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1 已知AC和BD是菱形ABCD的对角线，再补充一个条件能使其成为正方形，有下列条件：① $AC=BD$；② $AC ⊥ BD$；③ $AB^2 + AD^2=BD^2$；④ $∠ ACD=∠ ADC$。其中，符合要求的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路：首先明确菱形转化为正方形的两个核心判定依据：一是有一个内角为直角的菱形是正方形，二是对角线相等的菱形是正方形。再结合菱形本身的性质，逐个验证4个条件是否能推出菱形满足正方形的判定要求即可。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，先明确菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直，是特殊的平行四边形。
菱形判定为正方形的定理：①有一个内角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。
对每个条件逐一分析：
1. 条件①$AC=BD$：菱形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此该图形既是菱形又是矩形，即为正方形，故①符合要求；
2. 条件②$AC⊥BD$：菱形本身的对角线就互相垂直，添加该条件后图形仍然是菱形，无法判定为正方形，故②不符合要求；
3. 条件③$AB^2 + AD^2=BD^2$：根据勾股定理逆定理，可得$∠ BAD=90°$，有一个内角为直角的菱形是正方形，故③符合要求；
4. 条件④$∠ ACD=∠ ADC$：可得$AC=AD$，又菱形中$AD=CD$，因此$AC=AD=CD$，$△ ACD$是等边三角形，$∠ ADC=60°$，该菱形内角为$60°$和$120°$，不是正方形，故④不符合要求。
综上，符合要求的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定，菱形的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查特殊四边形的性质与判定，需要准确区分菱形和正方形的性质差异，避免混淆菱形已具备的特征，同时要能结合勾股定理逆定理判断直角，是特殊四边形判定类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确菱形转化为正方形的两个核心判定依据：一是有一个内角为直角的菱形是正方形，二是对角线相等的菱形是正方形。再结合菱形本身的性质，逐个验证4个条件是否能推出菱形满足正方形的判定要求即可。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，先明确菱形的性质：四条边相等，对角线互相垂直，是特殊的平行四边形。
菱形判定为正方形的定理：①有一个内角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。
对每个条件逐一分析：
1. 条件①$AC=BD$：菱形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此该图形既是菱形又是矩形，即为正方形，故①符合要求；
2. 条件②$AC⊥BD$：菱形本身的对角线就互相垂直，添加该条件后图形仍然是菱形，无法判定为正方形，故②不符合要求；
3. 条件③$AB^2 + AD^2=BD^2$：根据勾股定理逆定理，可得$∠ BAD=90°$，有一个内角为直角的菱形是正方形，故③符合要求；
4. 条件④$∠ ACD=∠ ADC$：可得$AC=AD$，又菱形中$AD=CD$，因此$AC=AD=CD$，$△ ACD$是等边三角形，$∠ ADC=60°$，该菱形内角为$60°$和$120°$，不是正方形，故④不符合要求。
综上，符合要求的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定，菱形的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查特殊四边形的性质与判定，需要准确区分菱形和正方形的性质差异，避免混淆菱形已具备的特征，同时要能结合勾股定理逆定理判断直角，是特殊四边形判定类的基础题型。
【难度系数】
0.7
2 数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具(如图).小彤想要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是
答案不唯一,如$∠ ABC=90°$
.答案
2. 答案不唯一,如$∠ ABC=90°$
解析
【分析】
解题时先回忆菱形和正方形的联系：正方形是特殊的菱形，菱形要转化为正方形，只需满足两类条件之一即可：一是菱形有一个内角为直角，二是菱形的对角线相等，我们任选其中一类条件写出对应的具体条件即可。
【解析】
已知原学具是菱形，已经具备四条边相等、对边平行等菱形的性质。
根据正方形的判定定理：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。
