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1 新考法[2026河南郑州期中,中]小明在学习一次函数后,对形如$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的一次函数图象和性质进行了探究,过程如下:
如图所示,小明分别画出了函数$y=(x-1)+2$,$y=-(x-1)+2$,$y=2(x-1)+2$的图象.
【深入探究】(1)通过对上述几个函数图象的观察、思考,你发现$y=k(x-1)+2$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是
【得到性质】(2)函数$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是
【实践运用】(3)已知一次函数$y=kx-3+2k$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,且与y轴相交于点A,若$△ OAN$的面积为5,求k的值.
如图所示,小明分别画出了函数$y=(x-1)+2$,$y=-(x-1)+2$,$y=2(x-1)+2$的图象.
【深入探究】(1)通过对上述几个函数图象的观察、思考,你发现$y=k(x-1)+2$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是
(1,2)
.【得到性质】(2)函数$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是
(m,n)
.【实践运用】(3)已知一次函数$y=kx-3+2k$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,且与y轴相交于点A,若$△ OAN$的面积为5,求k的值.
答案
(1)通过对函数图象的观察、思考,发现$y=k(x-1)+2$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(1,2)$。
(2)函数$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(m,n)$。
(3)因为一次函数$y=kx-3+2k=k(x+2)-3$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,且与y轴相交于点A,所以$N(-2,-3)$,$A(0,2k-3)$,所以$OA=|2k-3|$。因为$△OAN$的面积为5,所以$\frac{1}{2}×|2k-3|×2=5$,所以$k=4$或$k=-1$。
(2)函数$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(m,n)$。
(3)因为一次函数$y=kx-3+2k=k(x+2)-3$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,且与y轴相交于点A,所以$N(-2,-3)$,$A(0,2k-3)$,所以$OA=|2k-3|$。因为$△OAN$的面积为5,所以$\frac{1}{2}×|2k-3|×2=5$,所以$k=4$或$k=-1$。
解析
【分析】
(1) 要找$y=k(x-1)+2$恒过的定点，即找不受k值影响的坐标，只需让含k的项系数为0，即$x-1=0$，求出x后代入解析式即可得到对应的y值，得到定点坐标。
(2) 类比第(1)问的思路，令$x-m=0$，消去参数k，即可得到通用的定点坐标。
(3) 先将给定的一次函数变形为$y=k(x+2)-3$的形式，参照前面的规律找到定点N的坐标；再求函数与y轴交点A的坐标，$△ OAN$中，OA是A点纵坐标的绝对值，对应高为N点横坐标的绝对值，根据三角形面积公式列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 对于$y=k(x-1)+2$，令$x-1=0$，即$x=1$，代入得$y=2$，因此无论k取何非零值，函数图象都过点$(1,2)$。
(2) 对于$y=k(x-m)+n$，令$x-m=0$，即$x=m$，代入得$y=n$，因此无论k取何非零值，函数图象都过点$(m,n)$。
(3) 将一次函数$y=kx-3+2k$变形为$y=k(x+2)-3$：
令$x+2=0$，得$x=-2$，代入得$y=-3$，即定点$N(-2,-3)$；
函数与y轴交于A点，将$x=0$代入解析式得$y=2k-3$，即$A(0,2k-3)$，因此$OA=|2k-3|$；
点N到y轴的距离为$|-2|=2$，即$△ OAN$中OA边上的高为2；
根据面积为5列方程：$\frac{1}{2} × |2k-3| × 2 =5$，即$|2k-3|=5$；
