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1.(2025·盘锦兴隆台区月考)对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$，从左到右的变形，表述正确的是（
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
C
）A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
答案
1.C
解析
【分析】
解题前首先要明确因式分解与整式乘法的核心定义，再分别对应两个式子的变形特征判断即可。第一步：回忆定义，因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，本质是“和化积”；整式乘法是将几个整式乘积的形式转化为多项式的形式，本质是“积化和”。第二步：分别分析两个式子：①左边是多项式（和的形式），右边是两个整式的乘积（积的形式），符合因式分解的特征；②左边是两个整式的乘积（积的形式），右边是多项式（和的形式），符合整式乘法的特征。第三步：对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，变形特征是“和→积”；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式展开得到多项式，变形特征是“积→和”。
对两个式子逐一判断：
① 左边$x-3xy$是多项式（和的形式），右边$x(1-3y)$是两个整式$x$和$(1-3y)$的乘积，属于“和化积”，是因式分解；
② 左边$(x+3)(x-1)$是两个整式的乘积（积的形式），右边$x^2+2x-3$是多项式，属于“积化和”，是整式乘法。
因此①是因式分解，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分因式分解和整式乘法的变形方向，只要准确掌握两个概念的本质特征，就能快速做对。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确因式分解与整式乘法的核心定义，再分别对应两个式子的变形特征判断即可。第一步：回忆定义，因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，本质是“和化积”；整式乘法是将几个整式乘积的形式转化为多项式的形式，本质是“积化和”。第二步：分别分析两个式子：①左边是多项式（和的形式），右边是两个整式的乘积（积的形式），符合因式分解的特征；②左边是两个整式的乘积（积的形式），右边是多项式（和的形式），符合整式乘法的特征。第三步：对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先明确两个概念：
1. 因式分解：把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，变形特征是“和→积”；
2. 整式乘法：把几个整式相乘的形式展开得到多项式，变形特征是“积→和”。
对两个式子逐一判断：
① 左边$x-3xy$是多项式（和的形式），右边$x(1-3y)$是两个整式$x$和$(1-3y)$的乘积，属于“和化积”，是因式分解；
② 左边$(x+3)(x-1)$是两个整式的乘积（积的形式），右边$x^2+2x-3$是多项式，属于“积化和”，是整式乘法。
因此①是因式分解，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分因式分解和整式乘法的变形方向，只要准确掌握两个概念的本质特征，就能快速做对。
【难度系数】
0.8
2.(2024·阜新实验期末)把多项式$12a^2b^3 + 8a^3b$分解因式，应提的公因式是（
A.$ab$
B.$4ab$
C.$2ab$
D.$4a^2b$
D
）A.$ab$
B.$4ab$
C.$2ab$
D.$4a^2b$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提的公因式，需按照公因式的确定方法逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找两项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三部分相乘即为所求公因式。
【解析】
解：找公因式的步骤如下：
1. 求系数的最大公约数：12和8的最大公约数是4；
2. 找相同字母：多项式的两项$12a^2b^3$和$8a^3b$都含有字母a、b；
3. 取相同字母的最低次幂：a的指数分别为2和3，最低次幂是$a^2$；b的指数分别为3和1，最低次幂是$b$。
