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9 如图，在$□ ABCD$中，$AD = 2AB = 2$，$∠ ABC=60°$，$E,F$是对角线$BD$上的动点，且$BE=DF$，$M,N$分别是边$AD,BC$上的动点.有下列说法：① 存在无数个$□ MENF$；② 存在无数个矩形$MENF$；③ 存在无数个菱形$MENF$；④ 存在无数个正方形$MENF$.其中，正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. C
解析
【分析】
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定BD的中点O，由BE=DF可推出OE=OF，只要MN过点O，就能得到四边形MENF的对角线互相平分，即为平行四边形，再结合特殊平行四边形的判定逐一分析4个说法：1. 只要MN过O，满足条件的M、N有无数组，可得到无数个平行四边形，①正确；2. 平行四边形基础上，只要对角线MN=EF即可为矩形，可通过调整E、F位置（保持BE=DF）让EF等于MN，这类情况有无数种，②正确；3. 平行四边形基础上，只要MN⊥BD即可为菱形，固定MN垂直BD，E、F可任意取满足BE=DF，能得到无数个菱形，③正确；4. 正方形需要对角线同时垂直且相等，MN垂直BD时长度固定，因此EF长度也固定，仅存在有限个正方形，④错误。综上可得出正确结论的个数。
【解析】
解：连接MN，交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD，
又
∵BE=DF，
∴OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
① 只要MN过点O，M在AD上、N在BC上，由AD//BC可证△OMD≌△ONB，得OM=ON，结合OE=OF，可知四边形MENF对角线互相平分，是平行四边形。满足条件的M、N有无数组，故存在无数个MENF，①正确；
② 平行四边形MENF中，只要对角线MN=EF，即可判定为矩形。固定MN过O，调整E、F的位置（保持BE=DF）使EF长度等于MN，这类组合有无数种，故存在无数个矩形MENF，②正确；
③ 平行四边形MENF中，只要MN⊥BD，即可判定为菱形。过O作BD的垂线交AD于M、BC于N，固定该MN，任意取E、F满足BE=DF，都能得到菱形MENF，有无数种情况，③正确；
④ 正方形需要对角线同时垂直且相等，即MN⊥BD且MN=EF。当MN⊥BD时，MN的长度为固定值，因此EF长度也为固定值，仅存在1组E、F满足条件，不是无数个，④错误。
综上，①②③正确，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质，特殊平行四边形的判定
【点评】
本题解题核心是先通过对角线互相平分确定四边形为平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定条件逐一验证，要注意正方形需要同时满足矩形和菱形的全部判定要求。
【难度系数】
0.65
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定BD的中点O，由BE=DF可推出OE=OF，只要MN过点O，就能得到四边形MENF的对角线互相平分，即为平行四边形，再结合特殊平行四边形的判定逐一分析4个说法：1. 只要MN过O，满足条件的M、N有无数组，可得到无数个平行四边形，①正确；2. 平行四边形基础上，只要对角线MN=EF即可为矩形，可通过调整E、F位置（保持BE=DF）让EF等于MN，这类情况有无数种，②正确；3. 平行四边形基础上，只要MN⊥BD即可为菱形，固定MN垂直BD，E、F可任意取满足BE=DF，能得到无数个菱形，③正确；4. 正方形需要对角线同时垂直且相等，MN垂直BD时长度固定，因此EF长度也固定，仅存在有限个正方形，④错误。综上可得出正确结论的个数。
【解析】
解：连接MN，交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD，
又
∵BE=DF，
∴OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
① 只要MN过点O，M在AD上、N在BC上，由AD//BC可证△OMD≌△ONB，得OM=ON，结合OE=OF，可知四边形MENF对角线互相平分，是平行四边形。满足条件的M、N有无数组，故存在无数个MENF，①正确；
② 平行四边形MENF中，只要对角线MN=EF，即可判定为矩形。固定MN过O，调整E、F的位置（保持BE=DF）使EF长度等于MN，这类组合有无数种，故存在无数个矩形MENF，②正确；
③ 平行四边形MENF中，只要MN⊥BD，即可判定为菱形。过O作BD的垂线交AD于M、BC于N，固定该MN，任意取E、F满足BE=DF，都能得到菱形MENF，有无数种情况，③正确；
④ 正方形需要对角线同时垂直且相等，即MN⊥BD且MN=EF。当MN⊥BD时，MN的长度为固定值，因此EF长度也为固定值，仅存在1组E、F满足条件，不是无数个，④错误。
综上，①②③正确，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质，特殊平行四边形的判定
【点评】
本题解题核心是先通过对角线互相平分确定四边形为平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定条件逐一验证，要注意正方形需要同时满足矩形和菱形的全部判定要求。
