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5[2025江苏宿迁期末,较难]如图(1),函数$y=\frac{1}{2}x+3$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称.
(1)求直线BC的函数表达式.
(2)设点M是x轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q.
①若PQ的长为4,求点M的坐标.
②如图(2),连接BM,在点M的运动过程中是否存在点P,使$∠ BMP=∠ BAC$?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线BC的函数表达式.
(2)设点M是x轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q.
①若PQ的长为4,求点M的坐标.
②如图(2),连接BM,在点M的运动过程中是否存在点P,使$∠ BMP=∠ BAC$?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)对于$y=\frac{1}{2}x+3$,当$x=0$时,$y=3$,当$y=0$时,$x=-6$,所以$B(0,3)$,$A(-6,0)$。因为点C与点A关于y轴对称,所以$C(6,0)$。设直线BC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$。将$B(0,3)$,$C(6,0)$分别代入$y=kx+b$,得$b=3$,$6k+b=0$,解得$k=-\frac{1}{2}$,所以直线BC的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
(2)①设$M(m,0)$,则$P(m,\frac{1}{2}m+3)$,$Q(m,-\frac{1}{2}m+3)$,所以$PQ=|-\frac{1}{2}m+3-(\frac{1}{2}m+3)|=4$,解得$m=±4$,所以点M的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$。
②存在。当点M在y轴的左侧时,因为点C与点A关于y轴对称,所以$AB=BC$,所以$∠BAC=∠BCA$。因为$∠BMP=∠BAC$,所以$∠BMP=∠BCA$。因为$∠BMP+∠BMC=90°$,所以$∠BCA+∠BMC=90°$,所以$∠MBC=180°-(∠BMC+∠BCA)=90°$,所以$BM^2+BC^2=MC^2$。设$M(a,0)$,则$P(a,\frac{1}{2}a+3)$,所以$BM^2=OM^2+OB^2=a^2+9$,$MC^2=(6-a)^2$,$BC^2=OC^2+OB^2=6^2+3^2=45$,所以$a^2+9+45=(6-a)^2$,解得$a=-\frac{3}{2}$,所以$P(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$。当点M在y轴的右侧时,同理可得$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。综上所述,点P的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$或$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
(2)①设$M(m,0)$,则$P(m,\frac{1}{2}m+3)$,$Q(m,-\frac{1}{2}m+3)$,所以$PQ=|-\frac{1}{2}m+3-(\frac{1}{2}m+3)|=4$,解得$m=±4$,所以点M的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$。
②存在。当点M在y轴的左侧时,因为点C与点A关于y轴对称,所以$AB=BC$,所以$∠BAC=∠BCA$。因为$∠BMP=∠BAC$,所以$∠BMP=∠BCA$。因为$∠BMP+∠BMC=90°$,所以$∠BCA+∠BMC=90°$,所以$∠MBC=180°-(∠BMC+∠BCA)=90°$,所以$BM^2+BC^2=MC^2$。设$M(a,0)$,则$P(a,\frac{1}{2}a+3)$,所以$BM^2=OM^2+OB^2=a^2+9$,$MC^2=(6-a)^2$,$BC^2=OC^2+OB^2=6^2+3^2=45$,所以$a^2+9+45=(6-a)^2$,解得$a=-\frac{3}{2}$,所以$P(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$。当点M在y轴的右侧时,同理可得$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。综上所述,点P的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$或$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
解析
【分析】
(1) 先根据给定的一次函数解析式求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用关于y轴对称的点“纵坐标不变，横坐标互为相反数”的性质求出点C的坐标，最后用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式。
(2) ①设点M的横坐标为m，根据平行于y轴的直线上所有点横坐标相同的性质，写出P、Q两点的坐标，PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值，据此列方程求解即可得到m的值，即得到点M的坐标。
②存在。首先由点A、C关于y轴对称可得AB=BC，推出∠BAC=∠BCA，结合已知∠BMP=∠BAC，将角的关系转化得到∠MBC=90°，再利用勾股定理列出关于点M横坐标的方程求解，注意要分点M在y轴左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 对于函数$y=\frac{1}{2}x+3$，当$x=0$时，$y=3$；当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，因此$B(0,3)$，$A(-6,0)$。
因为点C与点A关于y轴对称，所以C点横坐标为6，纵坐标为0，即$C(6,0)$。
设直线BC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,3)$、$C(6,0)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}b=3\\6k+b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2},b=3$，因此直线BC的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
(2) ①设点M的坐标为$(m,0)$，因为MQ平行于y轴，交AB于P、交BC于Q，所以$P(m,\frac{1}{2}m+3)$，$Q(m,-\frac{1}{2}m+3)$。
由PQ长为4得：$|-\frac{1}{2}m+3-(\frac{1}{2}m+3)|=4$，即$|-m|=4$，解得$m=±4$，因此点M的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$。
②存在，求解过程如下：
当点M在y轴左侧时：
因为点C与点A关于y轴对称，所以$AB=BC$，因此$∠BAC=∠BCA$。