因此可添加的条件不唯一，例如添加$∠ ABC=90°$，此时满足“有一个角是直角的菱形是正方形”，该菱形就成为正方形；也可添加$AC=BD$，满足“对角线相等的菱形是正方形”，同样符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$∠ ABC=90°$
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，考查特殊平行四边形的转化，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的判定与性质，写出的条件只要符合正方形的判定规则即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形和正方形的联系：正方形是特殊的菱形，菱形要转化为正方形，只需满足两类条件之一即可：一是菱形有一个内角为直角，二是菱形的对角线相等，我们任选其中一类条件写出对应的具体条件即可。
【解析】
已知原学具是菱形，已经具备四条边相等、对边平行等菱形的性质。
根据正方形的判定定理：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形。
因此可添加的条件不唯一，例如添加$∠ ABC=90°$，此时满足“有一个角是直角的菱形是正方形”，该菱形就成为正方形；也可添加$AC=BD$，满足“对角线相等的菱形是正方形”，同样符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$∠ ABC=90°$
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，考查特殊平行四边形的转化，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的判定与性质，写出的条件只要符合正方形的判定规则即可。
【难度系数】
0.8
3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发，在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s。连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6 cm的等边三角形，则当t=
3
时，四边形DEBF为正方形。答案
3. 3
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据菱形的性质和点E、F的运动特点，判断四边形DEBF始终是菱形；2. 明确菱形转化为正方形的条件：对角线相等（或有一个内角为直角）；3. 结合等边三角形的性质求出BD的长度，再根据正方形的判定条件列出关于t的等式，求解即可得到t的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD。
∵点E、F同时从O出发，以1cm/s的速度反向运动，运动时间为t s，
∴OE=OF=t cm，
∴四边形DEBF的对角线互相垂直平分，即四边形DEBF是菱形。
∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，
∴BD=6cm。
当菱形DEBF为正方形时，需满足对角线相等，即EF=BD，
又
∵EF=OE+OF=2t cm，
∴2t=6，
解得t=3。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质与判定；正方形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何动点与特殊四边形判定结合的典型题型，解题关键是先抓住运动过程中四边形恒为菱形的不变特征，再结合正方形的判定条件建立等量关系求解，能很好地考查对特殊四边形性质和判定的掌握程度。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先根据菱形的性质和点E、F的运动特点，判断四边形DEBF始终是菱形；2. 明确菱形转化为正方形的条件：对角线相等（或有一个内角为直角）；3. 结合等边三角形的性质求出BD的长度，再根据正方形的判定条件列出关于t的等式，求解即可得到t的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD。
∵点E、F同时从O出发，以1cm/s的速度反向运动，运动时间为t s，
∴OE=OF=t cm，
∴四边形DEBF的对角线互相垂直平分，即四边形DEBF是菱形。
∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，
∴BD=6cm。
当菱形DEBF为正方形时，需满足对角线相等，即EF=BD，
又
∵EF=OE+OF=2t cm，
∴2t=6，
解得t=3。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质与判定；正方形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何动点与特殊四边形判定结合的典型题型，解题关键是先抓住运动过程中四边形恒为菱形的不变特征，再结合正方形的判定条件建立等量关系求解，能很好地考查对特殊四边形性质和判定的掌握程度。
【难度系数】
0.65
4 新考向 探究题 请你只用一个圆规验证如图所示的四边形ABCD是否为正方形，写出验证方案.