当$2k-3=5$时，解得$k=4$；当$2k-3=-5$时，解得$k=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,2)}$
(2) $\boldsymbol{(m,n)}$
(3) $\boldsymbol{k=4}$或$\boldsymbol{k=-1}$
【知识点】
一次函数定点问题；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题从特殊到一般探究一次函数过定点的规律，核心方法是通过令含参数的项系数为0消去参数，快速找到定点；结合几何性质求解参数时要注意用绝对值表示线段长度，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 要找$y=k(x-1)+2$恒过的定点，即找不受k值影响的坐标，只需让含k的项系数为0，即$x-1=0$，求出x后代入解析式即可得到对应的y值，得到定点坐标。
(2) 类比第(1)问的思路，令$x-m=0$，消去参数k，即可得到通用的定点坐标。
(3) 先将给定的一次函数变形为$y=k(x+2)-3$的形式，参照前面的规律找到定点N的坐标；再求函数与y轴交点A的坐标，$△ OAN$中，OA是A点纵坐标的绝对值，对应高为N点横坐标的绝对值，根据三角形面积公式列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 对于$y=k(x-1)+2$，令$x-1=0$，即$x=1$，代入得$y=2$，因此无论k取何非零值，函数图象都过点$(1,2)$。
(2) 对于$y=k(x-m)+n$，令$x-m=0$，即$x=m$，代入得$y=n$，因此无论k取何非零值，函数图象都过点$(m,n)$。
(3) 将一次函数$y=kx-3+2k$变形为$y=k(x+2)-3$：
令$x+2=0$，得$x=-2$，代入得$y=-3$，即定点$N(-2,-3)$；
函数与y轴交于A点，将$x=0$代入解析式得$y=2k-3$，即$A(0,2k-3)$，因此$OA=|2k-3|$；
点N到y轴的距离为$|-2|=2$，即$△ OAN$中OA边上的高为2；
根据面积为5列方程：$\frac{1}{2} × |2k-3| × 2 =5$，即$|2k-3|=5$；
当$2k-3=5$时，解得$k=4$；当$2k-3=-5$时，解得$k=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,2)}$
(2) $\boldsymbol{(m,n)}$
(3) $\boldsymbol{k=4}$或$\boldsymbol{k=-1}$
【知识点】
一次函数定点问题；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题从特殊到一般探究一次函数过定点的规律，核心方法是通过令含参数的项系数为0消去参数，快速找到定点；结合几何性质求解参数时要注意用绝对值表示线段长度，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
2[中]如图所示，直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A,B两点，点C是OB的中点，D,E分别是直线AB和y轴上的动点，则$△ CDE$周长的最小值是
$2\sqrt{10}$
。答案
$2\sqrt{10}$
【解析】
作点C关于AB的对称点F,关于AO的对称点G,连接DF,EG,FB,FC,FG。因为直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A,B两点,所以令$x=0$,则$y=4$,令$y=0$,则$x=-4$,所以$A(0,4)$,$B(-4,0)$,所以$OA=OB=4$。又因为点C是OB的中点,所以$OC=BC=\frac{1}{2}OB=2$。因为点C与点G关于AO对称,所以$OG=OC=2$,$EC=EG$,所以$BG=OB+OG=6$。因为$OA=OB$,$∠AOB=90°$,所以$∠ABC=∠BAO=45°$。又因为点C与点F关于AB对称,所以$∠ABC=∠ABF=45°$,$BC=BF=2$,$DF=DC$,所以$∠FBC=90°$。因为$DF=DC$,$EC=EG$,所以$△CDE$的周长为$CD+DE+CE=DF+DE+EG≥FG$,当点F,D,E,G在同一直线上时,$△CDE$的周长最小,为FG的长。因为在$Rt△BFG$中,$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=2\sqrt{10}$,所以$△CDE$周长的最小值是$2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
