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8.下列各式中,计算结果正确的有（
①$\frac{3x}{x^2} · \frac{x}{3x} = \frac{1}{x}$；②$a ÷ b = \frac{b}{a}$；③$\frac{x^2 y^2}{z^3} ÷ \frac{-2x^2 y^2}{3z} = -\frac{3}{2z^2}$；④$8a^2 b ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^2 b$；⑤$(-\frac{a^2}{b}) · (-\frac{b^2}{a}) = ab$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）①$\frac{3x}{x^2} · \frac{x}{3x} = \frac{1}{x}$；②$a ÷ b = \frac{b}{a}$；③$\frac{x^2 y^2}{z^3} ÷ \frac{-2x^2 y^2}{3z} = -\frac{3}{2z^2}$；④$8a^2 b ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^2 b$；⑤$(-\frac{a^2}{b}) · (-\frac{b^2}{a}) = ab$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
8.B
解析
【分析】
这道题考查分式的乘除运算，解题思路是逐一计算每个式子的结果，再和原式给出的结果对比，统计正确的个数即可得到答案。计算时要牢记：分式乘法是分子乘分子、分母乘分母，最后约分得到最简结果；分式除法要先转化为乘以除数的倒数，再按乘法法则计算，同时要注意运算过程中的符号处理。
【解析】
我们逐个验证5个式子：
①计算$\frac{3x}{x^2} · \frac{x}{3x}$：
分子乘积为$3x·x=3x^2$，分母乘积为$x^2·3x=3x^3$，约分后得$\frac{3x^2}{3x^3}=\frac{1}{x}$，和给出结果一致，①正确。
②$a ÷ b$根据除法和分式的关系，结果应为$\frac{a}{b}$，不是$\frac{b}{a}$，②错误。
③计算$\frac{x^2 y^2}{z^3} ÷ \frac{-2x^2 y^2}{3z}$：
先转化为乘法：$\frac{x^2 y^2}{z^3} · \frac{3z}{-2x^2 y^2}$，分子分母约分（$x^2y^2$约掉，$z$和$z^3$约去$z$剩$z^2$），得$\frac{3}{-2z^2}=-\frac{3}{2z^2}$，和给出结果一致，③正确。
④计算$8a^2 b ÷ (-\frac{3a}{4b^2})$：
转化为乘法：$8a^2b · (-\frac{4b^2}{3a}) = -\frac{8×4×a^2b·b^2}{3a}=-\frac{32ab^3}{3}$，和给出的$-6a^2b$不一致，④错误。
⑤计算$(-\frac{a^2}{b}) · (-\frac{b^2}{a})$：
负负得正，分子乘积为$a^2·b^2$，分母乘积为$b·a$，约分后得$ab$，和给出结果一致，⑤正确。
综上，正确的有①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、约分、符号法则
【点评】
本题侧重考查分式乘除的基础运算，解题时要注意除法转乘法时要乘以除数的倒数，同时运算中先判断符号，再进行约分计算，避免因粗心导致符号错误或者约分错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式的乘除运算，解题思路是逐一计算每个式子的结果，再和原式给出的结果对比，统计正确的个数即可得到答案。计算时要牢记：分式乘法是分子乘分子、分母乘分母，最后约分得到最简结果；分式除法要先转化为乘以除数的倒数，再按乘法法则计算，同时要注意运算过程中的符号处理。
【解析】
我们逐个验证5个式子：
①计算$\frac{3x}{x^2} · \frac{x}{3x}$：
分子乘积为$3x·x=3x^2$，分母乘积为$x^2·3x=3x^3$，约分后得$\frac{3x^2}{3x^3}=\frac{1}{x}$，和给出结果一致，①正确。
②$a ÷ b$根据除法和分式的关系，结果应为$\frac{a}{b}$，不是$\frac{b}{a}$，②错误。
③计算$\frac{x^2 y^2}{z^3} ÷ \frac{-2x^2 y^2}{3z}$：
先转化为乘法：$\frac{x^2 y^2}{z^3} · \frac{3z}{-2x^2 y^2}$，分子分母约分（$x^2y^2$约掉，$z$和$z^3$约去$z$剩$z^2$），得$\frac{3}{-2z^2}=-\frac{3}{2z^2}$，和给出结果一致，③正确。
④计算$8a^2 b ÷ (-\frac{3a}{4b^2})$：
转化为乘法：$8a^2b · (-\frac{4b^2}{3a}) = -\frac{8×4×a^2b·b^2}{3a}=-\frac{32ab^3}{3}$，和给出的$-6a^2b$不一致，④错误。
