9.若点$A(a,b)$为函数$y=\frac{4}{x}$与$y=x+4$的图象的交点，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为（）

A.1
B.4
C.$-1$
D.$-4$

9.A

【分析】
要解决这道题，首先明确函数图象交点的坐标性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式。我们不需要单独求出a、b的具体值，只需要通过解析式推导出ab和b-a的值，再将所求的分式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形，整体代入计算即可。
【解析】
∵点$A(a,b)$是$y=\frac{4}{x}$与$y=x+4$的图象的交点
∴将$A(a,b)$代入$y=\frac{4}{x}$得：$b=\frac{4}{a}$，整理得$ab=4$；
将$A(a,b)$代入$y=x+4$得：$b=a+4$，整理得$b-a=4$；
对$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分化简：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$
将$ab=4$，$b-a=4$代入上式得：
$\frac{b-a}{ab}=\frac{4}{4}=1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；一次函数点的坐标特征；分式化简求值
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是利用交点坐标满足两个函数表达式，得到所需的代数式的值，采用整体代入的方法计算，避免了求解a、b的具体值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

10.(扬州中考)某市举行中学生党史知识竞赛，如图所示用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 ()

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

10.C

【分析】
要判断哪所学校优秀人数最多，首先明确优秀人数的计算方式：优秀人数=参加竞赛人数×优秀率，对应图象中就是每个点的横坐标与纵坐标的乘积，即$ W=xy $。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，根据反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的性质，同一反比例函数上所有点的横纵坐标乘积相等（都等于$ k $），因此乙、丁的优秀人数相等。接下来只需判断甲、丙两点的$ xy $值与$ k $的大小即可：若点在反比例函数图象上方，则$ xy＞k $；若在图象下方，则$ xy＜k $，由此即可比较四校优秀人数的多少。
【解析】
设学校优秀人数为$ W $，由题意得：$ W = \mathrm{参加竞赛人数} × \mathrm{优秀率} = x · y $。
设乙、丁所在的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $），根据反比例函数的性质，对该函数上的任意一点都满足$ xy=k $，因此乙、丁两校的优秀人数均为$ k $。
观察图象：
1. 甲点在反比例函数图象的下方：对甲的横坐标$ x_甲 $，对应的反比例函数值$ y'=\frac{k}{x_甲} ＞ y_甲 $，因此$ x_甲 · y_甲 ＜ k $，即甲校优秀人数小于$ k $；
2. 丙点在反比例函数图象的上方：对丙的横坐标$ x_丙 $，对应的反比例函数值$ y''=\frac{k}{x_丙} ＜ y_丙 $，因此$ x_丙 · y_丙 ＞ k $，即丙校优秀人数大于$ k $。
综上，四所学校中丙校优秀人数最多。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数$ k $的意义
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查反比例函数的应用，解题核心是将实际的优秀人数转化为函数图象上点的横纵坐标乘积，结合反比例函数的性质分析图象即可求解，侧重考查学生的图象分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7

11.(绍兴中考)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(0,4),B(3,4)$,将$△ ABO$向右平移到$△ CDE$的位置,$A$的对应点是$C$,$O$的对应点是$E$,函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$C$和$DE$的中点$F$,则$k$的值是.

11.6

【分析】
首先利用平移的性质确定平移后各点的坐标，设水平平移距离为a，先表示出点C、D、E的坐标，再根据中点坐标公式求出DE中点F的坐标，最后根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k的特征列方程求解a，进而得到k的值。
【解析】
已知点A(0,4)，B(3,4)，O(0,0)，设△ABO向右平移了a个单位得到△CDE。
根据平移“横坐标右移加、纵坐标不变”的性质：
点A平移后对应点C的坐标为$(a,4)$，点O平移后对应点E的坐标为$(a,0)$，点B平移后对应点D的坐标为$(3+a,4)$。
根据中点坐标公式，DE的中点F的横坐标为$\frac{a+(3+a)}{2}=a+\frac{3}{2}$，纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，即$F(a+\frac{3}{2},2)$。
因为点C和F都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以两点横纵坐标的乘积均等于k，可列方程：
$4a=2×(a+\frac{3}{2})$
解得：$4a=2a+3$，$2a=3$，$a=\frac{3}{2}$。
代入$k=4a$，得$k=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
6
【知识点】
平移的性质，中点坐标公式，反比例函数性质
【点评】
本题是反比例函数与平移结合的基础题，解题的核心是准确表示出平移后相关点的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解。
【难度系数】
0.7

12.如图,一次函数$y=-2x+1$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二象限交于点A,且点A的横坐标为$-1$.
(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点B的坐标是$(-2,0)$,点P在y轴上,且$△ AOP$的面积与$△ AOB$的面积相等,求点P的坐标.

(1)$\because$ 一次函数 $y=-2x+1$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象在第二象限交于点 $A$, 点 $A$ 的横坐标为 $-1, \therefore$ 当 $x=-1$ 时, $y=-2×(-1)+1=3. \therefore A(-1,3). \therefore 3=\frac{k}{-1}$, 即 $k=-3. \therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{3}{x}$.
(2)设 $P(0,m)$, $\because △ AOP$ 的面积与 $△ AOB$ 的面积相等, $\therefore \frac{1}{2}×|m|×1=\frac{1}{2}×2×3, \therefore m= \pm 6. \therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,6)$ 或 $(0,-6)$.