本题为动点构成的三角形周长最小值问题，属于轴对称最短路径类题型，解题思路如下：1. 首先确定定点C，以及动点D、E所在的直线AB、y轴；2. 利用轴对称性质转化线段：作点C关于AB的对称点F，作点C关于y轴的对称点G，根据对称性质可得$CD=FD$，$CE=GE$，此时△CDE周长可转化为$FD+DE+GE$；3. 根据两点之间线段最短，当F、D、E、G四点共线时，周长的最小值即为FG的长度；4. 先通过一次函数求交点坐标，结合对称性质得到直角三角形BFG的边长，最后用勾股定理计算FG长度即可。
【解析】
第一步：求直线与坐标轴交点
对于直线$y=x+4$，令$x=0$，得$y=4$，即$A(0,4)$；令$y=0$，得$x=-4$，即$B(-4,0)$，因此$OA=OB=4$。
∵点C是OB的中点，
∴$BC=OC=\frac{1}{2}OB=2$。
第二步：作对称点转化线段
作点C关于直线AB的对称点F，关于y轴（AO）的对称点G，连接DF、EG、BF、FG。
根据轴对称性质：
① C、G关于y轴对称，故$EC=EG$，$OG=OC=2$，因此$BG=OB+OG=4+2=6$；
② C、F关于AB对称，故$DC=DF$，$BF=BC=2$，$∠ABF=∠ABC$。
∵$OA=OB$，$∠AOB=90°$，
∴$∠ABC=45°$，因此$∠ABF=45°$，$∠FBG=∠ABF+∠ABC=90°$，即△FBG为直角三角形。
第三步：求周长最小值
△CDE的周长$=CD+DE+CE=DF+DE+EG$，根据两点之间线段最短，当F、D、E、G四点共线时，周长最小，最小值为FG的长度。
在$Rt△BFG$中，由勾股定理得：
$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
1. 轴对称求最短路径；2. 一次函数交点求解；3. 勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何最短路径的综合题，核心是利用轴对称性质将三角形周长转化为两点之间的线段长度，既考察了一次函数的基础性质，也要求学生熟练掌握最短路径模型和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
本题为动点构成的三角形周长最小值问题，属于轴对称最短路径类题型，解题思路如下：1. 首先确定定点C，以及动点D、E所在的直线AB、y轴；2. 利用轴对称性质转化线段：作点C关于AB的对称点F，作点C关于y轴的对称点G，根据对称性质可得$CD=FD$，$CE=GE$，此时△CDE周长可转化为$FD+DE+GE$；3. 根据两点之间线段最短，当F、D、E、G四点共线时，周长的最小值即为FG的长度；4. 先通过一次函数求交点坐标，结合对称性质得到直角三角形BFG的边长，最后用勾股定理计算FG长度即可。
【解析】
第一步：求直线与坐标轴交点
对于直线$y=x+4$，令$x=0$，得$y=4$，即$A(0,4)$；令$y=0$，得$x=-4$，即$B(-4,0)$，因此$OA=OB=4$。
∵点C是OB的中点，
∴$BC=OC=\frac{1}{2}OB=2$。
第二步：作对称点转化线段
作点C关于直线AB的对称点F，关于y轴（AO）的对称点G，连接DF、EG、BF、FG。
根据轴对称性质：
① C、G关于y轴对称，故$EC=EG$，$OG=OC=2$，因此$BG=OB+OG=4+2=6$；
② C、F关于AB对称，故$DC=DF$，$BF=BC=2$，$∠ABF=∠ABC$。
∵$OA=OB$，$∠AOB=90°$，
∴$∠ABC=45°$，因此$∠ABF=45°$，$∠FBG=∠ABF+∠ABC=90°$，即△FBG为直角三角形。
第三步：求周长最小值
△CDE的周长$=CD+DE+CE=DF+DE+EG$，根据两点之间线段最短，当F、D、E、G四点共线时，周长最小，最小值为FG的长度。
在$Rt△BFG$中，由勾股定理得：
$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
1. 轴对称求最短路径；2. 一次函数交点求解；3. 勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何最短路径的综合题，核心是利用轴对称性质将三角形周长转化为两点之间的线段长度，既考察了一次函数的基础性质，也要求学生熟练掌握最短路径模型和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
3[2025广东广州质检,中]如图,直线$y=x+3$与两坐标轴分别交于点$A,C$,直线$BC$与直线$AC$关于$y$轴对称.
(1)求点$A,B,C$的坐标.
(2)若过点$O$的直线$l$将$△ ABC$分成面积之比为$1:2$的两部分,求该直线的表达式.
(1)求点$A,B,C$的坐标.
(2)若过点$O$的直线$l$将$△ ABC$分成面积之比为$1:2$的两部分,求该直线的表达式.
