登录
1 [2025河南]一元二次方程$x^2 -2x=0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时首先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确对应找出二次项系数a、一次项系数b和常数项c；再代入判别式公式计算$\Delta$的取值；最后根据判别式的取值意义判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。本题方程已经是一般形式，直接提取系数计算即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对照题干中的方程$x^2 -2x=0$，可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×0 = 4＞0$
根据判别式的性质，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，解题关键是准确识别方程各项系数，牢记判别式与根的对应关系，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时首先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确对应找出二次项系数a、一次项系数b和常数项c；再代入判别式公式计算$\Delta$的取值；最后根据判别式的取值意义判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。本题方程已经是一般形式，直接提取系数计算即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对照题干中的方程$x^2 -2x=0$，可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×0 = 4＞0$
根据判别式的性质，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，解题关键是准确识别方程各项系数，牢记判别式与根的对应关系，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
2 [2025新疆]若关于x的一元二次方程$x^2 -2x +a=0$无实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$
B
）A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta=B^2-4AC＜0$时，方程无实数根。解题时先找到给定方程对应的二次项系数$A$、一次项系数$B$、常数项$C$，注意不要将题干中的参数$a$和判别式公式里的二次项系数符号混淆，再代入判别式列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x +a=0$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$。
根据一元二次方程根的判别式公式，可得：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
已知该方程无实数根，因此$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4a ＜ 0$
解这个不等式：
移项得$4 ＜ 4a$，两边同时除以4得$a ＞ 1$。
因此实数$a$的取值范围是$a＞1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题的关键是准确提取方程各项系数，正确代入判别式列出不等式求解，做题时要注意区分题干参数和判别式公式中的系数符号，避免因混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta=B^2-4AC＜0$时，方程无实数根。解题时先找到给定方程对应的二次项系数$A$、一次项系数$B$、常数项$C$，注意不要将题干中的参数$a$和判别式公式里的二次项系数符号混淆，再代入判别式列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x +a=0$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$。
根据一元二次方程根的判别式公式，可得：
$\Delta = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4×1× a = 4 - 4a$
已知该方程无实数根，因此$\Delta ＜ 0$，即：
$4 - 4a ＜ 0$
解这个不等式：
移项得$4 ＜ 4a$，两边同时除以4得$a ＞ 1$。
因此实数$a$的取值范围是$a＞1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题的关键是准确提取方程各项系数，正确代入判别式列出不等式求解，做题时要注意区分题干参数和判别式公式中的系数符号，避免因混淆出错。
【难度系数】
0.8
3 新考向 结论开放题 [2024南通]已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值：
-1
。答案
答案不唯一，如-1
解析
【分析】
拿到题目首先抓住关键条件：一元二次方程有两个不相等的实数根，我们首先想到一元二次方程根的个数与判别式Δ的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式得到关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围，最后在取值范围内任选一个实数即可得到答案。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 4 - 4k$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$4-4k＞0$，
解这个不等式得：$k＜1$，
因此所有小于1的实数都满足条件，例如$k=-1$。
【答案】
答案不唯一，如-1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是结论开放型试题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需准确记忆判别式与根的个数的对应关系，代入系数计算时注意符号不要出错，最终答案只要在取值范围内即可，灵活度较高。
【难度系数】
0.85
拿到题目首先抓住关键条件：一元二次方程有两个不相等的实数根，我们首先想到一元二次方程根的个数与判别式Δ的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式得到关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围，最后在取值范围内任选一个实数即可得到答案。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 4 - 4k$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$4-4k＞0$，
解这个不等式得：$k＜1$，
因此所有小于1的实数都满足条件，例如$k=-1$。
【答案】
答案不唯一，如-1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是结论开放型试题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需准确记忆判别式与根的个数的对应关系，代入系数计算时注意符号不要出错，最终答案只要在取值范围内即可，灵活度较高。
【难度系数】
0.85
4（易错题）若关于$x$的方程$kx^2 - x - \dfrac{3}{4}=0$有实数根，则$k$的取值范围是
$k≥-\dfrac{1}{3}$
。答案
$k≥-\dfrac{1}{3}$
易错分析：未对方程进行分类讨论导致漏解。
易错分析：未对方程进行分类讨论导致漏解。
解析
【分析】