已知$∠BMP=∠BAC$，所以$∠BMP=∠BCA$。
又因为$PQ// y$轴，$∠PMO=90°$，所以$∠BMP+∠BMC=90°$，因此$∠BCA+∠BMC=90°$，可得$∠MBC=180°-(∠BMC+∠BCA)=90°$，即$△ MBC$为直角三角形。
由勾股定理得$BM^2+BC^2=MC^2$，设$M(a,0)$，则$P(a,\frac{1}{2}a+3)$：
$BM^2=OM^2+OB^2=a^2+3^2=a^2+9$，
$BC^2=OC^2+OB^2=6^2+3^2=45$，
$MC^2=(6-a)^2$，
代入勾股定理等式得：$a^2+9+45=(6-a)^2$，解得$a=-\frac{3}{2}$，因此$P(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})+3)=(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$。
当点M在y轴右侧时，同理可得$a=\frac{3}{2}$，此时$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2}×\frac{3}{2}+3)=(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) 直线BC的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x+3}$
(2) ① 点M的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$或$\boldsymbol{(-4,0)}$；② 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{15}{4})}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数动点综合；勾股定理的应用
【点评】
本题是一次函数的综合应用题，结合了轴对称性质、角度转化、动点问题和勾股定理等考点，解题过程中需要运用分类讨论思想，注意不要漏解，核心是掌握坐标与线段长度、角度关系的转化方法。
【难度系数】
0.4
(1) 先根据给定的一次函数解析式求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用关于y轴对称的点“纵坐标不变，横坐标互为相反数”的性质求出点C的坐标，最后用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式。
(2) ①设点M的横坐标为m，根据平行于y轴的直线上所有点横坐标相同的性质，写出P、Q两点的坐标，PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值，据此列方程求解即可得到m的值，即得到点M的坐标。
②存在。首先由点A、C关于y轴对称可得AB=BC，推出∠BAC=∠BCA，结合已知∠BMP=∠BAC，将角的关系转化得到∠MBC=90°，再利用勾股定理列出关于点M横坐标的方程求解，注意要分点M在y轴左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 对于函数$y=\frac{1}{2}x+3$，当$x=0$时，$y=3$；当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，因此$B(0,3)$，$A(-6,0)$。
因为点C与点A关于y轴对称，所以C点横坐标为6，纵坐标为0，即$C(6,0)$。
设直线BC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,3)$、$C(6,0)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}b=3\\6k+b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2},b=3$，因此直线BC的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
(2) ①设点M的坐标为$(m,0)$，因为MQ平行于y轴，交AB于P、交BC于Q，所以$P(m,\frac{1}{2}m+3)$，$Q(m,-\frac{1}{2}m+3)$。
由PQ长为4得：$|-\frac{1}{2}m+3-(\frac{1}{2}m+3)|=4$，即$|-m|=4$，解得$m=±4$，因此点M的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$。
②存在，求解过程如下：
当点M在y轴左侧时：
因为点C与点A关于y轴对称，所以$AB=BC$，因此$∠BAC=∠BCA$。
已知$∠BMP=∠BAC$，所以$∠BMP=∠BCA$。
又因为$PQ// y$轴，$∠PMO=90°$，所以$∠BMP+∠BMC=90°$，因此$∠BCA+∠BMC=90°$，可得$∠MBC=180°-(∠BMC+∠BCA)=90°$，即$△ MBC$为直角三角形。
由勾股定理得$BM^2+BC^2=MC^2$，设$M(a,0)$，则$P(a,\frac{1}{2}a+3)$：
$BM^2=OM^2+OB^2=a^2+3^2=a^2+9$，
$BC^2=OC^2+OB^2=6^2+3^2=45$，
$MC^2=(6-a)^2$，
代入勾股定理等式得：$a^2+9+45=(6-a)^2$，解得$a=-\frac{3}{2}$，因此$P(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})+3)=(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$。
当点M在y轴右侧时，同理可得$a=\frac{3}{2}$，此时$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2}×\frac{3}{2}+3)=(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
【答案】
(1) 直线BC的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x+3}$
(2) ① 点M的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$或$\boldsymbol{(-4,0)}$；② 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{15}{4})}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数动点综合；勾股定理的应用
【点评】
本题是一次函数的综合应用题，结合了轴对称性质、角度转化、动点问题和勾股定理等考点，解题过程中需要运用分类讨论思想，注意不要漏解，核心是掌握坐标与线段长度、角度关系的转化方法。
【难度系数】
0.4
6[2025山西太原调研,较难]如图,平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,点F是线段AB上的一个动点(不与A,B重合),连接OF,设点F的横坐标为x.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)求△OAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当△OAF的面积$S=\dfrac{1}{2}S_{△ OAB}$时,第一象限内存在点P,使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.