答案
(1)在$y=x+3$中,令$x=0$,得$y=3$,令$y=0$,得$x=-3$,所以$A(-3,0)$,$C(0,3)$。因为直线BC与直线AC关于y轴对称,所以点B与点A关于y轴对称,所以B点坐标为$(3,0)$。
(2)由(1)得$A(-3,0)$,$C(0,3)$,$B(3,0)$,所以$OA=OB=OC=3$,$AB=6$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
①设直线l交AC于K,当$S_{△AOK}:S_{四边形KOBC}=1:2$时,过K作$KH⊥AB$于H,
,所以$S_{△AOK}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=3$,所以$\frac{1}{2}OA·HK=3$,所以$KH=2$。对于$y=x+3$,令$y=2$,得$x=-1$,所以$K(-1,2)$。设直线l的表达式为$y=px(p≠0)$,将$K(-1,2)$代入,得$2=-p$,解得$p=-2$,所以直线l的表达式为$y=-2x$。②设直线l交BC于T,当$S_{△BOT}:S_{四边形AOTC}=1:2$时,过T作$TH'⊥AB$于H',
,同理可得$TH'=2$。易得直线BC的表达式为$y=-x+3$。对于$y=-x+3$,令$y=2$,得$x=1$,所以$T(1,2)$,易得直线l的表达式为$y=2x$。综上所述,直线l的表达式为$y=-2x$或$y=2x$。
解析
【分析】
(1) 求直线与坐标轴的交点时，分别令x=0可得到y轴交点C的坐标，令y=0可得到x轴交点A的坐标；再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的性质，即可得到A关于y轴对称的点B的坐标。
(2) 首先计算△ABC的总面积，直线l将三角形分为面积比1:2的两部分，需分两种情况讨论：①直线l与边AC相交，左侧小三角形面积为总面积的1/3；②直线l与边BC相交，右侧小三角形面积为总面积的1/3。每种情况先根据三角形面积公式求出交点的纵坐标，再代入对应边的直线解析式求出交点横坐标，最后用待定系数法将交点坐标代入过原点的直线表达式，即可求出直线l的解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，因此$C(0,3)$；令$y=0$，得$x=-3$，因此$A(-3,0)$。
因为直线BC与直线AC关于y轴对称，所以点B是点A关于y轴的对称点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，因此$B(3,0)$。
(2) 由(1)可知$OA=OB=OC=3$，$AB=OA+OB=6$，因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
分两种情况讨论：
① 当直线$l$交$AC$于$K$，且$S_{△ AOK}:S_{四边形KOBC}=1:2$时，$S_{△ AOK}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=3$。
过$K$作$KH ⊥ AB$于$H$，，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2} × OA × KH=3$，代入$OA=3$得$KH=2$，即点$K$的纵坐标为2。
将$y=2$代入$y=x+3$，解得$x=-1$，即$K(-1,2)$。
设直线$l$的表达式为$y=px(p≠0)$，将$K(-1,2)$代入得$2=-p$，解得$p=-2$，此时直线$l$的表达式为$y=-2x$。
② 当直线$l$交$BC$于$T$，且$S_{△ BOT}:S_{四边形AOTC}=1:2$时，$S_{△ BOT}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=3$。
过$T$作$TH' ⊥ AB$于$H'$，，同理可得$TH'=2$，即点$T$的纵坐标为2。
易得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$，将$y=2$代入解得$x=1$，即$T(1,2)$。
将$T(1,2)$代入$y=px$得$p=2$，此时直线$l$的表达式为$y=2x$。
综上，直线$l$的表达式为$y=-2x$或$y=2x$。
【答案】
(1)在$y=x+3$中,令$x=0$,得$y=3$,令$y=0$,得$x=-3$,所以$A(-3,0)$,$C(0,3)$。因为直线BC与直线AC关于y轴对称,所以点B与点A关于y轴对称,所以B点坐标为$(3,0)$。
(2)由(1)得$A(-3,0)$,$C(0,3)$,$B(3,0)$,所以$OA=OB=OC=3$,$AB=6$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
①设直线l交AC于K,当$S_{△AOK}:S_{四边形KOBC}=1:2$时,过K作$KH⊥AB$于H,,所以$S_{△AOK}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=3$,所以$\frac{1}{2}OA·HK=3$,所以$KH=2$。对于$y=x+3$,令$y=2$,得$x=-1$,所以$K(-1,2)$。设直线l的表达式为$y=px(p≠0)$,将$K(-1,2)$代入,得$2=-p$,解得$p=-2$,所以直线l的表达式为$y=-2x$。
②设直线l交BC于T,当$S_{△BOT}:S_{四边形AOTC}=1:2$时,过T作$TH'⊥AB$于H',,同理可得$TH'=2$。易得直线BC的表达式为$y=-x+3$。对于$y=-x+3$,令$y=2$,得$x=1$,所以$T(1,2)$,易得直线l的表达式为$y=2x$。
综上所述,直线l的表达式为$y=-2x$或$y=2x$。
