8（易错题）给出下列三角形:① 有两个角等于$60°$的三角形;② 有一个角等于$60°$的等腰三角形;③ 三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④ 一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中,是等边三角形的有（）

A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④

8. D

【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时需结合等边三角形的判定定理、三角形内角和、外角和以及等腰三角形的性质，逐个分析4个说法是否符合等边三角形的特征即可。首先回忆等边三角形的判定依据：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，再依次验证每个序号的内容。
【解析】
我们逐个判断每个说法：
1. 对于①：三角形内角和为180°，若两个角等于60°，则第三个角为180°-60°-60°=60°，三个内角都为60°，因此是等边三角形，说法正确；
2. 对于②：这是等边三角形的判定定理之一，有一个角等于60°的等腰三角形，其余两个角也均为60°，符合等边三角形的特征，说法正确；
3. 对于③：三角形外角和为360°，若三个外角都相等，则每个外角为360°÷3=120°，对应的每个内角为180°-120°=60°，三个内角均为60°，是等边三角形，说法正确；
4. 对于④：等腰三角形一条腰上的中线也是这条腰的高，说明这条线段是腰的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得等腰三角形的底边与腰长度相等，即三角形三边均相等，是等边三角形，说法正确。
综上，①②③④描述的都是等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角和定理
【点评】
本题属于等边三角形判定的基础易错题，需要熟练掌握等边三角形的各类判定方法，逐一验证每个结论，容易出错的是对第④个结论的判断，要结合垂直平分线的性质推导三边的等量关系，避免漏判。
【难度系数】
0.7

9 教材P85习题T11变式 如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.有下列结论：① $AD=BE$；② $PQ// AE$；③ $AP=BQ$；④ $DE=DP$；⑤ $∠ AOB=60°$.其中，一定成立的是（填序号）。

9. ①②③⑤

【分析】
首先利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，先证△ACD和△BCE全等，可直接判断结论①和⑤；再利用第一次全等得到的对应角相等，证△ACP和△BCQ全等，可判断结论③，同时得到CP=CQ推出△PCQ为等边三角形，进而判断结论②；最后通过角的大小关系分析边的等量关系，判断结论④是否成立。
【解析】
1. 验证①：
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，
∴$∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ ACD=∠ BCE \\ CD=CE \end{cases}$
∴$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BE$，①成立。
2. 验证⑤：
由$△ ACD≌△ BCE$得$∠ CAD=∠ CBE$，
在$△ ABO$中：
$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA$
$=180°-(∠ BAC-∠ CAD)-(∠ ABC+∠ CBE)$
$=180°-(60°-∠ CAD)-(60°+∠ CBE)$，
∵$∠ CAD=∠ CBE$，
∴$∠ AOB=60°$，⑤成立。
3. 验证③：
在$△ ACP$和$△ BCQ$中：
$\begin{cases} ∠ CAP=∠ CBQ \\ AC=BC \\ ∠ ACP=∠ BCQ=60° \end{cases}$
∴$△ ACP≌△ BCQ(\mathrm{ASA})$，
∴$AP=BQ$，③成立。
4. 验证②：
由$△ ACP≌△ BCQ$得$CP=CQ$，
∵$∠ PCQ=180°-∠ ACB-∠ DCE=60°$，
∴$△ PCQ$为等边三角形，
∴$∠ CPQ=60°=∠ ACB$，
∴$PQ// AE$（内错角相等，两直线平行），②成立。
5. 验证④：
∵$∠ DPC=∠ PAC+∠ ACP=∠ PAC+60°＞60°$，$∠ DCP=60°$，
∴$∠ DPC≠∠ DCP$，
∴$DP≠ DC$，又
∵$DC=DE$，
∴$DE≠ DP$，④不成立。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是共顶点等边三角形的经典题型，核心是通过两次三角形全等推导边、角的等量关系，解题时需结合图形挖掘隐含的边角相等条件，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.65

10 教材 P86 习题 T13 变式 如图，$P$，$Q$ 是 $△ ABC$ 的边 $BC$ 上的两点，且 $BP=QC=AP=AQ$.
(1) 若 $∠ B=25°$，求 $∠ PAQ$ 的度数；
(2) 若 $∠ BAC=120°$，小玉认为 $△ APQ$ 一定是等边三角形，为什么？