备用图
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)求△OAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当△OAF的面积$S=\dfrac{1}{2}S_{△ OAB}$时,第一象限内存在点P,使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.
备用图
答案
(1)$A(10,0)$,$B(0,5)$。
(2)由(1)可得$OA=10$。因为点F是线段AB上的一个动点(不与A,B重合),点F的横坐标为x,所以F点坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$,所以$S=\frac{1}{2}×10×(-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$,即$△OAF$的面积S与x之间的函数关系式为$S=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$。
(3)点P的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
由(1)可得$OB=5$,所以$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×5×10=25$。由(2)得$S=-\frac{5}{2}x+25$。因为$S=\frac{1}{2}S_{△OAB}$,所以$-\frac{5}{2}x+25=\frac{1}{2}×25$,解得$x=5$。将$x=5$代入$y=-\frac{1}{2}x+5$中,得$y=\frac{5}{2}$,所以$F(5,\frac{5}{2})$,$E(5,0)$。
分两种情况:
①当$∠PAF=90°$时,$AF=AP$,过点P作$PG⊥x$轴于G,所以$∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°$,所以$∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°$,所以$∠AFE=∠PAG$。在$△FAE$和$△APG$中,$\begin{cases}∠FEA=∠AGP,\\∠AFE=∠PAG,\\AF=PA,\end{cases}$所以$△FAE≌△APG(AAS)$,所以$FE=AG=\frac{5}{2}$,$AE=PG=OA-OE=5$,所以$OG=OA+AG=\frac{25}{2}$,所以$P(\frac{25}{2},5)$。
②当$∠P'FA=90°$时,$AF=FP'$,过点$P'$作$P'H⊥FE$,交EF的延长线于点H,同理可得$△P'HF≌△FEA(AAS)$,所以$FH=AE=5$,$HP'=FE=\frac{5}{2}$,所以易得$P'(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
综上所述,点P的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$。
解析
【分析】
1. 求一次函数与坐标轴交点坐标：与x轴交点满足y=0，代入解析式求解即可得A点坐标；与y轴交点满足x=0，代入解析式求解即可得B点坐标。
2. 求△OAF的面积关系式：OA为底边，长度等于A点横坐标值，△OAF的高是F点的纵坐标，F在AB上，将横坐标x代入解析式可得其纵坐标，再代入三角形面积公式化简即可；结合F不与A、B重合，可确定x的取值范围。
3. 先计算△OAB的面积，根据面积关系列方程求出x的值，得到F点坐标；再分两种情况讨论等腰直角三角形：①直角顶点为A，②直角顶点为F，分别过P作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等计算P的坐标，结合P在第一象限筛选结果。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，故$A(10,0)$；
令$x=0$，得$y=5$，故$B(0,5)$。
(2) 由(1)得$OA=10$，
点F在线段AB上，横坐标为x，所以F点坐标为$(x,-\dfrac{1}{2}x+5)$，
△OAF中，OA边上的高为F点的纵坐标$-\dfrac{1}{2}x+5$，
则$S=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{1}{2}x+5)=-\dfrac{5}{2}x+25$，
因为F不与A、B重合，所以自变量x的取值范围为$0＜x＜10$。
(3) 先计算$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×OA×OB=\dfrac{1}{2}×10×5=25$，
由题意$S=\dfrac{1}{2}S_{△ OAB}$，即$-\dfrac{5}{2}x+25=\dfrac{1}{2}×25$，
解得$x=5$，代入解析式得$y=\dfrac{5}{2}$，即$F(5,\dfrac{5}{2})$。
分两种情况讨论：
①当$∠ PAF=90°$，$AF=AP$时，过P作$PG⊥ x$轴于G，
易得$∠ AFE=∠ PAG$，结合$∠ FEA=∠ AGP=90°$，$AF=PA$，可证$△ FAE≌△ APG(AAS)$，
则$FE=AG=\dfrac{5}{2}$，$AE=PG=5$，所以$OG=10+\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{2}$，得$P(\dfrac{25}{2},5)$，符合第一象限要求。