【分析】
(1) 要确定反比例函数解析式，需要先求出其图象上点A的坐标：已知点A在一次函数图象上且横坐标为-1，将x=-1代入一次函数解析式即可算出点A的纵坐标，得到点A坐标后代入反比例函数表达式求出k值，就能得到反比例函数解析式。
(2) 先计算△AOB的面积：△AOB的底是OB的长度（即点B横坐标的绝对值），高是点A的纵坐标，代入面积公式可求出面积值。再设y轴上点P的坐标为(0,m)，△AOP的底是OP的长度|m|，高是点A横坐标的绝对值，根据两个三角形面积相等列方程求解m，注意m可取正负，对应y轴上两个不同的点。
【解析】
(1) $\because$ 一次函数 $y=-2x+1$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象交于点A，点A的横坐标为$-1$，
$\therefore$ 把$x=-1$代入$y=-2x+1$，得$y=-2×(-1)+1=3$，即$A(-1,3)$。
将$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$。
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
(2) 设点P的坐标为$(0,m)$。
先求$△ AOB$的面积：$\because B(-2,0)$，$\therefore OB=2$，点A到x轴的距离为3，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×3=3$。
$△ AOP$中，$OP=|m|$，点A到y轴的距离为1，
$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×|m|×1$。
$\because △ AOP$的面积与$△ AOB$的面积相等，
$\therefore \frac{1}{2}×|m|×1=3$，解得$m=\pm6$。
$\therefore$ 点P的坐标为$(0,6)$或$(0,-6)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{x}$；
(2) $(0,6)$或$(0,-6)$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，一次函数点坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，计算坐标系内三角形面积时要明确底和高的对应长度，第二问需注意点P在y轴上存在正、负半轴两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

13.如图,平行于$y$轴的直尺(一部分)与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$在第一象限交于点$A$和$C$,与$x$轴交于点$B$和$D$,点$A$和$B$的刻度分别为5 cm和2 cm,直尺的宽度为$a$ cm,$OB=2$ cm.(注:平面直角坐标系内一个单位长度为1 cm)
(1)求点$A$的坐标及$k$的值;
(2)连接$AC$,若四边形$ABDC$的面积为$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$,求$a$的值.

(1)由条件可知,$AB=5-2=3(\mathrm{cm}). \because OB=2\ \mathrm{cm}, AB// y$轴, $\therefore A(2,3)$. 把 $A(2,3)$ 代人 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$, 得 $3=\frac{k}{2}$, 解得 $k=6$.
(2)由(1)知, 反比例函数解析式为 $y=\frac{6}{x}(x＞0)$, 由条件可知, $OD=OB+BD=(a+2)(\mathrm{cm}), \therefore$ 点 $C$ 的横坐标为 $a+2$. 又 $\because$ 点 $C$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 上, $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(a+2,\frac{6}{a+2})$, 则 $CD=\frac{6}{a+2}. \because$ 四边形 $ABDC$ 的面积为 $\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2, \therefore \frac{1}{2}(3+\frac{6}{a+2})· a=\frac{9}{2}$. 解得 $a=2$ 或 $a=-3$(不符合题意,舍去).

【分析】
(1) 求点A坐标时，先确定横坐标：OB=2cm且AB平行于y轴，因此A点横坐标和B点相同，为2；再确定纵坐标：A、B刻度分别为5cm和2cm，两点竖直距离为5-2=3cm，因此A点纵坐标为3，得到A点坐标后，代入反比例函数解析式即可用待定系数法求出k值。
(2) 四边形ABDC为直角梯形，AB、CD为梯形的底，直尺宽度a为梯形的高。先求出C点横坐标为OB+BD=2+a，代入反比例函数解析式得到C点纵坐标即CD的长度，再根据梯形面积公式列方程求解，最后舍去不符合取值范围的负根即可得到a的值。
【解析】
(1) 由题意可知，A、B的竖直距离$AB=5-2=3(\mathrm{cm})$，
$\because OB=2\ \mathrm{cm}$，$AB// y$轴，
$\therefore$点A的横坐标为2，纵坐标为3，即$A(2,3)$。
把$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$3=\frac{k}{2}$，
解得$k=6$。
(2) 由(1)可知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，
$\because$直尺的宽度为$a\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OD=OB+BD=(2+a)\ \mathrm{cm}$，即点C的横坐标为$a+2$，
$\because$点C在双曲线$y=\frac{6}{x}(x＞0)$上，
$\therefore$点C的纵坐标为$\frac{6}{a+2}$，即$CD=\frac{6}{a+2}$，
$\because$四边形$ABDC$的面积为$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$，结合梯形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×(3+\frac{6}{a+2})× a=\frac{9}{2}$，
解得$a=2$或$a=-3$，
$\because a＞0$，$\therefore a=-3$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $A(2,3)$，$k=6$；
(2) $a=2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数与几何图形考查数形结合思想，解题关键是从刻度和坐标系信息提取点的坐标，再结合函数性质与几何面积公式列方程，同时要注意根据实际意义舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7