10. (1) $\because AP=AQ, \therefore ∠ APQ = ∠ AQP. \therefore ∠ APB = ∠ AQC$.
在$△ APB$ 和 $△ AQC$ 中, $\begin{cases} AP=AQ, \\ ∠ APB = ∠ AQC, \\ BP=CQ, \end{cases} \therefore △ APB ≌ △ AQC$.
$\therefore AB=AC. \therefore ∠ B = ∠ C = 25°. \therefore ∠ BAC = 180° - (∠ B + ∠ C) = 130°. \because AP=BP, AQ=CQ, \therefore ∠ BAP = ∠ B = 25°$, $∠ CAQ = ∠ C = 25°. \therefore ∠ PAQ = ∠ BAC - ∠ BAP - ∠ CAQ = 80°$
(2) 由(1),知$∠ B = ∠ C. \because ∠ BAC=120°, \therefore ∠ B = ∠ C=30°$. 同(1),得$∠ BAP = ∠ CAQ = ∠ B = ∠ C=30°, \therefore$ 易得$∠ PAQ=60°$. 又$\because AP=AQ, \therefore △ APQ$ 是等边三角形

【分析】
(1) 解题思路：首先根据已知的边相等，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠APQ=∠AQP，进而推出其补角∠APB=∠AQC，结合已知的AP=AQ、BP=CQ，可证明△APB≌△AQC，得到∠B=∠C，再利用三角形内角和求出∠BAC的度数，最后结合AP=BP、AQ=CQ得到∠BAP=∠B、∠CAQ=∠C，用∠BAC减去这两个角的度数即可得到∠PAQ的度数。
(2) 解题思路：要判断△APQ是否为等边三角形，已知AP=AQ，只需证明△APQ有一个内角为60°即可。先利用三角形内角和求出∠B和∠C的度数，再结合等腰三角形性质得到∠BAP和∠CAQ的度数，计算得出∠PAQ=60°，即可证明△APQ是等边三角形。
【解析】
(1) $\because AP=AQ, \therefore ∠APQ = ∠AQP$，$\therefore 180°-∠APQ = 180°-∠AQP$，即$∠APB = ∠AQC$。
在$△APB$ 和 $△AQC$ 中,
$\begin{cases} AP=AQ, \\ ∠APB = ∠AQC, \\ BP=CQ, \end{cases}$
$\therefore △APB ≌ △AQC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=AC$，$\therefore ∠B = ∠C = 25°$。
$\therefore ∠BAC = 180° - (∠B + ∠C) = 130°$。
$\because AP=BP, AQ=CQ$，$\therefore ∠BAP = ∠B = 25°$, $∠CAQ = ∠C = 25°$。
$\therefore ∠PAQ = ∠BAC - ∠BAP - ∠CAQ = 130°-25°-25°=80°$。
(2) 小玉的说法正确，理由如下：
由(1)可知$△APB ≌ △AQC$，$\therefore ∠B = ∠C$。
$\because ∠BAC=120°$，$\therefore ∠B + ∠C=180°-∠BAC=60°$，$\therefore ∠B = ∠C=30°$。
同(1)的推导可得$∠BAP = ∠B=30°$，$∠CAQ = ∠C=30°$。
$\therefore ∠PAQ=∠BAC - ∠BAP - ∠CAQ=120°-30°-30°=60°$。
又$\because AP=AQ$，$\therefore △APQ$是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠PAQ=80°}$；
(2) 小玉的判断正确，$\boldsymbol{△APQ}$一定是等边三角形，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，将等腰三角形的边角性质、全等三角形的证明、等边三角形的判定以及三角形内角和定理结合考查，解题的核心是熟练利用等边对等角的性质进行角度的转化与计算，掌握等边三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7

11 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，$AD ⊥ BC$，垂足为$G$，且$AD = AB$，连接$BD$，$∠ EDF = 60°$，其两边分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。求证：
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BE = AF$。

11. (1) $\because ∠ BAC=120°, AB=AC, AD ⊥ BC, \therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 120° = 60°. \because AD=AB, \therefore △ ABD$ 是等边三角形
(2) $\because △ ABD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ABD = ∠ ADB = 60°, BD=AD. \because ∠ EDF=60°, \therefore ∠ ADB = ∠ EDF$.
$\therefore ∠ ADB - ∠ ADE = ∠ EDF - ∠ ADE. \therefore ∠ BDE = ∠ ADF$.
在$△ BDE$ 和 $△ ADF$ 中, $\begin{cases} ∠ DBE = ∠ DAF = 60°, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE = ∠ ADF, \end{cases} \therefore △ BDE ≌ △ ADF. \therefore BE=AF$