【知识点】
一次函数交点求解，轴对称坐标性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题为一次函数综合应用题，结合了坐标计算、三角形面积求解和分类讨论思想，解题时需注意分情况讨论避免漏解，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线与坐标轴的交点时，分别令x=0可得到y轴交点C的坐标，令y=0可得到x轴交点A的坐标；再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的性质，即可得到A关于y轴对称的点B的坐标。
(2) 首先计算△ABC的总面积，直线l将三角形分为面积比1:2的两部分，需分两种情况讨论：①直线l与边AC相交，左侧小三角形面积为总面积的1/3；②直线l与边BC相交，右侧小三角形面积为总面积的1/3。每种情况先根据三角形面积公式求出交点的纵坐标，再代入对应边的直线解析式求出交点横坐标，最后用待定系数法将交点坐标代入过原点的直线表达式，即可求出直线l的解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，因此$C(0,3)$；令$y=0$，得$x=-3$，因此$A(-3,0)$。
因为直线BC与直线AC关于y轴对称，所以点B是点A关于y轴的对称点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，因此$B(3,0)$。
(2) 由(1)可知$OA=OB=OC=3$，$AB=OA+OB=6$，因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
分两种情况讨论：
① 当直线$l$交$AC$于$K$，且$S_{△ AOK}:S_{四边形KOBC}=1:2$时，$S_{△ AOK}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=3$。
过$K$作$KH ⊥ AB$于$H$，
，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2} × OA × KH=3$，代入$OA=3$得$KH=2$，即点$K$的纵坐标为2。将$y=2$代入$y=x+3$，解得$x=-1$，即$K(-1,2)$。
设直线$l$的表达式为$y=px(p≠0)$，将$K(-1,2)$代入得$2=-p$，解得$p=-2$，此时直线$l$的表达式为$y=-2x$。
② 当直线$l$交$BC$于$T$，且$S_{△ BOT}:S_{四边形AOTC}=1:2$时，$S_{△ BOT}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=3$。
过$T$作$TH' ⊥ AB$于$H'$，
，同理可得$TH'=2$，即点$T$的纵坐标为2。易得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$，将$y=2$代入解得$x=1$，即$T(1,2)$。
将$T(1,2)$代入$y=px$得$p=2$，此时直线$l$的表达式为$y=2x$。
综上，直线$l$的表达式为$y=-2x$或$y=2x$。
【答案】
(1)在$y=x+3$中,令$x=0$,得$y=3$,令$y=0$,得$x=-3$,所以$A(-3,0)$,$C(0,3)$。因为直线BC与直线AC关于y轴对称,所以点B与点A关于y轴对称,所以B点坐标为$(3,0)$。
(2)由(1)得$A(-3,0)$,$C(0,3)$,$B(3,0)$,所以$OA=OB=OC=3$,$AB=6$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
①设直线l交AC于K,当$S_{△AOK}:S_{四边形KOBC}=1:2$时,过K作$KH⊥AB$于H,
,所以$S_{△AOK}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=3$,所以$\frac{1}{2}OA·HK=3$,所以$KH=2$。对于$y=x+3$,令$y=2$,得$x=-1$,所以$K(-1,2)$。设直线l的表达式为$y=px(p≠0)$,将$K(-1,2)$代入,得$2=-p$,解得$p=-2$,所以直线l的表达式为$y=-2x$。②设直线l交BC于T,当$S_{△BOT}:S_{四边形AOTC}=1:2$时,过T作$TH'⊥AB$于H',
,同理可得$TH'=2$。易得直线BC的表达式为$y=-x+3$。对于$y=-x+3$,令$y=2$,得$x=1$,所以$T(1,2)$,易得直线l的表达式为$y=2x$。综上所述,直线l的表达式为$y=-2x$或$y=2x$。
【知识点】
一次函数交点求解，轴对称坐标性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题为一次函数综合应用题，结合了坐标计算、三角形面积求解和分类讨论思想，解题时需注意分情况讨论避免漏解，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
4[2025江苏南通期中,较难]在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx-2k$($k$为常数,且$k≠0$)的图象分别交$x$轴、$y$轴于点$A,B$.
(1)点$A$的坐标为
(2)若一次函数$y=kx-2k$的图象经过点$(1,-2)$,平行于$x$轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=kx-2k$的图象交于点$M,N$,点$M,N$的横坐标分别为$m,n$.当$m-n=3$时,线段$MN$的长度是否发生变化?若不变,请求出$MN$的长度;若变化,请说明理由.