将上述三部分组合，可得公因式为$4a^2b$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定，掌握找公因式的三个步骤是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定多项式分解因式时应提的公因式，需按照公因式的确定方法逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找两项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三部分相乘即为所求公因式。
【解析】
解：找公因式的步骤如下：
1. 求系数的最大公约数：12和8的最大公约数是4；
2. 找相同字母：多项式的两项$12a^2b^3$和$8a^3b$都含有字母a、b；
3. 取相同字母的最低次幂：a的指数分别为2和3，最低次幂是$a^2$；b的指数分别为3和1，最低次幂是$b$。
将上述三部分组合，可得公因式为$4a^2b$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定，掌握找公因式的三个步骤是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.分解因式：
(1)$x^2y + 2xy =$
(2)(2024·常州)$x^2 -4xy +4y^2 =$
(3)(2024·广元)$(a+1)^2 -4a =$
(4)(2024·扬州)$2x^2 -4x +2 =$
(5)(2024·北京)$x^3 -25x =$
(1)$x^2y + 2xy =$
$xy(x+2)$
；(2)(2024·常州)$x^2 -4xy +4y^2 =$
$(x-2y)^2$
；(3)(2024·广元)$(a+1)^2 -4a =$
$(a-1)^2$
；(4)(2024·扬州)$2x^2 -4x +2 =$
$2(x-1)^2$
；(5)(2024·北京)$x^3 -25x =$
$x(x+5)(x-5)$
。答案
3.(1)$xy(x+2)$ (2)$(x-2y)^2$ (3)$(a-1)^2$
(4)$2(x-1)^2$ (5)$x(x+5)(x-5)$
(4)$2(x-1)^2$ (5)$x(x+5)(x-5)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有优先提取公因式；第二步判断提取公因式后的剩余部分，符合平方差公式$(a^2-b^2=(a+b)(a-b))$或完全平方公式$(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2)$特征的，套用对应公式继续分解；第三步检查分解后的所有因式是否都无法再分解，保证分解彻底。各小题的思考方向如下：
(1)多项式两项均含公因式$xy$，直接提取公因式即可；
(2)多项式为三项式，符合完全平方公式特征，直接套用公式分解；
(3)先展开完全平方式，合并同类项后再用完全平方公式分解；
(4)先提取公因式2，剩余部分符合完全平方公式特征，再套用公式分解；
(5)先提取公因式$x$，剩余部分符合平方差公式特征，再套用公式分解。
【解析】
(1)提取公因式$xy$：
$x^2y + 2xy = xy· x + xy·2 = xy(x+2)$
(2)对照完全平方公式，$a=x$，$b=2y$：
$x^2 -4xy +4y^2 = x^2 - 2· x·2y + (2y)^2 = (x-2y)^2$
(3)先展开再合并同类项，再用完全平方公式分解：
$(a+1)^2 -4a = a^2 + 2a +1 -4a = a^2 -2a +1 = (a-1)^2$
(4)先提公因式2，再套用完全平方公式：
$2x^2 -4x +2 = 2(x^2 -2x +1) = 2(x-1)^2$
(5)先提公因式$x$，再套用平方差公式：
$x^3 -25x = x(x^2 -25) = x(x+5)(x-5)$
【答案】
(1)$xy(x+2)$；(2)$(x-2y)^2$；(3)$(a-1)^2$；(4)$2(x-1)^2$；(5)$x(x+5)(x-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，主要考查因式分解的操作步骤和常见乘法公式的应用，解题时牢记先提公因式再套公式，最后确认分解彻底即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有优先提取公因式；第二步判断提取公因式后的剩余部分，符合平方差公式$(a^2-b^2=(a+b)(a-b))$或完全平方公式$(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2)$特征的，套用对应公式继续分解；第三步检查分解后的所有因式是否都无法再分解，保证分解彻底。各小题的思考方向如下：
(1)多项式两项均含公因式$xy$，直接提取公因式即可；
(2)多项式为三项式，符合完全平方公式特征，直接套用公式分解；
(3)先展开完全平方式，合并同类项后再用完全平方公式分解；