【难度系数】
0.65
10 如图,在$△ ABC$中,O是AC上一动点,过点O作直线$MN // BC$,设MN交$∠ BCA$的平分线于点E,交$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线于点F,连接AE,AF.若点O运动到AC的中点处,则当$∠ ACB$的度数为
$90°$
时,四边形AECF是正方形.答案
10. $90°$
解析
【分析】
解题时先逐步推导四边形AECF的形状：首先利用平行线和角平分线的性质可得OE=OC=OF，结合O是AC中点的条件，可证四边形AECF是平行四边形；再根据CE、CF是邻补角的角平分线，可推出∠ECF=90°，因此平行四边形AECF是矩形；要让矩形变为正方形，需满足对角线互相垂直，结合MN//BC的条件，即可推出∠ACB的度数。
【解析】
1. 证明$OE=OF$：
∵ $CE$平分$∠ BCA$，
∴ $∠ BCE=∠ OCE$，
∵ $MN// BC$，
∴ $∠ BCE=∠ OEC$，
∴ $∠ OEC=∠ OCE$，
∴ $OE=OC$。
同理，$CF$平分$∠ ACD$，
∴ $∠ DCF=∠ OCF$，
∵ $MN// BC$，
∴ $∠ DCF=∠ OFC$，
∴ $∠ OCF=∠ OFC$，
∴ $OF=OC$，
∴ $OE=OF$。
2. 证明O为AC中点时，AECF是平行四边形：
∵ O是AC中点，
∴ $OA=OC$，
又
∵ $OE=OF$，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
3. 证明AECF是矩形：
∵ $∠ ACB+∠ ACD=180°$，$CE$平分$∠ ACB$，$CF$平分$∠ ACD$，
∴ $∠ OCE+∠ OCF=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=90°$，即$∠ ECF=90°$，
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
4. 推导$∠ ACB$的度数：
要使矩形AECF为正方形，需对角线互相垂直，即$AC⊥ EF$，
∵ $EF// BC$，
∴ $AC⊥ BC$，即$∠ ACB=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
正方形的判定，矩形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线性质、角平分线性质和特殊平行四边形的判定，解题时需理清图形的递进关系，从平行四边形到矩形，再结合正方形的判定条件推导角度，侧重对基础定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
解题时先逐步推导四边形AECF的形状：首先利用平行线和角平分线的性质可得OE=OC=OF，结合O是AC中点的条件，可证四边形AECF是平行四边形；再根据CE、CF是邻补角的角平分线，可推出∠ECF=90°，因此平行四边形AECF是矩形；要让矩形变为正方形，需满足对角线互相垂直，结合MN//BC的条件，即可推出∠ACB的度数。
【解析】
1. 证明$OE=OF$：
∵ $CE$平分$∠ BCA$，
∴ $∠ BCE=∠ OCE$，
∵ $MN// BC$，
∴ $∠ BCE=∠ OEC$，
∴ $∠ OEC=∠ OCE$，
∴ $OE=OC$。
同理，$CF$平分$∠ ACD$，
∴ $∠ DCF=∠ OCF$，
∵ $MN// BC$，
∴ $∠ DCF=∠ OFC$，
∴ $∠ OCF=∠ OFC$，
∴ $OF=OC$，
∴ $OE=OF$。
2. 证明O为AC中点时，AECF是平行四边形：
∵ O是AC中点，
∴ $OA=OC$，
又
∵ $OE=OF$，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
3. 证明AECF是矩形：
∵ $∠ ACB+∠ ACD=180°$，$CE$平分$∠ ACB$，$CF$平分$∠ ACD$，
∴ $∠ OCE+∠ OCF=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=90°$，即$∠ ECF=90°$，
∴ 平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
4. 推导$∠ ACB$的度数：
要使矩形AECF为正方形，需对角线互相垂直，即$AC⊥ EF$，
∵ $EF// BC$，
∴ $AC⊥ BC$，即$∠ ACB=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
正方形的判定，矩形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线性质、角平分线性质和特殊平行四边形的判定，解题时需理清图形的递进关系，从平行四边形到矩形，再结合正方形的判定条件推导角度，侧重对基础定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
11 如图,在正方形 ABCD 中,$AB=3\sqrt{2}$,E 是对角线 AC 上的一点,连接 DE.过点 E 作$EF⊥ED$,交 AB 于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连接 AG.