【分析】
(1) 要证$△ ABD$是等边三角形，已知$AD=AB$，仅需证明二者夹角$∠ BAD=60°$即可。由$AB=AC$、$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠ BAC$，结合$∠ BAC=120°$即可求出$∠ BAD=60°$，满足等边三角形的判定条件。
(2) 要证$BE=AF$，可通过证明两条线段所在的$△ BDE$和$△ ADF$全等实现。由(1)的等边三角形结论可得$BD=AD$、$∠ DBE=∠ DAF=60°$，再结合$∠ EDF=∠ ADB=60°$，通过等式性质推出$∠ BDE=∠ ADF$，利用ASA判定两三角形全等，即可得到对应边相等。
【解析】
(1) $\because ∠ BAC=120°$，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
又$\because AD=AB$，
$\therefore △ ABD$是等边三角形。
(2) $\because △ ABD$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB = 60°$，$BD=AD$，
$\because ∠ EDF=60°$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ EDF$，
$\therefore ∠ ADB - ∠ ADE = ∠ EDF - ∠ ADE$，即$∠ BDE = ∠ ADF$，
在$△ BDE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ DBE = ∠ DAF = 60°, \\BD=AD, \\∠ BDE = ∠ ADF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ ADF$，
$\therefore BE=AF$。
【答案】
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BE=AF$。
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形相关的典型基础题，解题核心是先利用等腰三角形三线合一得到60°角完成等边三角形的证明，再通过角度的等量代换找到全等三角形的判定条件，进而得到线段相等的结论，有助于巩固特殊三角形和全等三角形的基础应用能力。
【难度系数】
0.7

12 如图①,在等边三角形 ABC 中,D 是射线BA 上的动点,以 CD 为一边,向上作等边三角形 EDC,连接 AE.
(1) $△ DBC$ 和 $△ EAC$ 全等吗? 请说明理由.
(2) 求证: $AE// BC$.
(3) 如图②,当动点 D 运动到边 BA 的延长线上时,请问(2)中的结论是否仍成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

12. (1) 全等 理由: $\because △ ABC$ 和 $△ EDC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ACB = ∠ B = 60°, ∠ DCE = 60°, BC=AC, CD=CE$.
$\therefore ∠ BCD = 60° - ∠ ACD, ∠ ACE = 60° - ∠ ACD. \therefore ∠ BCD = ∠ ACE$. 在$△ DBC$ 和 $△ EAC$ 中, $\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCD = ∠ ACE, \\ CD=CE, \end{cases} \therefore △ DBC ≌ △ EAC$.
(2) $\because △ DBC ≌ △ EAC, \therefore ∠ B = ∠ EAC = 60°$. 又$\because ∠ ACB=60°, \therefore ∠ EAC = ∠ ACB. \therefore AE // BC$
(3) 结论仍成立 $\because △ ABC, △ EDC$ 为等边三角形, $\therefore BC=AC, DC=CE, ∠ BCA = ∠ B = ∠ DCE = 60°. \therefore ∠ BCA + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$, 即$∠ BCD = ∠ ACE$. 在$△ DBC$ 和 $△ EAC$ 中, $\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCD = ∠ ACE, \\ CD=CE, \end{cases} \therefore △ DBC ≌ △ EAC. \therefore ∠ B = ∠ EAC = 60°$. 又$\because ∠ ACB=60°, \therefore ∠ EAC = ∠ ACB. \therefore AE // BC$

【分析】
(1) 判断两三角形是否全等，可结合已知等边三角形的性质得到两组对应边相等，再通过两个60°角减去公共角∠ACD证明夹角相等，用SAS判定定理即可验证全等。
(2) 证明两直线平行可转化为证明内错角相等，借助(1)的全等结论得到对应角∠EAC=∠B=60°，与∠ACB相等，即可推出平行关系。
(3) 当D在BA延长线上时，解题思路不变，仍先证△DBC与△EAC全等，此时夹角由两个60°角加公共角∠ACD得到相等关系，全等后依旧可得内错角相等，即可验证平行结论仍然成立。
【解析】
(1) 全等，理由：
$\because △ABC$和$△EDC$是等边三角形，
$\therefore ∠ACB = ∠B = 60°, ∠DCE = 60°, BC=AC, CD=CE$，
$\therefore ∠BCD = 60° - ∠ACD, ∠ACE = 60° - ∠ACD$，
$\therefore ∠BCD = ∠ACE$，
在$△DBC$和$△EAC$中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD = ∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △DBC ≌ △EAC(SAS)$。
(2) 证明：
$\because △DBC ≌ △EAC$，
$\therefore ∠B = ∠EAC = 60°$，
又$\because ∠ACB=60°$，
$\therefore ∠EAC = ∠ACB$，
$\therefore AE // BC$（内错角相等，两直线平行）。
(3) (2)中的结论仍成立，证明：
$\because △ABC, △EDC$为等边三角形，
$\therefore BC=AC, DC=CE, ∠BCA = ∠B = ∠DCE = 60°$，
$\therefore ∠BCA + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD$，即$∠BCD = ∠ACE$，
在$△DBC$和$△EAC$中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD = ∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △DBC ≌ △EAC(SAS)$，
$\therefore ∠B = ∠EAC = 60°$，
又$\because ∠ACB=60°$，
$\therefore ∠EAC = ∠ACB$，
$\therefore AE // BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 全等，理由见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3) 结论仍成立，证明见上述解析。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是抓住等边三角形的边角性质推导全等条件，动点位置变化时核心的全等关系不变，解题思路具有一致性，能够很好地考查图形分析能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7