(4)先提取公因式2，剩余部分符合完全平方公式特征，再套用公式分解；
(5)先提取公因式$x$，剩余部分符合平方差公式特征，再套用公式分解。
【解析】
(1)提取公因式$xy$：
$x^2y + 2xy = xy· x + xy·2 = xy(x+2)$
(2)对照完全平方公式，$a=x$，$b=2y$：
$x^2 -4xy +4y^2 = x^2 - 2· x·2y + (2y)^2 = (x-2y)^2$
(3)先展开再合并同类项，再用完全平方公式分解：
$(a+1)^2 -4a = a^2 + 2a +1 -4a = a^2 -2a +1 = (a-1)^2$
(4)先提公因式2，再套用完全平方公式：
$2x^2 -4x +2 = 2(x^2 -2x +1) = 2(x-1)^2$
(5)先提公因式$x$，再套用平方差公式：
$x^3 -25x = x(x^2 -25) = x(x+5)(x-5)$
【答案】
(1)$xy(x+2)$；(2)$(x-2y)^2$；(3)$(a-1)^2$；(4)$2(x-1)^2$；(5)$x(x+5)(x-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，主要考查因式分解的操作步骤和常见乘法公式的应用，解题时牢记先提公因式再套公式，最后确认分解彻底即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.已知$ab=2$，$a+b=3$，则$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=$
18
.答案
4.18
解析
【分析】
本题属于已知两个代数式的值求第三个代数式的值的题型，解题核心是将所求代数式因式分解，转化为用已知的$ab$和$a+b$表示的形式。首先观察所求式子，每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再判断剩余部分的结构，发现剩余的$a^2+2ab+b^2$符合完全平方公式的形式，可以转化为$(a+b)^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式得：
原式$=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常考基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解$a$、$b$值的复杂运算。
【难度系数】
0.7
本题属于已知两个代数式的值求第三个代数式的值的题型，解题核心是将所求代数式因式分解，转化为用已知的$ab$和$a+b$表示的形式。首先观察所求式子，每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再判断剩余部分的结构，发现剩余的$a^2+2ab+b^2$符合完全平方公式的形式，可以转化为$(a+b)^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式得：
原式$=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常考基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解$a$、$b$值的复杂运算。
【难度系数】
0.7
5.分解因式：
(1)$9(m+n)^2 -16(m-n)^2$；
(2)$m^4 -16n^4$；
(3)$81x^4 -18x^2y^2 + y^4$；
(4)$(a+b)(a+b-12)+36$；
(5)$(2a - b)^2 +8ab$；
(6)$(a^2 +a)^2 +4(a^2 +a)-12$；
(7)$(x^2 -3x)(x^2 -3x -8)-20$；
(8)$a^2 -2a +b^2 -2b +2ab +1$。
(1)$9(m+n)^2 -16(m-n)^2$；
(2)$m^4 -16n^4$；
(3)$81x^4 -18x^2y^2 + y^4$；
(4)$(a+b)(a+b-12)+36$；
(5)$(2a - b)^2 +8ab$；
(6)$(a^2 +a)^2 +4(a^2 +a)-12$；
(7)$(x^2 -3x)(x^2 -3x -8)-20$；
(8)$a^2 -2a +b^2 -2b +2ab +1$。
答案
5.(1)$(7m-n)(-m+7n)$
(2)$(m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)$
(3)$(3x+y)^2(3x-y)^2$ (4)$(a+b-6)^2$
(5)$(2a+b)^2$ (6)$(a-1)(a+2)(a^2+a+6)$
(7)$(x-1)(x-2)(x+2)(x-5)$
(8)$(a+b-1)^2$
(2)$(m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)$