(1) 求证:矩形 DEFG 是正方形;
(2) 求$AG+AE$的值;
(3) 若 F 恰为 AB 的中点,求正方形 DEFG 的面积.
(1) 求证:矩形 DEFG 是正方形;
(2) 求$AG+AE$的值;
(3) 若 F 恰为 AB 的中点,求正方形 DEFG 的面积.
答案
11. (1) 过点E作$EM⊥ AD$于点M,$EN⊥ AB$于点N.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $∠ EAD = ∠ EAB$,$∠ DAB = 90°$.
∵ $EM⊥ AD$,$EN⊥ AB$,
∴ $EM=EN$.
∵ $∠ EMA=∠ ENA=∠ DAB=90°$,
∴ 四边形ANEM是矩形.
∴ $∠ MEN = 90°$.
∵ $EF ⊥ DE$,
∴ $∠ MEN = ∠ DEF = 90°$.
∴ $∠ DEF - ∠ MEF = ∠ MEN - ∠ MEF$,即 $∠ DEM = ∠ FEN$.
∵ $∠ EMD=∠ ENF=90°$,
∴ $△ EMD≌△ ENF$.
∴ $ED=EF$.
∴ 矩形DEFG是正方形
(2)
∵ 四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴ $DG = DE$,$DC = DA = AB = 3\sqrt{2}$,$∠ GDE = ∠ ADC = 90°$.
∴ $∠ GDE - ∠ ADE = ∠ ADC - ∠ ADE$,即$∠ ADG = ∠ CDE$.
∴ $△ ADG≌△ CDE$.
∴ $AG = CE$.
∴ $AE+AG=AE+CE=AC=\sqrt{2}AD=6$
(3) 连接DF.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $AB=AD=3\sqrt{2}$,$AB// CD$.
∵ F是AB的中点,
∴ $AF=FB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
∴ $DF = \sqrt{AD^2+AF^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$.
∴ 正方形DEFG 的面积 = $\frac{1}{2}DF^2=\frac{1}{2}×(\frac{3\sqrt{10}}{2})^2=\frac{45}{4}$
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $∠ EAD = ∠ EAB$,$∠ DAB = 90°$.
∵ $EM⊥ AD$,$EN⊥ AB$,
∴ $EM=EN$.
∵ $∠ EMA=∠ ENA=∠ DAB=90°$,
∴ 四边形ANEM是矩形.
∴ $∠ MEN = 90°$.
∵ $EF ⊥ DE$,
∴ $∠ MEN = ∠ DEF = 90°$.
∴ $∠ DEF - ∠ MEF = ∠ MEN - ∠ MEF$,即 $∠ DEM = ∠ FEN$.
∵ $∠ EMD=∠ ENF=90°$,
∴ $△ EMD≌△ ENF$.
∴ $ED=EF$.
∴ 矩形DEFG是正方形
(2)
∵ 四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴ $DG = DE$,$DC = DA = AB = 3\sqrt{2}$,$∠ GDE = ∠ ADC = 90°$.
∴ $∠ GDE - ∠ ADE = ∠ ADC - ∠ ADE$,即$∠ ADG = ∠ CDE$.
∴ $△ ADG≌△ CDE$.
∴ $AG = CE$.
∴ $AE+AG=AE+CE=AC=\sqrt{2}AD=6$
(3) 连接DF.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $AB=AD=3\sqrt{2}$,$AB// CD$.
∵ F是AB的中点,
∴ $AF=FB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
∴ $DF = \sqrt{AD^2+AF^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$.