答案
4. 第1步:首先利用圆规验证4条边是否相等,若相等,则四边形ABCD为菱形;第2步:再验证点A,C之间的距离与点B,D之间的距离是否相等,若相等,则四边形ABCD为正方形
解析
【分析】
要仅用圆规验证四边形是否为正方形，首先明确圆规的功能是比较两条线段的长度是否相等，再结合正方形的判定思路推导方案：首先正方形属于特殊的菱形，需先验证四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形），再验证该菱形满足对角线相等的条件（对角线相等的菱形是正方形），分两步操作即可完成验证。
【解析】
1. 验证四边是否相等：将圆规两脚张开至与AB长度匹配的张角，保持张角不变，依次比对BC、CD、DA的长度，若四条边长度均相等，则四边形ABCD是菱形；若存在边长不相等，则不是正方形。
2. 验证对角线是否相等：若第一步确认是菱形，再将圆规两脚张开至与AC长度匹配的张角，保持张角不变比对BD的长度，若AC与BD长度相等，则四边形ABCD是正方形；若对角线长度不等，则不是正方形。
【答案】
第1步:首先利用圆规验证4条边是否相等,若相等,则四边形ABCD为菱形;第2步:再验证点A,C之间的距离与点B,D之间的距离是否相等,若相等,则四边形ABCD为正方形
【知识点】
1.菱形的判定
2.正方形的判定
3.线段长度比较
【点评】
本题为操作探究类题目，结合工具限制考查特殊四边形的判定定理，需要将判定条件转化为可通过圆规完成的操作，侧重考查知识的灵活应用与实践操作能力。
【难度系数】
0.7
要仅用圆规验证四边形是否为正方形，首先明确圆规的功能是比较两条线段的长度是否相等，再结合正方形的判定思路推导方案：首先正方形属于特殊的菱形，需先验证四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形），再验证该菱形满足对角线相等的条件（对角线相等的菱形是正方形），分两步操作即可完成验证。
【解析】
1. 验证四边是否相等：将圆规两脚张开至与AB长度匹配的张角，保持张角不变，依次比对BC、CD、DA的长度，若四条边长度均相等，则四边形ABCD是菱形；若存在边长不相等，则不是正方形。
2. 验证对角线是否相等：若第一步确认是菱形，再将圆规两脚张开至与AC长度匹配的张角，保持张角不变比对BD的长度，若AC与BD长度相等，则四边形ABCD是正方形；若对角线长度不等，则不是正方形。
【答案】
第1步:首先利用圆规验证4条边是否相等,若相等,则四边形ABCD为菱形;第2步:再验证点A,C之间的距离与点B,D之间的距离是否相等,若相等,则四边形ABCD为正方形
【知识点】
1.菱形的判定
2.正方形的判定
3.线段长度比较
【点评】
本题为操作探究类题目，结合工具限制考查特殊四边形的判定定理，需要将判定条件转化为可通过圆规完成的操作，侧重考查知识的灵活应用与实践操作能力。
【难度系数】
0.7
5 教材变式题 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（
A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
D
）A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先回忆中点四边形的相关规律：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形一定是平行四边形，其形状由原四边形的对角线决定。接下来结合正方形的判定条件（需同时满足邻边相等、有一个内角为直角），反推原四边形对角线需要满足的关系即可。第一步先利用三角形中位线定理明确中点四边形的边与原对角线的位置、数量关系；第二步分别推导中点四边形为菱形、矩形时原对角线的条件，两者结合就是中点四边形为正方形时对角线的要求。
【解析】
设四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接得中点四边形EFGH。
1. 根据三角形中位线定理可得：
EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC；GH//AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，因此EF//GH且EF=GH，同理可证EH//BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，故四边形EFGH是平行四边形。
2. 若平行四边形EFGH是正方形，需同时满足两个条件：
① 邻边相等：EF=EH，代入得$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，即AC=BD；
② 邻边垂直：EF⊥EH，因为EF//AC、EH//BD，因此可得AC⊥BD。
综上，四边形ABCD的对角线AC、BD需互相垂直且相等，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形的性质；正方形的判定
【点评】
本题是中点四边形类的典型基础题，解题核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，需熟练掌握特殊平行四边形的判定定理进行推导。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆中点四边形的相关规律：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形一定是平行四边形，其形状由原四边形的对角线决定。接下来结合正方形的判定条件（需同时满足邻边相等、有一个内角为直角），反推原四边形对角线需要满足的关系即可。第一步先利用三角形中位线定理明确中点四边形的边与原对角线的位置、数量关系；第二步分别推导中点四边形为菱形、矩形时原对角线的条件，两者结合就是中点四边形为正方形时对角线的要求。
【解析】
设四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接得中点四边形EFGH。
1. 根据三角形中位线定理可得：
EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC；GH//AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，因此EF//GH且EF=GH，同理可证EH//BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，故四边形EFGH是平行四边形。