题目未明确说明方程是一元二次方程，因此解题时需分两种情况讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，根据方程有实根可知根的判别式Δ≥0，代入对应系数求解k的范围，最后合并两种情况的结果即可得到k的总取值范围，避免漏讨论k=0的情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ k=0 $时，原方程化简为一元一次方程：$-x - \dfrac{3}{4}=0$，解得$ x=-\dfrac{3}{4} $，有实数根，符合题意。
2. 当$ k≠0 $时，原方程是一元二次方程，其中二次项系数$ a=k $，一次项系数$ b=-1 $，常数项$ c=-\dfrac{3}{4} $。
方程有实数根，则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × k × (-\dfrac{3}{4}) = 1 + 3k ≥ 0$
解得$ k ≥ -\dfrac{1}{3} $，结合$ k≠0 $的前提，此情况下k的取值范围为$ k ≥ -\dfrac{1}{3} $且$ k≠0 $。
综合两种情况，合并后得到k的取值范围为$ k ≥ -\dfrac{1}{3} $。
【答案】
$k≥-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题核心是注意未明确限定方程类型时，需先分类讨论方程是一次方程还是二次方程，不能直接默认是二次方程忽略k=0的情况，否则会出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
题目未明确说明方程是一元二次方程，因此解题时需分两种情况讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，根据方程有实根可知根的判别式Δ≥0，代入对应系数求解k的范围，最后合并两种情况的结果即可得到k的总取值范围，避免漏讨论k=0的情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$ k=0 $时，原方程化简为一元一次方程：$-x - \dfrac{3}{4}=0$，解得$ x=-\dfrac{3}{4} $，有实数根，符合题意。
2. 当$ k≠0 $时，原方程是一元二次方程，其中二次项系数$ a=k $，一次项系数$ b=-1 $，常数项$ c=-\dfrac{3}{4} $。
方程有实数根，则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × k × (-\dfrac{3}{4}) = 1 + 3k ≥ 0$
解得$ k ≥ -\dfrac{1}{3} $，结合$ k≠0 $的前提，此情况下k的取值范围为$ k ≥ -\dfrac{1}{3} $且$ k≠0 $。
综合两种情况，合并后得到k的取值范围为$ k ≥ -\dfrac{1}{3} $。
【答案】
$k≥-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题核心是注意未明确限定方程类型时，需先分类讨论方程是一次方程还是二次方程，不能直接默认是二次方程忽略k=0的情况，否则会出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
5 教材变式题 利用根的判别式判断下面方程的根的情况：
(1) $9x^2 -6x +1=0$；
(2) $5(x^2 +1)-7x=0$。
(1) $9x^2 -6x +1=0$；
(2) $5(x^2 +1)-7x=0$。
答案
(1) $\because \Delta=(-6)^2-4×9×1=0,\therefore$ 方程有两个相等的实数根
(2) $\because$ 原方程化为一般形式为 $5x^2-7x+5=0,\therefore \Delta=(-7)^2-4×5×5=-51＜0.\therefore$ 方程无实数根
(2) $\because$ 原方程化为一般形式为 $5x^2-7x+5=0,\therefore \Delta=(-7)^2-4×5×5=-51＜0.\therefore$ 方程无实数根
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路如下：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步，代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先去括号、移项整理为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 方程$9x^2 -6x +1=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=9$，$b=-6$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta=(-6)^2-4×9×1=36-36=0$。
(2) 先整理方程$5(x^2 +1)-7x=0$：去括号得$5x^2+5-7x=0$，移项化为一般形式为$5x^2-7x+5=0$，其中$a=5$，$b=-7$，$c=5$，
代入判别式得：$\Delta=(-7)^2-4×5×5=49-100=-51＜0$。
【答案】
(1) 方程有两个相等的实数根；
(2) 方程无实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是先将方程化为标准一般形式，准确确定各项系数，计算判别式时要注意符号问题，根据判别式的取值即可直接判断方程根的情况。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题思路如下：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步，代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先去括号、移项整理为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 方程$9x^2 -6x +1=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=9$，$b=-6$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta=(-6)^2-4×9×1=36-36=0$。
(2) 先整理方程$5(x^2 +1)-7x=0$：去括号得$5x^2+5-7x=0$，移项化为一般形式为$5x^2-7x+5=0$，其中$a=5$，$b=-7$，$c=5$，
代入判别式得：$\Delta=(-7)^2-4×5×5=49-100=-51＜0$。
【答案】
(1) 方程有两个相等的实数根；
(2) 方程无实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是先将方程化为标准一般形式，准确确定各项系数，计算判别式时要注意符号问题，根据判别式的取值即可直接判断方程根的情况。
【难度系数】
0.8
6 已知关于x的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根。
答案
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+2m-1=0$ 有实数根,$\therefore \Delta=4-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤1.\because m$ 为正整数,$\therefore m=1.\therefore$ 原方程即为 $x^2-2x+1=0$,解得 $x_1=x_2=1$
解析
【分析】
遇到一元二次方程有实数根的问题，首先想到利用根的判别式Δ判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ≥0时，方程有实数根。第一步先确定本题方程中a、b、c的取值，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围；再结合“m为正整数”的限制条件，筛选出符合要求的m值；最后将m代入原方程，求解一元二次方程即可得到对应的根。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，
