9.【新情境·生活情境】在联欢会上，A，B，C三名选手在玩抢凳子游戏，他们站在一个三角形的三个顶点的位置，在他们中间放一个木凳，规定谁先抢到木凳谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在三角形的（）

A.三条中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边垂直平分线的交点处
D.三条高线的交点处

9.C

【分析】
要使游戏公平，需保证凳子到三名选手（即三角形三个顶点）的距离相等，因此问题可转化为：寻找三角形内到三个顶点距离相等的点。接下来结合学过的三角形各特殊线交点的性质，逐一判断选项即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三名选手的距离相等，即凳子所在点到三角形三个顶点的距离相等。
选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，排除；
选项B：三角形三条角平分线的交点是内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，排除；
选项C：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离均相等，符合要求；
选项D：三角形三条高线的交点是垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形特殊点的性质；几何实际应用
【点评】
本题结合生活中的抢凳子游戏设题，将几何性质和实际应用结合，解题关键是把游戏公平的要求转化为几何中点到点的距离相等的条件，熟记三角形各特殊线交点的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

10.如图，P是∠AOB外的一点，点Q与点P关于直线OA对称，点R与点P关于直线OB对称，直线QR分别交OA，OB于M，N两点。若$PM=PN=4$，$MN=5$，则线段QR的长为。

10.5

【分析】
看到题目中“关于直线对称”的条件，首先联想到轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则该直线是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的任意点到两个对称点的距离相等。据此先推导出相等的线段，再理清直线QR上各点的顺序，通过线段的和差关系即可求出QR的长度。
【解析】
∵ 点Q与点P关于直线OA对称，
∴ 直线OA是线段PQ的垂直平分线，
∵ 点M在OA上，根据垂直平分线的性质，得$QM=PM=4$。
同理，点R与点P关于直线OB对称，点N在OB上，
∴ $RN=PN=4$。
已知$MN=5$，直线QR上点的顺序为M、Q、N、R，
∴ $QN=MN-QM=5-4=1$，
∴ $QR=QN+RN=1+4=5$。
【答案】
5
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题核心是利用轴对称和垂直平分线的性质得到等长线段，解题时要注意是直线QR与OA、OB相交，理清各点的位置顺序是避免计算错误的关键。
【难度系数】
0.6

11.(教材P67练习T1变式)如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$BD=DE$,$EF$垂直平分$AC$,交$AC$于点$F$,交$BC$于点$E$,连接$AE$.若$△ ABC$的周长为$14\ \mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,则$DC$的长为$\mathrm{cm}$.

11.4

【分析】
解题时先从已知的垂直、线段相等条件推导相等线段：①由$AD⊥BC$且$BD=DE$，可知$AD$是$BE$的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得$AB=AE$；②再由$EF$垂直平分$AC$，根据垂直平分线性质可得$AE=EC$，等量代换得$AB=AE=EC$。接着结合三角形周长条件，先算出$AB+BC$的长度，再利用线段等量关系把$AB+BC$转化为和$DC$相关的表达式，即可求出$DC$的长。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$，
$\therefore AB=AE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又$\because EF$垂直平分$AC$，
$\therefore AE=EC$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore AB=AE=EC$。
$\because △ ABC$的周长为$14\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC+AC=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC=14-AC=14-6=8\ \mathrm{cm}$。
$\because BD=DE$，
$\therefore BC=BD+DE+EC=2DE+EC$，
$\therefore AB+BC=EC+2DE+EC=2(DE+EC)$。
又$\because DC=DE+EC$，
$\therefore 2DC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DC=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$4$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过垂直平分线性质得到多组相等线段，再结合周长条件做等量转换，掌握垂直平分线的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7

12.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线上有一点$D$,点$D$恰好在线段$AC$的垂直平分线上,点$E$在边$BC$上,连接$BD$,$ED$,$BE = AB$.求证:点$D$在线段$CE$的垂直平分线上.

证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD。
在△ABD和△EBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BE \\∠ABD = ∠EBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（SAS），
∴ AD = ED。
又∵ 点D在线段AC的垂直平分线上，
∴ AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ ED = CD。
∴ 点D在线段CE的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

【分析】
要证明点D在线段CE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证DE=CD即可。首先从已知条件入手：BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠EBD，再结合已知AB=BE、公共边BD，可通过SAS证明△ABD≌△EBD，得到AD=DE；再利用线段垂直平分线的性质，由D在AC的垂直平分线上得AD=CD，最后通过等量代换得到DE=CD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠EBD。
在△ABD和△EBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BE \\∠ABD = ∠EBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（SAS），
∴ AD = ED。
又
∵ 点D在线段AC的垂直平分线上，
∴ AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ ED = CD。
∴ 点D在线段CE的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
点D在线段CE的垂直平分线上，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形判定与性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，将全等三角形与线段垂直平分线的知识结合考查，解题核心是通过全等得到等线段，再结合垂直平分线的性质做等量代换，最终用判定定理得出结论，熟练掌握相关基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