(3)$(3x+y)^2(3x-y)^2$ (4)$(a+b-6)^2$
(5)$(2a+b)^2$ (6)$(a-1)(a+2)(a^2+a+6)$
(7)$(x-1)(x-2)(x+2)(x-5)$
(8)$(a+b-1)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的通用解题思路：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②结合多项式特征套用对应公式，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式或十字相乘法，若多项式内有结构相同的部分，可通过换元法简化运算；③最后检查因式是否分解到最简，不能再分解为止。
各小题对应思路：
(1) 可变形为两个平方项的差，直接套用平方差公式分解后化简即可；
(2) 连续两次使用平方差公式分解，注意要分解到不能再分解；
(3) 先套用完全平方公式分解，得到的因式仍符合平方差特征，继续分解即可；
(4) 将(a+b)看作整体，展开后得到完全平方形式，套用公式即可；
(5) 先展开原式合并同类项，得到完全平方形式后套用公式；
(6) 将(a²+a)看作整体，先用十字相乘法分解为两个因式的乘积，再对可分解的二次三项式继续用十字相乘法分解；
(7) 将(x²-3x)看作整体，先整理为关于整体的二次三项式，用十字相乘法分解后，再对两个二次因式分别十字相乘分解；
(8) 先分组将含a、b的二次项合并为完全平方，再整体套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 原式$=[3(m+n)]^2 - [4(m-n)]^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得：
$=[3(m+n)+4(m-n)][3(m+n)-4(m-n)]$
去括号化简：
$=(3m+3n+4m-4n)(3m+3n-4m+4n)$
$=(7m-n)(-m+7n)$
(2) 原式$=(m^2)^2 - (4n^2)^2$
$=(m^2+4n^2)(m^2-4n^2)$
对$m^2-4n^2$继续用平方差公式分解：
$=(m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)$
(3) 原式$=(9x^2)^2 - 2·9x^2· y^2 + (y^2)^2$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得：
$=(9x^2 - y^2)^2$
对$9x^2-y^2$用平方差公式分解后平方：
$=[(3x+y)(3x-y)]^2=(3x+y)^2(3x-y)^2$
(4) 令$t=a+b$，则原式变为：
$t(t-12)+36=t^2-12t+36$
套用完全平方公式得：
$=(t-6)^2$
将$t=a+b$代回，得$(a+b-6)^2$
(5) 先展开原式：
$(2a-b)^2+8ab=4a^2-4ab+b^2+8ab$
合并同类项得：
$4a^2+4ab+b^2$
套用完全平方公式得：
$=(2a+b)^2$
(6) 令$t=a^2+a$，则原式变为：
$t^2+4t-12$
用十字相乘法分解得：
$=(t+6)(t-2)$
代回$t=a^2+a$得：
$=(a^2+a+6)(a^2+a-2)$
对$a^2+a-2$用十字相乘法分解得$a^2+a-2=(a+2)(a-1)$，最终结果为：
$(a-1)(a+2)(a^2+a+6)$
(7) 令$t=x^2-3x$，则原式变为：
$t(t-8)-20=t^2-8t-20$
十字相乘分解得：
$=(t-10)(t+2)$
代回$t=x^2-3x$得：
$=(x^2-3x-10)(x^2-3x+2)$
分别对两个二次式十字相乘：$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$，$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，最终结果为：
$(x-1)(x-2)(x+2)(x-5)$
(8) 分组整理原式：
$=(a^2+2ab+b^2)-2a-2b+1$
$=(a+b)^2 - 2(a+b)+1$
套用完全平方公式得：
$=(a+b-1)^2$
【答案】
(1)$(7m-n)(-m+7n)$
(2)$(m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)$
(3)$(3x+y)^2(3x-y)^2$
(4)$(a+b-6)^2$
(5)$(2a+b)^2$
(6)$(a-1)(a+2)(a^2+a+6)$
(7)$(x-1)(x-2)(x+2)(x-5)$
(8)$(a+b-1)^2$
【知识点】
公式法因式分解，十字相乘法，换元法因式分解
【点评】