∴ 正方形DEFG 的面积 = $\frac{1}{2}DF^2=\frac{1}{2}×(\frac{3\sqrt{10}}{2})^2=\frac{45}{4}$
解析
【分析】
(1) 要证明矩形DEFG是正方形，只需证明一组邻边相等即DE=EF。点E在正方形对角线AC上，AC是∠DAB的角平分线，过E作AD、AB的垂线，根据角平分线性质可得两条垂线段相等，再结合EF⊥DE的条件证明两个直角三角形全等，即可得到DE=EF。
(2) 求AG+AE的值，可通过全等三角形将两条线段转化到同一条线段上。结合正方形DEFG和ABCD的性质，证明△ADG≌△CDE得到AG=CE，因此AG+AE=CE+AE=AC，计算正方形对角线AC的长度即可。
(3) 求正方形DEFG的面积，F是AB中点，先在Rt△ADF中用勾股定理算出DF的长度，DF是正方形DEFG的对角线，根据正方形面积等于对角线平方的一半代入计算即可。
【解析】
(1) 证明：过点E作$EM⊥ AD$于点M，$EN⊥ AB$于点N。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ EAD = ∠ EAB$，$∠ DAB = 90°$。
∵ $EM⊥ AD$，$EN⊥ AB$，
∴ $EM=EN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠ EMA=∠ ENA=∠ DAB=90°$，
∴ 四边形ANEM是矩形，
∴ $∠ MEN = 90°$。
∵ $EF ⊥ DE$，
∴ $∠ DEF = 90°$，即$∠ MEN = ∠ DEF$，
∴ $∠ DEF - ∠ MEF = ∠ MEN - ∠ MEF$，即 $∠ DEM = ∠ FEN$。
在$△ EMD$和$△ ENF$中：
$\{\begin{array}{l}∠EMD=∠ENF=90° \\EM=EN \\∠DEM=∠FEN\end{array} $
∴ $△ EMD≌△ ENF$（ASA），
∴ $ED=EF$。
又
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 矩形DEFG是正方形。
(2) 解：
∵ 四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴ $DG = DE$，$DC = DA = AB = 3\sqrt{2}$，$∠ GDE = ∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ GDE - ∠ ADE = ∠ ADC - ∠ ADE$，即$∠ ADG = ∠ CDE$。
在$△ ADG$和$△ CDE$中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ADG=∠CDE \\DG=DE\end{array} $
∴ $△ ADG≌△ CDE$（SAS），
∴ $AG = CE$，
∴ $AE+AG=AE+CE=AC$。
在正方形ABCD中，$AC=\sqrt{2}AD=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
(3) 解：连接DF。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD=3\sqrt{2}$，$∠DAF=90°$。
∵ F是AB的中点，
∴ $AF=FB=\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF = \sqrt{AD^2+AF^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$。
∵ 四边形DEFG是正方形，DF是其对角线，
∴ 正方形DEFG 的面积 = $\frac{1}{2}DF^2=\frac{1}{2}×(\frac{3\sqrt{10}}{2})^2=\frac{45}{4}$。
【答案】
(1) 矩形DEFG是正方形，证明成立；
(2) $AG+AE=6$；
(3) 正方形DEFG的面积为$\frac{45}{4}$。
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的相关性质，解题的关键是通过构造辅助线证明三角形全等，实现线段的等量转化，第三问利用正方形对角线与面积的关系可简化计算，能有效巩固几何图形的性质应用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明矩形DEFG是正方形，只需证明一组邻边相等即DE=EF。点E在正方形对角线AC上，AC是∠DAB的角平分线，过E作AD、AB的垂线，根据角平分线性质可得两条垂线段相等，再结合EF⊥DE的条件证明两个直角三角形全等，即可得到DE=EF。
(2) 求AG+AE的值，可通过全等三角形将两条线段转化到同一条线段上。结合正方形DEFG和ABCD的性质，证明△ADG≌△CDE得到AG=CE，因此AG+AE=CE+AE=AC，计算正方形对角线AC的长度即可。
(3) 求正方形DEFG的面积，F是AB中点，先在Rt△ADF中用勾股定理算出DF的长度，DF是正方形DEFG的对角线，根据正方形面积等于对角线平方的一半代入计算即可。
【解析】
(1) 证明：过点E作$EM⊥ AD$于点M，$EN⊥ AB$于点N。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ EAD = ∠ EAB$，$∠ DAB = 90°$。