2. 若平行四边形EFGH是正方形，需同时满足两个条件：
① 邻边相等：EF=EH，代入得$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，即AC=BD；
② 邻边垂直：EF⊥EH，因为EF//AC、EH//BD，因此可得AC⊥BD。
综上，四边形ABCD的对角线AC、BD需互相垂直且相等，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形的性质；正方形的判定
【点评】
本题是中点四边形类的典型基础题，解题核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，需熟练掌握特殊平行四边形的判定定理进行推导。
【难度系数】
0.7
6（易错题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件：
答案不唯一,如$AC⊥ BD$
，使得矩形ABCD为正方形。答案
6. 答案不唯一,如$AC⊥ BD$
解析
【分析】
已知四边形ABCD是矩形，矩形已经满足四个角为直角、对角线相等且互相平分的性质。要使矩形变为正方形，只需让矩形同时具备菱形的特征即可（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）。菱形的核心特征为邻边相等、对角线互相垂直，因此添加的条件只要符合这两类特征即可。
【解析】
根据正方形的判定定理：
1. 有一组邻边相等的矩形是正方形，因此可添加条件如$AB=BC$（任意一组邻边相等均可）；
2. 对角线互相垂直的矩形是正方形，因此可添加条件如$AC⊥BD$。
以上条件任选其一即可，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AC⊥BD$
【知识点】
正方形的判定、矩形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查特殊平行四边形的转化逻辑，易错点是容易误将矩形本身已有的性质（如对角线相等）作为添加条件，解题时需先明确矩形已具备的性质，只需补充菱形的独有特征即可。
【难度系数】
0.7
已知四边形ABCD是矩形，矩形已经满足四个角为直角、对角线相等且互相平分的性质。要使矩形变为正方形，只需让矩形同时具备菱形的特征即可（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）。菱形的核心特征为邻边相等、对角线互相垂直，因此添加的条件只要符合这两类特征即可。
【解析】
根据正方形的判定定理：
1. 有一组邻边相等的矩形是正方形，因此可添加条件如$AB=BC$（任意一组邻边相等均可）；
2. 对角线互相垂直的矩形是正方形，因此可添加条件如$AC⊥BD$。
以上条件任选其一即可，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AC⊥BD$
【知识点】
正方形的判定、矩形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查特殊平行四边形的转化逻辑，易错点是容易误将矩形本身已有的性质（如对角线相等）作为添加条件，解题时需先明确矩形已具备的性质，只需补充菱形的独有特征即可。
【难度系数】
0.7
7 数学活动课中，老师把一张矩形纸片按如图所示的方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：
有一组邻边相等的矩形
是正方形。答案
7. 有一组邻边相等的矩形
解析
【分析】
解题时首先明确原纸片为矩形，已具备四个角为直角、对边相等的性质；再分析折叠操作的特点：折叠后矩形的一组邻边长度相等，最后结合正方形的判定定理即可得出结论。
【解析】
已知原纸片是矩形，因此待裁的四边形首先是矩形，满足四个角都是直角、对边相等的性质。按图示方式折叠后，矩形的长被折叠到与宽重合，即该四边形有一组邻边相等。根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，因此可裁出正方形纸片。
【答案】
有一组邻边相等的矩形
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定、折叠的性质
【点评】
本题结合实际折纸操作考查特殊四边形的判定，需要将操作特点转化为几何中的边的关系，能加深对正方形和矩形联系的理解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确原纸片为矩形，已具备四个角为直角、对边相等的性质；再分析折叠操作的特点：折叠后矩形的一组邻边长度相等，最后结合正方形的判定定理即可得出结论。
【解析】
已知原纸片是矩形，因此待裁的四边形首先是矩形，满足四个角都是直角、对边相等的性质。按图示方式折叠后，矩形的长被折叠到与宽重合，即该四边形有一组邻边相等。根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，因此可裁出正方形纸片。
【答案】
有一组邻边相等的矩形
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定、折叠的性质
【点评】
本题结合实际折纸操作考查特殊四边形的判定，需要将操作特点转化为几何中的边的关系，能加深对正方形和矩形联系的理解。
【难度系数】
0.9
8 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，分别以点 $B,C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，连接 $BP,CP$.
（1）试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由.
（2）当 $□ ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形？请说明理由.
（1）试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由.
（2）当 $□ ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形？请说明理由.
答案
8. (1) 四边形BPCO是平行四边形 理由:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $OC=OA=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$.