本组题涵盖了因式分解的高频考查题型，需要准确识别平方差、完全平方公式的结构特征，灵活运用换元法简化结构复杂的多项式，分解后要注意检查因式是否分解彻底，避免遗漏可继续分解的因式。
【难度系数】
0.6
因式分解遵循“一提二套三查”的通用解题思路：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②结合多项式特征套用对应公式，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式或十字相乘法，若多项式内有结构相同的部分，可通过换元法简化运算；③最后检查因式是否分解到最简，不能再分解为止。
各小题对应思路：
(1) 可变形为两个平方项的差，直接套用平方差公式分解后化简即可；
(2) 连续两次使用平方差公式分解，注意要分解到不能再分解；
(3) 先套用完全平方公式分解，得到的因式仍符合平方差特征，继续分解即可；
(4) 将(a+b)看作整体，展开后得到完全平方形式，套用公式即可；
(5) 先展开原式合并同类项，得到完全平方形式后套用公式；
(6) 将(a²+a)看作整体，先用十字相乘法分解为两个因式的乘积，再对可分解的二次三项式继续用十字相乘法分解；
(7) 将(x²-3x)看作整体，先整理为关于整体的二次三项式，用十字相乘法分解后，再对两个二次因式分别十字相乘分解；
(8) 先分组将含a、b的二次项合并为完全平方，再整体套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 原式$=[3(m+n)]^2 - [4(m-n)]^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得：
$=[3(m+n)+4(m-n)][3(m+n)-4(m-n)]$
去括号化简：
$=(3m+3n+4m-4n)(3m+3n-4m+4n)$
$=(7m-n)(-m+7n)$
(2) 原式$=(m^2)^2 - (4n^2)^2$
$=(m^2+4n^2)(m^2-4n^2)$
对$m^2-4n^2$继续用平方差公式分解：
$=(m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)$
(3) 原式$=(9x^2)^2 - 2·9x^2· y^2 + (y^2)^2$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得：
$=(9x^2 - y^2)^2$
对$9x^2-y^2$用平方差公式分解后平方：
$=[(3x+y)(3x-y)]^2=(3x+y)^2(3x-y)^2$
(4) 令$t=a+b$，则原式变为：
$t(t-12)+36=t^2-12t+36$
套用完全平方公式得：
$=(t-6)^2$
将$t=a+b$代回，得$(a+b-6)^2$
(5) 先展开原式：
$(2a-b)^2+8ab=4a^2-4ab+b^2+8ab$
合并同类项得：
$4a^2+4ab+b^2$
套用完全平方公式得：
$=(2a+b)^2$
(6) 令$t=a^2+a$，则原式变为：
$t^2+4t-12$
用十字相乘法分解得：
$=(t+6)(t-2)$
代回$t=a^2+a$得：
$=(a^2+a+6)(a^2+a-2)$
对$a^2+a-2$用十字相乘法分解得$a^2+a-2=(a+2)(a-1)$，最终结果为：
$(a-1)(a+2)(a^2+a+6)$
(7) 令$t=x^2-3x$，则原式变为：
$t(t-8)-20=t^2-8t-20$
十字相乘分解得：
$=(t-10)(t+2)$
代回$t=x^2-3x$得：
$=(x^2-3x-10)(x^2-3x+2)$
分别对两个二次式十字相乘：$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$，$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，最终结果为：
$(x-1)(x-2)(x+2)(x-5)$
(8) 分组整理原式：
$=(a^2+2ab+b^2)-2a-2b+1$
$=(a+b)^2 - 2(a+b)+1$
套用完全平方公式得：
$=(a+b-1)^2$
【答案】
(1)$(7m-n)(-m+7n)$
(2)$(m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)$
(3)$(3x+y)^2(3x-y)^2$
(4)$(a+b-6)^2$
(5)$(2a+b)^2$
(6)$(a-1)(a+2)(a^2+a+6)$
(7)$(x-1)(x-2)(x+2)(x-5)$
(8)$(a+b-1)^2$
【知识点】
公式法因式分解，十字相乘法，换元法因式分解
【点评】
本组题涵盖了因式分解的高频考查题型，需要准确识别平方差、完全平方公式的结构特征，灵活运用换元法简化结构复杂的多项式，分解后要注意检查因式是否分解彻底，避免遗漏可继续分解的因式。
【难度系数】
0.6