13.如图,在$△ ABC$中,边$AB$的垂直平分线$l_1$交$BC$于点$D$,边$AC$的垂直平分线$l_2$交$BC$于点$E$,$l_1$与$l_2$相交于点$O$,且$△ ADE$的周长为$6\ \mathrm{cm}$.
(1)如图1,①求$BC$的长;
②分别连接$OA$,$OB$,$OC$,若$△ OBC$的周长为$16\ \mathrm{cm}$,求$OA$的长.
(2)如图2,若$BC$的长为$4\ \mathrm{cm}$,求$DE$的长.

13.解:(1)①$\because l_1$是边$AB$的垂直平分线,$l_2$是边$AC$的垂直平分线,$\therefore AD=BD,AE=EC$.
$\because △ ADE$的周长为$6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AD+DE+EA=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BD+DE+EC=BC=6\ \mathrm{cm}$.
②$\because l_1$是边$AB$的垂直平分线,$l_2$是边$AC$的垂直平分线,$\therefore OB=OA,OC=OA$.
$\because △ OBC$的周长为$16\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OB+OC+BC=16\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OB+OC=16-6=10(\mathrm{cm})$,
$\therefore OA=OB=OC=5\ \mathrm{cm}$.
(2)$\because △ ADE$的周长为$6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AE+DE+AD=6\ \mathrm{cm}$.
$\because AE=CE,AD=DB$,
$\therefore CE+DE+DB=6\ \mathrm{cm}$,
即 $CE+BE+2DE=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC+2DE=6\ \mathrm{cm}$.
$\because BC=4\ \mathrm{cm},\therefore DE=1\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题可根据线段垂直平分线的性质，将相等线段进行代换，结合三角形周长公式和线段和差关系求解：
(1)①根据线段垂直平分线的性质可得$AD=BD$、$AE=EC$，观察$△ ADE$的周长与$BC$的线段组成，将$△ ADE$周长中的$AD$、$AE$替换为$BD$、$EC$，即可直接得到$BC$的长度；
②点$O$在$AB$、$AC$的垂直平分线上，根据垂直平分线性质可得$OB=OA$、$OC=OA$，即$OB=OC=OA$，结合$△ OBC$的周长和已求出的$BC$长度，先计算$OB$与$OC$的和，即可求出$OA$的长度；
(2)图2中线段垂直平分线的性质仍然成立，即$AD=BD$、$AE=CE$，先将$△ ADE$的周长用$BD$、$CE$替换，再结合$BC$的线段组成，推导$BD+CE$与$BC$、$DE$的数量关系，代入已知$BC$的长度即可求出$DE$的长。
【解析】
(1)①$\because l_1$是边$AB$的垂直平分线，$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$，$AE=EC$。
$\because △ ADE$的周长为$6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD+DE+EA=6\ \mathrm{cm}$，
将$AD=BD$、$AE=EC$代入得：$BD+DE+EC=BC=6\ \mathrm{cm}$。
②$\because l_1$是边$AB$的垂直平分线，$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
$\therefore OB=OA$，$OC=OA$，即$OB=OC=OA$。
$\because △ OBC$的周长为$16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OB+OC+BC=16\ \mathrm{cm}$，
将$BC=6\ \mathrm{cm}$代入得：$OB+OC=16-6=10(\mathrm{cm})$，
又$\because OB=OC=OA$，
$\therefore OA=OB=OC=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
(2)$\because △ ADE$的周长为$6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AE+DE+AD=6\ \mathrm{cm}$。
根据线段垂直平分线的性质得：$AE=CE$，$AD=DB$，
代入得：$CE+DE+DB=6\ \mathrm{cm}$，
观察线段组成：$DB=BE+DE$，$CE=DE+CD$，代入整理得：$BC+2DE=6\ \mathrm{cm}$，
$\because BC=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2DE=6-4=2\ \mathrm{cm}$，即$DE=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)①$BC$的长为$6\ \mathrm{cm}$；②$OA$的长为$5\ \mathrm{cm}$；
(2)$DE$的长为$1\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段和差运算
【点评】
本题核心是运用线段垂直平分线的性质进行线段等量代换，解题时需结合图形梳理线段的和差关系，尤其是图形变化时要准确判断线段的组成，避免因线段位置变化导致的和差推导错误，是垂直平分线性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7