登录
6.【新考法·过程性学习】(2024·锦州期中)已知二次三项式$x^2 -4x +m$分解因式后有一个因式是$x+3$，求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$x+n$，则$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$，$\therefore x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$，
$\therefore \begin{cases} n+3=-4, \\ 3n=m, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-21, \\ n=-7, \end{cases}$
$\therefore$另一个因式为$x-7$，$m$的值为$-21$.
请仿照上述方法解答下列问题:
(1)若$x^2 +bx +c=(x-2)(x+3)$，则$b=$
(2)已知二次三项式$8x^2 -14x -k$分解因式后有一个因式是$4x -1$，求另一个因式以及$k$的值；
(3)若多项式$x^2 -mx +n$($m,n$是常数)分解因式后，有一个因式是$x-2$，求代数式$\dfrac{9^m}{3^n}$的值.
解:设另一个因式为$x+n$，则$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$，$\therefore x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$，
$\therefore \begin{cases} n+3=-4, \\ 3n=m, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-21, \\ n=-7, \end{cases}$
$\therefore$另一个因式为$x-7$，$m$的值为$-21$.
请仿照上述方法解答下列问题:
(1)若$x^2 +bx +c=(x-2)(x+3)$，则$b=$
1
，$c=$-6
；(2)已知二次三项式$8x^2 -14x -k$分解因式后有一个因式是$4x -1$，求另一个因式以及$k$的值；
(3)若多项式$x^2 -mx +n$($m,n$是常数)分解因式后，有一个因式是$x-2$，求代数式$\dfrac{9^m}{3^n}$的值.
答案
6.(1)1 -6
(2)另一个因式为$2x-3$，$k$的值为$-3$
(3)81
(2)另一个因式为$2x-3$，$k$的值为$-3$
(3)81
解析
【分析】
本题利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系解题：若两个多项式相等，则它们对应项的系数相等，据此列方程求解未知参数即可。各小问思路如下：(1)直接将右侧整式乘法展开，和左侧多项式对比对应项系数，直接得到b、c的值；(2)仿照例题，结合已知因式的一次项系数和二次项总系数，设出另一个一次因式，展开后根据对应系数相等列方程组求解；(3)设出另一个因式，展开后得到m、n的数量关系，再将所求代数式转化为同底数幂的除法，代入关系计算即可。
【解析】
(1) 展开右侧乘积：
$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$，
对比左侧$x^2+bx+c$，对应项系数相等，可得$b=1$，$c=-6$。
(2) 设另一个因式为$2x+a$，则：
$8x^2-14x -k=(4x-1)(2x+a)$，
展开右侧得：$8x^2+4ax-2x -a=8x^2+(4a-2)x -a$，
根据对应项系数相等列方程组：
$\begin{cases}4a-2=-14 \\ -a=-k \end{cases}$
解第一个方程得$4a=-12$，即$a=-3$，
代入第二个方程得$k=a=-3$，
因此另一个因式为$2x-3$。
(3) 设另一个因式为$x+a$（$a$为常数），则：
$x^2 -mx +n=(x-2)(x+a)$，
展开右侧得：$x^2+(a-2)x -2a$，
根据对应项系数相等列方程组：
$\begin{cases}-m=a-2 \\ n=-2a \end{cases}$
由第一个方程得$a=2-m$，代入第二个方程得$n=-2(2-m)=-4+2m$，整理得$2m -n=4$。
将所求代数式变形：
$\dfrac{9^m}{3^n}=\dfrac{(3^2)^m}{3^n}=\dfrac{3^{2m}}{3^n}=3^{2m -n}$，
代入$2m-n=4$得$3^4=81$。
【答案】
(1)$1$，$-6$
(2)另一个因式为$2x-3$，$k$的值为$-3$
(3)$81$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式对应系数相等
3. 幂的运算
【点评】
本题属于过程性学习类考题，考查学生对方法的迁移应用能力，解题核心是抓住多项式相等时对应项系数相等的性质，最后一问结合幂的运算考查，综合性不强，掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系解题：若两个多项式相等，则它们对应项的系数相等，据此列方程求解未知参数即可。各小问思路如下：(1)直接将右侧整式乘法展开，和左侧多项式对比对应项系数，直接得到b、c的值；(2)仿照例题，结合已知因式的一次项系数和二次项总系数，设出另一个一次因式，展开后根据对应系数相等列方程组求解；(3)设出另一个因式，展开后得到m、n的数量关系，再将所求代数式转化为同底数幂的除法，代入关系计算即可。
【解析】
(1) 展开右侧乘积：
$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$，
对比左侧$x^2+bx+c$，对应项系数相等，可得$b=1$，$c=-6$。