∵ $EM⊥ AD$，$EN⊥ AB$，
∴ $EM=EN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $∠ EMA=∠ ENA=∠ DAB=90°$，
∴ 四边形ANEM是矩形，
∴ $∠ MEN = 90°$。
∵ $EF ⊥ DE$，
∴ $∠ DEF = 90°$，即$∠ MEN = ∠ DEF$，
∴ $∠ DEF - ∠ MEF = ∠ MEN - ∠ MEF$，即 $∠ DEM = ∠ FEN$。
在$△ EMD$和$△ ENF$中：
$\{\begin{array}{l}∠EMD=∠ENF=90° \\EM=EN \\∠DEM=∠FEN\end{array} $
∴ $△ EMD≌△ ENF$（ASA），
∴ $ED=EF$。
又
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ 矩形DEFG是正方形。
(2) 解：
∵ 四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴ $DG = DE$，$DC = DA = AB = 3\sqrt{2}$，$∠ GDE = ∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ GDE - ∠ ADE = ∠ ADC - ∠ ADE$，即$∠ ADG = ∠ CDE$。
在$△ ADG$和$△ CDE$中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ADG=∠CDE \\DG=DE\end{array} $
∴ $△ ADG≌△ CDE$（SAS），
∴ $AG = CE$，
∴ $AE+AG=AE+CE=AC$。
在正方形ABCD中，$AC=\sqrt{2}AD=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
(3) 解：连接DF。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD=3\sqrt{2}$，$∠DAF=90°$。
∵ F是AB的中点，
∴ $AF=FB=\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF = \sqrt{AD^2+AF^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$。
∵ 四边形DEFG是正方形，DF是其对角线，
∴ 正方形DEFG 的面积 = $\frac{1}{2}DF^2=\frac{1}{2}×(\frac{3\sqrt{10}}{2})^2=\frac{45}{4}$。
【答案】
(1) 矩形DEFG是正方形，证明成立；
(2) $AG+AE=6$；
(3) 正方形DEFG的面积为$\frac{45}{4}$。
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的相关性质，解题的关键是通过构造辅助线证明三角形全等，实现线段的等量转化，第三问利用正方形对角线与面积的关系可简化计算，能有效巩固几何图形的性质应用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
12 如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,E是AD的中点.M是边AB上一动点(不与点A重合),连接ME并延长,交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1) 求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2) ① 当AM的长为
② 当AM的长为
③ 四边形AMDN能为正方形吗?若能,请写出AM的长,并给出证明;若不能,请说明理由.
(1) 求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2) ① 当AM的长为
1
时,四边形AMDN是矩形.② 当AM的长为
2
时,四边形AMDN是菱形.③ 四边形AMDN能为正方形吗?若能,请写出AM的长,并给出证明;若不能,请说明理由.
答案
12. (1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $CD// AB$,即 $ND// MA$.
∴ $∠ NDE=∠ MAE$,$∠ DNE=∠ AME$.
∵ E是AD的中点,
∴ $DE=AE$.
∴ $△ NDE≌△ MAE$.
∴ $ND=MA$. 又
∵ $ND// MA$,
∴ 四边形AMDN是平行四边形
(2) ① 1 ② 2 ③ 四边形AMDN不能为正方形 理由:
∵ 既是矩形又是菱形的图形是正方形,而AM=1和AM=2不可以同时满足,
∴ 四边形AMDN不能为正方形.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $CD// AB$,即 $ND// MA$.
∴ $∠ NDE=∠ MAE$,$∠ DNE=∠ AME$.
∵ E是AD的中点,
∴ $DE=AE$.
∴ $△ NDE≌△ MAE$.
∴ $ND=MA$. 又
∵ $ND// MA$,
∴ 四边形AMDN是平行四边形
(2) ① 1 ② 2 ③ 四边形AMDN不能为正方形 理由:
∵ 既是矩形又是菱形的图形是正方形,而AM=1和AM=2不可以同时满足,
∴ 四边形AMDN不能为正方形.