⑤计算$(-\frac{a^2}{b}) · (-\frac{b^2}{a})$：
负负得正，分子乘积为$a^2·b^2$，分母乘积为$b·a$，约分后得$ab$，和给出结果一致，⑤正确。
综上，正确的有①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、约分、符号法则
【点评】
本题侧重考查分式乘除的基础运算，解题时要注意除法转乘法时要乘以除数的倒数，同时运算中先判断符号，再进行约分计算，避免因粗心导致符号错误或者约分错误。
【难度系数】
0.7
9. 情境题 现实生活 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示。接力中，自己负责的一步出现错误的是（
A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
D
）A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
答案
9.D
解析
【分析】
解题思路：结合分式乘除的运算法则，逐一对甲、乙、丙、丁的步骤进行正误判断即可。首先明确分式除法要先转化为乘法（乘以除数的倒数），注意1-x和x-1互为相反数，转化时要添加负号；其次因式分解要正确，约分时只有相同的因式才能抵消，约分后要核对分子分母的剩余部分。
【解析】
我们依次核对每一步的正误：
1. 原式为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{1-x}$，甲将除法转化为乘法，除以$\dfrac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\dfrac{1-x}{x^2}$，得到$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{1-x}{x^2}$，甲的步骤正确。
2. 乙将$\dfrac{1-x}{x^2}$改写为$\dfrac{x-1}{x^2}$，但$1-x=-(x-1)$，此处遗漏了负号，正确应为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{x^2}$，乙的步骤错误。
3. 丙将分子$x^2-2x$提取公因式$x$，分解为$x(x-2)$，得到$\dfrac{x(x-2)}{x-1} · \dfrac{x-1}{x^2}$，因式分解操作本身正确，丙的步骤正确。
4. 丁对$\dfrac{x(x-2)}{x-1} · \dfrac{x-1}{x^2}$约分：$x-1$抵消，分子的$x$和分母的$x^2$约分后分母剩余$x$，正确结果应为$\dfrac{x-2}{x}$，但丁得到$\dfrac{x-2}{2}$，约分错误，丁的步骤错误。
综上，出现错误的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除、因式分解、分式约分
【点评】
本题结合趣味接力形式考查分式乘除运算，易错点是互为相反数的因式转化时遗漏负号、约分时公因式判断错误，做题时要注意符号问题，约分后及时核对剩余的分子分母是否正确。
【难度系数】
0.7
解题思路：结合分式乘除的运算法则，逐一对甲、乙、丙、丁的步骤进行正误判断即可。首先明确分式除法要先转化为乘法（乘以除数的倒数），注意1-x和x-1互为相反数，转化时要添加负号；其次因式分解要正确，约分时只有相同的因式才能抵消，约分后要核对分子分母的剩余部分。
【解析】
我们依次核对每一步的正误：
1. 原式为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{1-x}$，甲将除法转化为乘法，除以$\dfrac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\dfrac{1-x}{x^2}$，得到$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{1-x}{x^2}$，甲的步骤正确。
2. 乙将$\dfrac{1-x}{x^2}$改写为$\dfrac{x-1}{x^2}$，但$1-x=-(x-1)$，此处遗漏了负号，正确应为$\dfrac{x^2-2x}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{x^2}$，乙的步骤错误。
3. 丙将分子$x^2-2x$提取公因式$x$，分解为$x(x-2)$，得到$\dfrac{x(x-2)}{x-1} · \dfrac{x-1}{x^2}$，因式分解操作本身正确，丙的步骤正确。
4. 丁对$\dfrac{x(x-2)}{x-1} · \dfrac{x-1}{x^2}$约分：$x-1$抵消，分子的$x$和分母的$x^2$约分后分母剩余$x$，正确结果应为$\dfrac{x-2}{x}$，但丁得到$\dfrac{x-2}{2}$，约分错误，丁的步骤错误。
综上，出现错误的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除、因式分解、分式约分
【点评】