(2) 设另一个因式为$2x+a$，则：
$8x^2-14x -k=(4x-1)(2x+a)$，
展开右侧得：$8x^2+4ax-2x -a=8x^2+(4a-2)x -a$，
根据对应项系数相等列方程组：
$\begin{cases}4a-2=-14 \\ -a=-k \end{cases}$
解第一个方程得$4a=-12$，即$a=-3$，
代入第二个方程得$k=a=-3$，
因此另一个因式为$2x-3$。
(3) 设另一个因式为$x+a$（$a$为常数），则：
$x^2 -mx +n=(x-2)(x+a)$，
展开右侧得：$x^2+(a-2)x -2a$，
根据对应项系数相等列方程组：
$\begin{cases}-m=a-2 \\ n=-2a \end{cases}$
由第一个方程得$a=2-m$，代入第二个方程得$n=-2(2-m)=-4+2m$，整理得$2m -n=4$。
将所求代数式变形：
$\dfrac{9^m}{3^n}=\dfrac{(3^2)^m}{3^n}=\dfrac{3^{2m}}{3^n}=3^{2m -n}$，
代入$2m-n=4$得$3^4=81$。
【答案】
(1)$1$，$-6$
(2)另一个因式为$2x-3$，$k$的值为$-3$
(3)$81$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式对应系数相等
3. 幂的运算
【点评】
本题属于过程性学习类考题，考查学生对方法的迁移应用能力，解题核心是抓住多项式相等时对应项系数相等的性质，最后一问结合幂的运算考查，综合性不强，掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7.【新考法·过程性学习】(2025·大连瓦房店月考)
阅读材料并解答下列问题:
我们把多项式 $a^2 + 2ab + b^2, a^2 - 2ab + b^2$ 叫作完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式的最大(或最小)值问题.
(1)例如,① $x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x) + 3 = (x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = (x + 1)^2 - 1 + 3 = (x + 1)^2 + 2$.
∵ $(x + 1)^2$ 是非负数,即 $(x + 1)^2 ≥ 0$,
∴ $(x + 1)^2 + 2 ≥ 2$,
∴ 代数式 $x^2 + 2x + 3$ 的最小值是 2,这时相应的 $x$ 的值是 $-1$.
② $2x^2 - 12x + 1 = 2(x^2 - 6x) + 1 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1 = 2(x - 3)^2 - 18 + 1 = 2(x - 3)^2 - 17$.
∵ $(x - 3)^2$ 是非负数,即 $(x - 3)^2 ≥ 0$,
∴ $2(x - 3)^2 - 17 ≥ -17$,
∴ 代数式 $2x^2 - 12x + 1$ 的最小值是
(2)知识再现:当 $x = $
(3)知识运用:已知 $y = -x^2 + 2x + 2$,当 $x = $
(4)知识拓展:若 $-x^2 + 3x + y + 4 = 0$,求 $y + x$ 的最小值.
阅读材料并解答下列问题:
我们把多项式 $a^2 + 2ab + b^2, a^2 - 2ab + b^2$ 叫作完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式的最大(或最小)值问题.
(1)例如,① $x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x) + 3 = (x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = (x + 1)^2 - 1 + 3 = (x + 1)^2 + 2$.
∵ $(x + 1)^2$ 是非负数,即 $(x + 1)^2 ≥ 0$,
∴ $(x + 1)^2 + 2 ≥ 2$,
∴ 代数式 $x^2 + 2x + 3$ 的最小值是 2,这时相应的 $x$ 的值是 $-1$.
② $2x^2 - 12x + 1 = 2(x^2 - 6x) + 1 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1 = 2(x - 3)^2 - 18 + 1 = 2(x - 3)^2 - 17$.
∵ $(x - 3)^2$ 是非负数,即 $(x - 3)^2 ≥ 0$,
∴ $2(x - 3)^2 - 17 ≥ -17$,
∴ 代数式 $2x^2 - 12x + 1$ 的最小值是
-17
,这时相应的 $x$ 的值是 3
.(2)知识再现:当 $x = $
2
时,代数式 $x^2 - 4x + 5$ 的最小值是 1
.(3)知识运用:已知 $y = -x^2 + 2x + 2$,当 $x = $
1
时,$y$ 有最 大
(填“大”或“小”)值,最 大
(填“大”或“小”)值是 3
.(4)知识拓展:若 $-x^2 + 3x + y + 4 = 0$,求 $y + x$ 的最小值.
答案
7.解:(1)$-17$ 3 (2)2 1 (3)1 大 大 3
(4)$\because -x^2 + 3x + y + 4 = 0,\therefore y = x^2 - 3x - 4$,
$\therefore y + x = x^2 - 2x - 4 = (x - 1)^2 - 5$.
$\because (x - 1)^2 ≥ 0,\therefore (x - 1)^2 - 5 ≥ -5$,
$\therefore y + x$ 的最小值为$-5$.