(3)若一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象及$x$轴所围成的三角形的面积不小于1,求$k$的取值范围.
(1)点$A$的坐标为
(2,0)
,点$B$的坐标为(0,-2k)
(用含有$k$的式子表示).(2)若一次函数$y=kx-2k$的图象经过点$(1,-2)$,平行于$x$轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=kx-2k$的图象交于点$M,N$,点$M,N$的横坐标分别为$m,n$.当$m-n=3$时,线段$MN$的长度是否发生变化?若不变,请求出$MN$的长度;若变化,请说明理由.
(3)若一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象及$x$轴所围成的三角形的面积不小于1,求$k$的取值范围.
答案
(1)在$y=kx-2k$(k为常数,且$k≠0$)中,令$y=0$,得$x=2$;令$x=0$,得$y=-2k$,所以$A(2,0)$,$B(0,-2k)$。
(2)线段MN的长度不发生变化。因为一次函数$y=kx-2k$的图象经过点$(1,-2)$,所以$-2=k-2k$,所以$k=2$,所以一次函数表达式为$y=2x-4$。因为平行于x轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=2x-4$的图象交于点M,N,点M,N的横坐标分别为m,n,且$m-n=3$,所以$M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,所以$MN=\sqrt{(m-n)^2+(2m-4-2n+4)^2}=\sqrt{5(m-n)^2}=\sqrt{5×3^2}=3\sqrt{5}$,所以当$m-n=3$时,线段MN的长度不发生变化,为$3\sqrt{5}$。
(3)
因为$y=kx-2k=k(x-2)$,所以一次函数$y=kx-2k$的图象过定点$A(2,0)$,所以$OA=2$。设一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$图象的交点为P,点P的纵坐标为$y_P$。当$S_{△OAP}=1$时,$\frac{1}{2}OA·|y_P|=1$,即$\frac{1}{2}×2×|y_P|=1$,解得$y_P=1$或$y_P=-1$。因为点P在函数$y=x$的图象上,所以点P的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$。把$(1,1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=-1$;把$(-1,-1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=\frac{1}{3}$。结合图象可知,若一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象及x轴所围成的三角形的面积不小于1,则k的取值范围是$k≤-1$或$k≥\frac{1}{3}$且$k≠1$。
解析
【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴的交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，代入解析式可求对应x值，得到A点坐标；y轴上的点横坐标为0，代入解析式可求对应y值，得到B点坐标。
(2) 先将已知点$(1,-2)$代入一次函数解析式求出$k$的值，确定函数的具体表达式；再根据M、N的横坐标写出两点坐标，结合$m-n=3$的条件，利用勾股定理推导的两点间距离公式计算MN的长度，判断其是否为定值即可。
(3) 首先整理一次函数解析式可发现其过定点$A(2,0)$，它与$y=x$的交点为P，二者和x轴围成的三角形为$△ OAP$，$OA$长度为2，根据三角形面积公式可建立面积和P点纵坐标的关系，结合面积不小于1的条件求出P点纵坐标的取值范围，再将P点临界坐标代入一次函数求出临界$k$值，结合图象分类讨论得到$k$的取值范围，注意排除两直线平行无交点的情况。
【解析】
(1) 在$y=kx-2k$(k为常数,且$k≠0$)中,令$y=0$,得$kx-2k=0$，解得$x=2$;令$x=0$,得$y=-2k$,所以$A(2,0)$,$B(0,-2k)$。
(2) 线段MN的长度不发生变化。因为一次函数$y=kx-2k$的图象经过点$(1,-2)$,所以将点代入得$-2=k-2k$,解得$k=2$,所以一次函数表达式为$y=2x-4$。因为平行于x轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=2x-4$的图象交于点M,N,点M,N的横坐标分别为m,n,且$m-n=3$,所以$M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,所以$MN=\sqrt{(m-n)^2+(2m-4-(2n-4))^2}=\sqrt{(m-n)^2+[2(m-n)]^2}=\sqrt{5(m-n)^2}=\sqrt{5×3^2}=3\sqrt{5}$,所以当$m-n=3$时,线段MN的长度不发生变化,为$3\sqrt{5}$。
(3)