②当$∠ P'FA=90°$，$AF=FP'$时，过$P'$作$P'H⊥ FE$交EF延长线于H，
同理可证$△ P'HF≌△ FEA(AAS)$，则$FH=AE=5$，$HP'=FE=\dfrac{5}{2}$，
所以$P'$横坐标为$5+\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}$，纵坐标为$\dfrac{5}{2}+5=\dfrac{15}{2}$，即$P'(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{2})$，符合第一象限要求。
【答案】
(1)$A(10,0)$,$B(0,5)$。
(2)$△ OAF$的面积S与x之间的函数关系式为$S=-\dfrac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$。
(3)点P的坐标为$(\dfrac{25}{2},5)$或$(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{2})$。
【知识点】
一次函数的图象性质；三角形面积计算；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为一次函数与几何的综合题，既考查了一次函数基础性质，又结合了等腰直角三角形、全等三角形的几何知识，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解，构造全等三角形是平面直角坐标系中求解点坐标的常用方法。
【难度系数】
0.4
1. 求一次函数与坐标轴交点坐标：与x轴交点满足y=0，代入解析式求解即可得A点坐标；与y轴交点满足x=0，代入解析式求解即可得B点坐标。
2. 求△OAF的面积关系式：OA为底边，长度等于A点横坐标值，△OAF的高是F点的纵坐标，F在AB上，将横坐标x代入解析式可得其纵坐标，再代入三角形面积公式化简即可；结合F不与A、B重合，可确定x的取值范围。
3. 先计算△OAB的面积，根据面积关系列方程求出x的值，得到F点坐标；再分两种情况讨论等腰直角三角形：①直角顶点为A，②直角顶点为F，分别过P作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等计算P的坐标，结合P在第一象限筛选结果。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，故$A(10,0)$；
令$x=0$，得$y=5$，故$B(0,5)$。
(2) 由(1)得$OA=10$，
点F在线段AB上，横坐标为x，所以F点坐标为$(x,-\dfrac{1}{2}x+5)$，
△OAF中，OA边上的高为F点的纵坐标$-\dfrac{1}{2}x+5$，
则$S=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{1}{2}x+5)=-\dfrac{5}{2}x+25$，
因为F不与A、B重合，所以自变量x的取值范围为$0＜x＜10$。
(3) 先计算$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×OA×OB=\dfrac{1}{2}×10×5=25$，
由题意$S=\dfrac{1}{2}S_{△ OAB}$，即$-\dfrac{5}{2}x+25=\dfrac{1}{2}×25$，
解得$x=5$，代入解析式得$y=\dfrac{5}{2}$，即$F(5,\dfrac{5}{2})$。
分两种情况讨论：
①当$∠ PAF=90°$，$AF=AP$时，过P作$PG⊥ x$轴于G，
易得$∠ AFE=∠ PAG$，结合$∠ FEA=∠ AGP=90°$，$AF=PA$，可证$△ FAE≌△ APG(AAS)$，
则$FE=AG=\dfrac{5}{2}$，$AE=PG=5$，所以$OG=10+\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{2}$，得$P(\dfrac{25}{2},5)$，符合第一象限要求。
②当$∠ P'FA=90°$，$AF=FP'$时，过$P'$作$P'H⊥ FE$交EF延长线于H，
同理可证$△ P'HF≌△ FEA(AAS)$，则$FH=AE=5$，$HP'=FE=\dfrac{5}{2}$，
所以$P'$横坐标为$5+\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}$，纵坐标为$\dfrac{5}{2}+5=\dfrac{15}{2}$，即$P'(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{2})$，符合第一象限要求。
【答案】
(1)$A(10,0)$,$B(0,5)$。
(2)$△ OAF$的面积S与x之间的函数关系式为$S=-\dfrac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$。
(3)点P的坐标为$(\dfrac{25}{2},5)$或$(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{2})$。
【知识点】
一次函数的图象性质；三角形面积计算；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为一次函数与几何的综合题，既考查了一次函数基础性质，又结合了等腰直角三角形、全等三角形的几何知识，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解，构造全等三角形是平面直角坐标系中求解点坐标的常用方法。
【难度系数】
0.4
