\frac{(a-3)^2}{a-2} · \frac{2-a}{(3-a)(3+a)}\\&=\frac{a-3}{a+3}\end{aligned}$
再解不等式$\frac{a-1}{2} ≤ 1$：
两边同乘2得$a-1 ≤ 2$，解得$a ≤ 3$。
因为a是正整数，所以a的可能取值为1、2、3。
又因为分式有意义，需满足分母不为0、除数不为0，即$a≠2$且$a≠±3$，因此符合条件的a只有1。
将$a=1$代入最简式得：
原式$=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，一元一次不等式解法，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规综合题，解题的易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接将a=2或a=3代入计算导致错误，求解时要先确定所有使原式有意义的a的取值范围再选值代入。
【难度系数】
0.7
14.(14分)为增加学生的阅读量，某校购买了科普类和文学类两种书籍，购买科普类图书花费了3600元，购买文学类图书花费了2700元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多20%，购买科普类图书的数量比文学类图书的数量多20本.
(1)求这两种图书平均每本的价格；
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，最多能购买科普类图书多少本？
(1)求这两种图书平均每本的价格；
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，最多能购买科普类图书多少本？
答案
14. 解:(1)设文学类图书平均每本的价格是$x$元,则科普类图书平均每本的价格是$(1+20\%)x$元.根据题意,得$\frac{3600}{(1+20\%)x}-20=\frac{2700}{x}$,解得$x=15$.经检验,$x=15$所列分式方程的解,且符合题意.$∴(1+20\%)x=18$.答:科普类图书平均每本的价格是18元,文学类图书平均每本的价格是15元.(2)设购买科普类图书$a$本,则购买文学类图书$(100-a)$本.根据题意,得$18a+15(100-a)≤1600$,解得$a≤\frac{100}{3}$.$∵a$是正整数,$∴a_{max}=33$.答:最多能购买科普类图书33本.
解析
【分析】
（1）第一问属于分式方程实际应用问题，核心等量关系为：科普类图书的购买数量 - 文学类图书的购买数量 = 20本。我们可以先设文学类图书平均每本价格为x元，根据“科普类单价比文学类高20%”表示出科普类图书的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两类图书的购买数量，代入等量关系即可列方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合方程及实际意义。
（2）第二问属于一元一次不等式的实际最值问题，核心不等关系为：两类图书采购总费用 ≤ 1600元。设科普类图书采购a本，即可表示出文学类图书的采购数量，结合第一问求出的单价表示总费用，代入不等关系列不等式求解，最后结合图书数量为正整数的要求取最大值即可。
【解析】
(1) 设文学类图书平均每本的价格是$x$元，则科普类图书平均每本的价格是$(1+20\%)x$元。
根据题意列方程：
$\frac{3600}{(1+20\%)x}-20=\frac{2700}{x}$
化简求解：
$\frac{3000}{x} - 20 = \frac{2700}{x}$
移项合并得$\frac{300}{x}=20$，解得$x=15$。
检验：$x=15$时原方程分母不为0，是分式方程的解，且符合实际意义。
因此科普类图书单价为$(1+20\%)×15=18$（元）。
(2) 设购买科普类图书$a$本，则购买文学类图书$(100-a)$本。
根据题意列不等式：
$18a+15(100-a)≤1600$
化简求解：
$18a + 1500 -15a ≤1600$
$3a ≤100$
$a ≤ \frac{100}{3}≈33.33$
由于$a$为正整数，因此$a$的最大值为33。
【答案】
(1) 科普类图书平均每本的价格是18元，文学类图书平均每本的价格是15元；
(2) 最多能购买科普类图书33本。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题取整
【点评】
本题是典型的实际应用类综合题，侧重考察学生提取题目关系、列方程与不等式的能力，解题时要注意分式方程必须检验根的合理性，不等式求解后要结合实际场景对未知数的取值进行取舍，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于分式方程实际应用问题，核心等量关系为：科普类图书的购买数量 - 文学类图书的购买数量 = 20本。我们可以先设文学类图书平均每本价格为x元，根据“科普类单价比文学类高20%”表示出科普类图书的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两类图书的购买数量，代入等量关系即可列方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合方程及实际意义。
（2）第二问属于一元一次不等式的实际最值问题，核心不等关系为：两类图书采购总费用 ≤ 1600元。设科普类图书采购a本，即可表示出文学类图书的采购数量，结合第一问求出的单价表示总费用，代入不等关系列不等式求解，最后结合图书数量为正整数的要求取最大值即可。
【解析】
(1) 设文学类图书平均每本的价格是$x$元，则科普类图书平均每本的价格是$(1+20\%)x$元。
根据题意列方程：
$\frac{3600}{(1+20\%)x}-20=\frac{2700}{x}$
化简求解：
$\frac{3000}{x} - 20 = \frac{2700}{x}$
移项合并得$\frac{300}{x}=20$，解得$x=15$。
检验：$x=15$时原方程分母不为0，是分式方程的解，且符合实际意义。
因此科普类图书单价为$(1+20\%)×15=18$（元）。
(2) 设购买科普类图书$a$本，则购买文学类图书$(100-a)$本。
根据题意列不等式：
$18a+15(100-a)≤1600$
化简求解：
$18a + 1500 -15a ≤1600$
$3a ≤100$
$a ≤ \frac{100}{3}≈33.33$
由于$a$为正整数，因此$a$的最大值为33。
【答案】
(1) 科普类图书平均每本的价格是18元，文学类图书平均每本的价格是15元；
(2) 最多能购买科普类图书33本。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题取整
【点评】
本题是典型的实际应用类综合题，侧重考察学生提取题目关系、列方程与不等式的能力，解题时要注意分式方程必须检验根的合理性，不等式求解后要结合实际场景对未知数的取值进行取舍，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