∵ 以点B,C为圆心,$\frac{1}{2}AC$,$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧,两弧交于点P,
∴ OB=CP,BP=OC.
∴ 四边形BPCO是平行四边形.
(2) 当$AC⊥ BD$,$AC=BD$时,四边形BPCO是正方形 理由:
∵ $AC⊥ BD$,
∴ $∠ BOC=90°$.
∵ 由(1),知四边形BPCO是平行四边形,
∴ 四边形BPCO是矩形.
∵ $AC=BD$,$OB=\frac{1}{2}BD$,$OC=\frac{1}{2}AC$,
∴ OB=OC.
∴ 四边形BPCO是正方形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $OC=OA=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$.
∵ 以点B,C为圆心,$\frac{1}{2}AC$,$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧,两弧交于点P,
∴ OB=CP,BP=OC.
∴ 四边形BPCO是平行四边形.
(2) 当$AC⊥ BD$,$AC=BD$时,四边形BPCO是正方形 理由:
∵ $AC⊥ BD$,
∴ $∠ BOC=90°$.
∵ 由(1),知四边形BPCO是平行四边形,
∴ 四边形BPCO是矩形.
∵ $AC=BD$,$OB=\frac{1}{2}BD$,$OC=\frac{1}{2}AC$,
∴ OB=OC.
∴ 四边形BPCO是正方形.
解析
【分析】
（1）判断四边形BPCO的形状时，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC、OB分别为AC、BD的一半；再结合尺规作图的半径条件，得到四边形BPCO的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
（2）要使平行四边形BPCO为正方形，需同时满足“有一个角是直角”和“邻边相等”两个条件：对角线互相垂直可得∠BOC为直角，将平行四边形先判定为矩形；对角线相等可得OB=OC，即邻边相等，最终可判定矩形为正方形，因此需对角线同时满足垂直且相等的条件。
【解析】
（1）四边形$BPCO$是平行四边形，理由：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OC=OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵ 以点$B,C$为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，
∴ $BP=\frac{1}{2}AC$，$CP=\frac{1}{2}BD$，即$OB=CP$，$BP=OC$。
∴ 四边形$BPCO$是平行四边形。
（2）当$□ ABCD$的对角线满足$AC⊥ BD$且$AC=BD$时，四边形$BPCO$是正方形，理由：
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ BOC=90°$。
∵ 由（1）知四边形$BPCO$是平行四边形，
∴ 四边形$BPCO$是矩形。
∵ $AC=BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$。
∴ 四边形$BPCO$是正方形。
【答案】
（1）四边形$BPCO$是平行四边形，理由见解析；
（2）当对角线满足$AC⊥ BD$且$AC=BD$时，四边形$BPCO$是正方形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；正方形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形的判定定理，理清已知条件和判定所需条件的对应关系，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
（1）判断四边形BPCO的形状时，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC、OB分别为AC、BD的一半；再结合尺规作图的半径条件，得到四边形BPCO的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
（2）要使平行四边形BPCO为正方形，需同时满足“有一个角是直角”和“邻边相等”两个条件：对角线互相垂直可得∠BOC为直角，将平行四边形先判定为矩形；对角线相等可得OB=OC，即邻边相等，最终可判定矩形为正方形，因此需对角线同时满足垂直且相等的条件。
【解析】
（1）四边形$BPCO$是平行四边形，理由：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OC=OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵ 以点$B,C$为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，
∴ $BP=\frac{1}{2}AC$，$CP=\frac{1}{2}BD$，即$OB=CP$，$BP=OC$。
∴ 四边形$BPCO$是平行四边形。
（2）当$□ ABCD$的对角线满足$AC⊥ BD$且$AC=BD$时，四边形$BPCO$是正方形，理由：
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ BOC=90°$。
∵ 由（1）知四边形$BPCO$是平行四边形，
∴ 四边形$BPCO$是矩形。
∵ $AC=BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$。
∴ 四边形$BPCO$是正方形。
【答案】
（1）四边形$BPCO$是平行四边形，理由见解析；
（2）当对角线满足$AC⊥ BD$且$AC=BD$时，四边形$BPCO$是正方形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；正方形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形的判定定理，理清已知条件和判定所需条件的对应关系，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