本题结合趣味接力形式考查分式乘除运算，易错点是互为相反数的因式转化时遗漏负号、约分时公因式判断错误，做题时要注意符号问题，约分后及时核对剩余的分子分母是否正确。
【难度系数】
0.7
10.若$m - n = 2$，则代数式$\frac{m^2 - n^2}{m} · \frac{2m}{m + n}$的值是
4
。答案
10.4
解析
【分析】
拿到题目先观察待求代数式的结构，发现分子处有$m^2-n^2$，符合平方差公式的形式，因此第一步先利用平方差公式对其因式分解；再根据分式乘除的运算规则，先找分子分母的公因式约分，将代数式化简后，发现化简结果刚好包含已知的$m-n$整体，直接代入已知条件即可算出结果，无需单独求解$m$、$n$的值。
【解析】
第一步：利用平方差公式因式分解，$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+n)(m-n)}{m}·\frac{2m}{m+n}\\\end{aligned}$
第二步：约分，约掉分子分母的公因式$m$和$m+n$，可得：
$\mathrm{原式}=2(m-n)$
第三步：将已知条件$m-n=2$代入化简后的式子计算：
$\mathrm{原式}=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式、分式乘除运算、整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题的关键是先通过因式分解、约分简化代数式，再整体代入已知条件计算，可有效降低计算量，是分式运算章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
拿到题目先观察待求代数式的结构，发现分子处有$m^2-n^2$，符合平方差公式的形式，因此第一步先利用平方差公式对其因式分解；再根据分式乘除的运算规则，先找分子分母的公因式约分，将代数式化简后，发现化简结果刚好包含已知的$m-n$整体，直接代入已知条件即可算出结果，无需单独求解$m$、$n$的值。
【解析】
第一步：利用平方差公式因式分解，$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+n)(m-n)}{m}·\frac{2m}{m+n}\\\end{aligned}$
第二步：约分，约掉分子分母的公因式$m$和$m+n$，可得：
$\mathrm{原式}=2(m-n)$
第三步：将已知条件$m-n=2$代入化简后的式子计算：
$\mathrm{原式}=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式、分式乘除运算、整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题的关键是先通过因式分解、约分简化代数式，再整体代入已知条件计算，可有效降低计算量，是分式运算章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
11.(易错题)若$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
.答案
11.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
解析
【分析】
要确定x的取值范围，需明确两个核心规则：一是分式有意义的前提是分母不为0，二是除法运算中除数不能为0。我们需要逐一找出原式中所有隐含的限制条件，再合并所有条件得到最终结果：第一步先确定被除式的分母限制，第二步确定除式作为分式自身的分母限制，第三步确定除式作为除数不能为0的限制，最后取所有限制的公共部分即可。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式$\frac{x+2}{x-3}$有意义，即其分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式$\frac{x+1}{x-2}$是分式，自身要有意义，即其分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除法运算中除数不能为0，即$\frac{x+1}{x-2}≠0$，因此除式的分子不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x的取值范围是$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$。
【答案】
$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法运算，除数不为0的要求
【点评】