∴ $\Delta = (-2)^2 - 4×1×(2m-1) ≥ 0$，
即$4 - 4(2m-1) ≥ 0$，
解得 $m ≤ 1$。
∵ m为正整数，
∴ $m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$x^2 - 2x + 1 = 0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
【答案】
m的值为1，此时方程的根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，结合参数的限制条件求出参数后代入解方程即可，注意方程有实数根时判别式取大于等于0，不要遗漏等号。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程有实数根的问题，首先想到利用根的判别式Δ判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ≥0时，方程有实数根。第一步先确定本题方程中a、b、c的取值，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围；再结合“m为正整数”的限制条件，筛选出符合要求的m值；最后将m代入原方程，求解一元二次方程即可得到对应的根。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0$有实数根，
∴ $\Delta = (-2)^2 - 4×1×(2m-1) ≥ 0$，
即$4 - 4(2m-1) ≥ 0$，
解得 $m ≤ 1$。
∵ m为正整数，
∴ $m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$x^2 - 2x + 1 = 0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
【答案】
m的值为1，此时方程的根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，结合参数的限制条件求出参数后代入解方程即可，注意方程有实数根时判别式取大于等于0，不要遗漏等号。
【难度系数】
0.8
7 关于$x$的方程$ax^2 -bx +c=0(a≠0,b^2 -4ac＞0)$的根是（
A
）答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程求根公式的适用条件和形式：对于一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta=B^2-4AC≥0$时，根的公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$。接下来需要将题目给出的方程$ax^2 -bx +c=0$的系数和一般式对应：二次项系数$A=a$，一次项系数$B=-b$，常数项$C=c$，再将对应系数代入求根公式化简，即可得到正确结果，最后和选项对比选出答案即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当$B^2-4AC≥0$时，其求根公式为：
$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$
题中方程为$ax^2 -bx +c=0$（$a≠0$，$b^2-4ac＞0$），对应一般式的系数：$A=a$，$B=-b$，$C=c$。
将系数代入求根公式得：
$x=\frac{-(-b)\pm\sqrt{(-b)^2-4ac}}{2a}$
化简后可得：
$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
因此符合的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的应用，解题的关键是找准方程中各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，切忌死记硬背公式直接代入，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程求根公式的适用条件和形式：对于一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当判别式$\Delta=B^2-4AC≥0$时，根的公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$。接下来需要将题目给出的方程$ax^2 -bx +c=0$的系数和一般式对应：二次项系数$A=a$，一次项系数$B=-b$，常数项$C=c$，再将对应系数代入求根公式化简，即可得到正确结果，最后和选项对比选出答案即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当$B^2-4AC≥0$时，其求根公式为：
$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$
题中方程为$ax^2 -bx +c=0$（$a≠0$，$b^2-4ac＞0$），对应一般式的系数：$A=a$，$B=-b$，$C=c$。
将系数代入求根公式得：
$x=\frac{-(-b)\pm\sqrt{(-b)^2-4ac}}{2a}$
化简后可得：
$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
因此符合的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的应用，解题的关键是找准方程中各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，切忌死记硬背公式直接代入，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
8 教材变式题 一元二次方程$x^2 + 4x - 8 = 0$的根是（
A.$x_1=2+2\sqrt{3}, x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2}, x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2}, x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3}, x_2=-2-2\sqrt{3}$
D
）A.$x_1=2+2\sqrt{3}, x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2}, x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2}, x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3}, x_2=-2-2\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，可采用公式法求解，解题思路如下：第一步先将方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对照，确定$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实根；第三步代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，最后对比选项得到答案即可，计算过程中注意符号不要出错，二次根式要化简到最简形式。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 4x - 8 = 0$，对照一般形式可得：
$a=1$，$b=4$，$c=-8$
先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=4^2 - 4×1×(-8)=16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4±\sqrt{48}}{2×1}=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2}=-2±2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 公式法解方程