因为$y=kx-2k=k(x-2)$,所以一次函数$y=kx-2k$的图象过定点$A(2,0)$,所以$OA=2$。设一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$图象的交点为P,点P的纵坐标为$y_P$。当$S_{△OAP}=1$时,$\frac{1}{2}OA·|y_P|=1$,即$\frac{1}{2}×2×|y_P|=1$,解得$y_P=1$或$y_P=-1$。因为点P在函数$y=x$的图象上,所以点P的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$。把$(1,1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=-1$;把$(-1,-1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=\frac{1}{3}$。结合图象可知,若一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象及x轴所围成的三角形的面积不小于1,则k的取值范围是$k≤-1$或$k≥\frac{1}{3}$且$k≠1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$，$\boldsymbol{(0,-2k)}$
(2) 线段MN长度不变，为$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
(3)，k的取值范围是$\boldsymbol{k≤-1}$或$\boldsymbol{k≥\frac{1}{3}}$且$\boldsymbol{k≠1}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、两点间距离计算、一次函数面积综合
【点评】
本题综合考查一次函数的定点性质、交点求解、距离计算及结合图象的不等式分析，解题时需要注意分类讨论，避免漏解或错解，对一次函数的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求一次函数与坐标轴的交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，代入解析式可求对应x值，得到A点坐标；y轴上的点横坐标为0，代入解析式可求对应y值，得到B点坐标。
(2) 先将已知点$(1,-2)$代入一次函数解析式求出$k$的值，确定函数的具体表达式；再根据M、N的横坐标写出两点坐标，结合$m-n=3$的条件，利用勾股定理推导的两点间距离公式计算MN的长度，判断其是否为定值即可。
(3) 首先整理一次函数解析式可发现其过定点$A(2,0)$，它与$y=x$的交点为P，二者和x轴围成的三角形为$△ OAP$，$OA$长度为2，根据三角形面积公式可建立面积和P点纵坐标的关系，结合面积不小于1的条件求出P点纵坐标的取值范围，再将P点临界坐标代入一次函数求出临界$k$值，结合图象分类讨论得到$k$的取值范围，注意排除两直线平行无交点的情况。
【解析】
(1) 在$y=kx-2k$(k为常数,且$k≠0$)中,令$y=0$,得$kx-2k=0$，解得$x=2$;令$x=0$,得$y=-2k$,所以$A(2,0)$,$B(0,-2k)$。
(2) 线段MN的长度不发生变化。因为一次函数$y=kx-2k$的图象经过点$(1,-2)$,所以将点代入得$-2=k-2k$,解得$k=2$,所以一次函数表达式为$y=2x-4$。因为平行于x轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=2x-4$的图象交于点M,N,点M,N的横坐标分别为m,n,且$m-n=3$,所以$M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,所以$MN=\sqrt{(m-n)^2+(2m-4-(2n-4))^2}=\sqrt{(m-n)^2+[2(m-n)]^2}=\sqrt{5(m-n)^2}=\sqrt{5×3^2}=3\sqrt{5}$,所以当$m-n=3$时,线段MN的长度不发生变化,为$3\sqrt{5}$。
(3)
因为$y=kx-2k=k(x-2)$,所以一次函数$y=kx-2k$的图象过定点$A(2,0)$,所以$OA=2$。设一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$图象的交点为P,点P的纵坐标为$y_P$。当$S_{△OAP}=1$时,$\frac{1}{2}OA·|y_P|=1$,即$\frac{1}{2}×2×|y_P|=1$,解得$y_P=1$或$y_P=-1$。因为点P在函数$y=x$的图象上,所以点P的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$。把$(1,1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=-1$;把$(-1,-1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=\frac{1}{3}$。结合图象可知,若一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象及x轴所围成的三角形的面积不小于1,则k的取值范围是$k≤-1$或$k≥\frac{1}{3}$且$k≠1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$，$\boldsymbol{(0,-2k)}$
(2) 线段MN长度不变，为$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
(3)
，k的取值范围是$\boldsymbol{k≤-1}$或$\boldsymbol{k≥\frac{1}{3}}$且$\boldsymbol{k≠1}$【知识点】
一次函数与坐标轴交点、两点间距离计算、一次函数面积综合
【点评】
本题综合考查一次函数的定点性质、交点求解、距离计算及结合图象的不等式分析，解题时需要注意分类讨论，避免漏解或错解，对一次函数的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