(4)$\because -x^2 + 3x + y + 4 = 0,\therefore y = x^2 - 3x - 4$,
$\therefore y + x = x^2 - 2x - 4 = (x - 1)^2 - 5$.
$\because (x - 1)^2 ≥ 0,\therefore (x - 1)^2 - 5 ≥ -5$,
$\therefore y + x$ 的最小值为$-5$.
解析
【分析】
本题核心解题方法是配方法，解题思路如下：首先将代数式中含二次项、一次项的部分提取公因式（二次项系数不为1时先提系数）后，通过加、减一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再利用完全平方的非负性（任意实数的平方≥0）判断代数式的最值：若完全平方项的系数为正，代数式有最小值，当完全平方项为0时取到最小值；若完全平方项的系数为负，代数式有最大值，当完全平方项为0时取到最大值。
(1)根据示例给出的配方结果，直接利用平方非负性可得最值及对应x的值；
(2)对$x^2-4x+5$自行配方，凑成完全平方式后求最值；
(3)对二次项系数为负的代数式配方，注意负号对不等号方向的影响，判断最值类型及数值；
(4)先通过已知等式用x表示y，代入$y+x$后得到关于x的代数式，配方后利用平方非负性求最小值。
【解析】
(1) 由题中配方结果得$2(x-3)^2 -17$，$\because (x-3)^2≥0$，$\therefore 2(x-3)^2≥0$，$\therefore 2(x-3)^2 -17≥ -17$，当$(x-3)^2=0$即$x=3$时，取到最小值$-17$；
(2) $x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$，$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore (x-2)^2+1≥1$，当$x-2=0$即$x=2$时，取到最小值1；
(3) $y=-x^2+2x+2=-(x^2-2x)+2=-(x^2-2x+1-1)+2=-(x-1)^2 +3$，$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore -(x-1)^2≤0$，$\therefore -(x-1)^2 +3≤3$，当$x-1=0$即$x=1$时，y取到最大值3；
(4) 已知$-x^2+3x+y+4=0$，移项得$y=x^2-3x-4$，
则$y+x=x^2-3x-4 +x=x^2-2x-4$，
配方得$x^2-2x-4=(x^2-2x+1)-1-4=(x-1)^2 -5$，
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2 -5≥ -5$，
$\therefore y+x$的最小值为$-5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-17}$；$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{1}$；大；大；$\boldsymbol{3}$
(4) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题为过程性学习类考题，先给出配方法求最值的示例，再引导学生迁移运用方法解决不同类型的代数式最值问题，重点考查阅读理解能力和知识迁移能力，熟练掌握配方法步骤和平方的非负性是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题核心解题方法是配方法，解题思路如下：首先将代数式中含二次项、一次项的部分提取公因式（二次项系数不为1时先提系数）后，通过加、减一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再利用完全平方的非负性（任意实数的平方≥0）判断代数式的最值：若完全平方项的系数为正，代数式有最小值，当完全平方项为0时取到最小值；若完全平方项的系数为负，代数式有最大值，当完全平方项为0时取到最大值。
(1)根据示例给出的配方结果，直接利用平方非负性可得最值及对应x的值；
(2)对$x^2-4x+5$自行配方，凑成完全平方式后求最值；
(3)对二次项系数为负的代数式配方，注意负号对不等号方向的影响，判断最值类型及数值；
(4)先通过已知等式用x表示y，代入$y+x$后得到关于x的代数式，配方后利用平方非负性求最小值。
【解析】
(1) 由题中配方结果得$2(x-3)^2 -17$，$\because (x-3)^2≥0$，$\therefore 2(x-3)^2≥0$，$\therefore 2(x-3)^2 -17≥ -17$，当$(x-3)^2=0$即$x=3$时，取到最小值$-17$；
(2) $x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$，$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore (x-2)^2+1≥1$，当$x-2=0$即$x=2$时，取到最小值1；
(3) $y=-x^2+2x+2=-(x^2-2x)+2=-(x^2-2x+1-1)+2=-(x-1)^2 +3$，$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore -(x-1)^2≤0$，$\therefore -(x-1)^2 +3≤3$，当$x-1=0$即$x=1$时，y取到最大值3；
(4) 已知$-x^2+3x+y+4=0$，移项得$y=x^2-3x-4$，
则$y+x=x^2-3x-4 +x=x^2-2x-4$，
配方得$x^2-2x-4=(x^2-2x+1)-1-4=(x-1)^2 -5$，
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2 -5≥ -5$，
$\therefore y+x$的最小值为$-5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-17}$；$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{1}$；大；大；$\boldsymbol{3}$
(4) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题为过程性学习类考题，先给出配方法求最值的示例，再引导学生迁移运用方法解决不同类型的代数式最值问题，重点考查阅读理解能力和知识迁移能力，熟练掌握配方法步骤和平方的非负性是解题的核心。
【难度系数】
0.7