解析
【分析】
(1) 要证四边形AMDN是平行四边形，已知菱形ABCD中CD//AB，即ND//MA，因此只需证明ND=MA即可，可通过证明△NDE和△MAE全等得到对应边相等。
(2) ① 平行四边形要成为矩形，需有一个内角为直角，即∠AMD=90°，结合∠DAB=60°、AD=AB=2，利用直角三角形的性质可求出AM的长度；
② 平行四边形要成为菱形，需邻边相等，即AM=DM，结合∠DAB=60°可得△AMD为等边三角形，即可求出AM的长度；
③ 正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件，判断上述两个AM的取值是否能同时满足即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $CD// AB$，即 $ND// MA$，
∴ $∠NDE=∠MAE$，$∠DNE=∠AME$。
∵ E是AD的中点，
∴ $DE=AE$。
在$△ NDE$和$△ MAE$中：
$\begin{cases}∠DNE=∠AME \\∠NDE=∠MAE \\DE=AE\end{cases}$
∴ $△ NDE≌△ MAE$（AAS），
∴ $ND=MA$。
又
∵ $ND// MA$，
∴ 四边形AMDN是平行四边形。
(2) ① 当四边形AMDN是矩形时，$∠ AMD=90°$，
在$Rt△ AMD$中，$∠ DAM=60°$，故$∠ ADM=30°$，
∴ $AM=\frac{1}{2}AD$，
∵ 菱形ABCD中$AD=AB=2$，
∴ $AM=\frac{1}{2}×2=1$。
② 当四边形AMDN是菱形时，$AM=DM$，
又
∵ $∠ DAB=60°$，
∴ $△ AMD$是等边三角形，
∴ $AM=AD=2$。
③ 四边形AMDN不能为正方形，理由如下：
既是矩形又是菱形的图形是正方形，而$AM=1$和$AM=2$不可能同时满足，因此四边形AMDN不能为正方形。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① $\boxed{1}$；② $\boxed{2}$；③ 不能，理由：若四边形AMDN为正方形，需同时满足矩形和菱形的判定条件，即$AM=1$和$AM=2$同时成立，显然不可能，故四边形AMDN不能为正方形。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题围绕特殊四边形的判定展开考查，解题时需要紧扣各类特殊四边形的判定条件，结合已知的角度、边长特征进行推导，能有效检验对平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形AMDN是平行四边形，已知菱形ABCD中CD//AB，即ND//MA，因此只需证明ND=MA即可，可通过证明△NDE和△MAE全等得到对应边相等。
(2) ① 平行四边形要成为矩形，需有一个内角为直角，即∠AMD=90°，结合∠DAB=60°、AD=AB=2，利用直角三角形的性质可求出AM的长度；
② 平行四边形要成为菱形，需邻边相等，即AM=DM，结合∠DAB=60°可得△AMD为等边三角形，即可求出AM的长度；
③ 正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件，判断上述两个AM的取值是否能同时满足即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $CD// AB$，即 $ND// MA$，
∴ $∠NDE=∠MAE$，$∠DNE=∠AME$。
∵ E是AD的中点，
∴ $DE=AE$。
在$△ NDE$和$△ MAE$中：
$\begin{cases}∠DNE=∠AME \\∠NDE=∠MAE \\DE=AE\end{cases}$
∴ $△ NDE≌△ MAE$（AAS），
∴ $ND=MA$。
又
∵ $ND// MA$，
∴ 四边形AMDN是平行四边形。
(2) ① 当四边形AMDN是矩形时，$∠ AMD=90°$，
在$Rt△ AMD$中，$∠ DAM=60°$，故$∠ ADM=30°$，
∴ $AM=\frac{1}{2}AD$，
∵ 菱形ABCD中$AD=AB=2$，
∴ $AM=\frac{1}{2}×2=1$。
② 当四边形AMDN是菱形时，$AM=DM$，
又
∵ $∠ DAB=60°$，
∴ $△ AMD$是等边三角形，
∴ $AM=AD=2$。
③ 四边形AMDN不能为正方形，理由如下：
既是矩形又是菱形的图形是正方形，而$AM=1$和$AM=2$不可能同时满足，因此四边形AMDN不能为正方形。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① $\boxed{1}$；② $\boxed{2}$；③ 不能，理由：若四边形AMDN为正方形，需同时满足矩形和菱形的判定条件，即$AM=1$和$AM=2$同时成立，显然不可能，故四边形AMDN不能为正方形。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题围绕特殊四边形的判定展开考查，解题时需要紧扣各类特殊四边形的判定条件，结合已知的角度、边长特征进行推导，能有效检验对平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