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公式法求解一元二次方程的应用，解题关键是准确识别$a、b、c$的取值，计算判别式和代入求根公式时要注意符号问题，最终结果的二次根式需化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程的根，可采用公式法求解，解题思路如下：第一步先将方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对照，确定$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实根；第三步代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，最后对比选项得到答案即可，计算过程中注意符号不要出错，二次根式要化简到最简形式。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 4x - 8 = 0$，对照一般形式可得：
$a=1$，$b=4$，$c=-8$
先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=4^2 - 4×1×(-8)=16+32=48＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4±\sqrt{48}}{2×1}=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2}=-2±2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 公式法解方程
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公式法求解一元二次方程的应用，解题关键是准确识别$a、b、c$的取值，计算判别式和代入求根公式时要注意符号问题，最终结果的二次根式需化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
9 教材变式题 用公式法解方程：
(1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2) $x(x - 2\sqrt{5}) = 4$。
(1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2) $x(x - 2\sqrt{5}) = 4$。
答案
(1) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$
(2) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=-3+\sqrt{5}$
(2) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=-3+\sqrt{5}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程，首先要将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定$a、b、c$的取值，接着计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta≥0$，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算并化简结果即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$为一般形式，
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×1×(-1)=12+4=16＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2\sqrt{3}\pm4}{2}=\sqrt{3}\pm2$，
即$x_1=\sqrt{3}+2$，$x_2=\sqrt{3}-2$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
$x(x - 2\sqrt{5}) = 4$展开移项得$x^2-2\sqrt{5}x-4=0$，
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=-4$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4×1×(-4)=20+16=36＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-2\sqrt{5})\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{2\sqrt{5}\pm6}{2}=\sqrt{5}\pm3$，
即$x_1=\sqrt{5}+3$，$x_2=\sqrt{5}-3$。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$
(2) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=-3+\sqrt{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时要严格遵循公式法的步骤，尤其要注意将方程化为一般形式后再确定$a、b、c$的值，计算判别式和代入求根公式时要注意符号问题，最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程，首先要将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定$a、b、c$的取值，接着计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta≥0$，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算并化简结果即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$为一般形式，
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×1×(-1)=12+4=16＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{2\sqrt{3}\pm4}{2}=\sqrt{3}\pm2$，
即$x_1=\sqrt{3}+2$，$x_2=\sqrt{3}-2$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
$x(x - 2\sqrt{5}) = 4$展开移项得$x^2-2\sqrt{5}x-4=0$，
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=-4$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4×1×(-4)=20+16=36＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-2\sqrt{5})\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{2\sqrt{5}\pm6}{2}=\sqrt{5}\pm3$，
即$x_1=\sqrt{5}+3$，$x_2=\sqrt{5}-3$。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$
(2) $x_1=3+\sqrt{5},x_2=-3+\sqrt{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时要严格遵循公式法的步骤，尤其要注意将方程化为一般形式后再确定$a、b、c$的值，计算判别式和代入求根公式时要注意符号问题，最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