本题属于易错题，解题时常出现遗漏除式分子不为0（即$x≠-1$）的限制，或者漏记除式自身分母不为0的要求的问题，解题时要全面梳理式子中所有限制条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要确定x的取值范围，需明确两个核心规则：一是分式有意义的前提是分母不为0，二是除法运算中除数不能为0。我们需要逐一找出原式中所有隐含的限制条件，再合并所有条件得到最终结果：第一步先确定被除式的分母限制，第二步确定除式作为分式自身的分母限制，第三步确定除式作为除数不能为0的限制，最后取所有限制的公共部分即可。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式$\frac{x+2}{x-3}$有意义，即其分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式$\frac{x+1}{x-2}$是分式，自身要有意义，即其分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除法运算中除数不能为0，即$\frac{x+1}{x-2}≠0$，因此除式的分子不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x的取值范围是$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$。
【答案】
$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法运算，除数不为0的要求
【点评】
本题属于易错题，解题时常出现遗漏除式分子不为0（即$x≠-1$）的限制，或者漏记除式自身分母不为0的要求的问题，解题时要全面梳理式子中所有限制条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12.计算：
(1)$\frac{9ab^2}{a^2 - b^2} · \frac{5a - 5b}{3a^2b}$；
(2)$(x^2 - 2x) ÷ \frac{x^2 - x - 2}{x + 1}$；
(3)$\frac{2x + 6}{x^2 + 2x} ÷ (x + 3)$。
(1)$\frac{9ab^2}{a^2 - b^2} · \frac{5a - 5b}{3a^2b}$；
(2)$(x^2 - 2x) ÷ \frac{x^2 - x - 2}{x + 1}$；
(3)$\frac{2x + 6}{x^2 + 2x} ÷ (x + 3)$。
答案
12.(1)原式$=\frac{15b}{a^2+ab}$ (2)原式$=x$ (3)原式$=\frac{2}{x^2+2x}$
解析
【分析】
分式乘除运算的核心思路是先因式分解、再约分、最后化简。具体步骤：①遇到除法运算先转化为乘以除数的倒数；②将分子、分母中能因式分解的多项式（包括提公因式、公式法分解）全部因式分解；③约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，$5a-5b=5(a-b)$
原式$=\frac{9ab^2}{(a+b)(a-b)} · \frac{5(a-b)}{3a^2b}$
约去公因式$3ab(a-b)$后计算得：
原式$=\frac{3b}{a+b} · \frac{5}{a}=\frac{15b}{a(a+b)}=\frac{15b}{a^2+ab}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2 -x -2=(x-2)(x+1)$
原式$=(x^2 -2x) · \frac{x+1}{x^2 -x -2}=x(x-2) · \frac{x+1}{(x-2)(x+1)}$
约去公因式$(x-2)(x+1)$得：
原式$=x$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$2x+6=2(x+3)$，$x^2+2x=x(x+2)$
原式$=\frac{2(x+3)}{x(x+2)} · \frac{1}{x+3}$
约去公因式$(x+3)$后得：
原式$=\frac{2}{x(x+2)}=\frac{2}{x^2+2x}$
【答案】
(1)$\frac{15b}{a^2+ab}$；(2)$x$；(3)$\frac{2}{x^2+2x}$
【知识点】
1.分式乘除法则 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础常规题，运算时牢记“先化除为乘、再因式分解、最后约分”的步骤，能有效减少运算错误，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的核心思路是先因式分解、再约分、最后化简。具体步骤：①遇到除法运算先转化为乘以除数的倒数；②将分子、分母中能因式分解的多项式（包括提公因式、公式法分解）全部因式分解；③约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，$5a-5b=5(a-b)$
原式$=\frac{9ab^2}{(a+b)(a-b)} · \frac{5(a-b)}{3a^2b}$
约去公因式$3ab(a-b)$后计算得：
原式$=\frac{3b}{a+b} · \frac{5}{a}=\frac{15b}{a(a+b)}=\frac{15b}{a^2+ab}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2 -x -2=(x-2)(x+1)$
原式$=(x^2 -2x) · \frac{x+1}{x^2 -x -2}=x(x-2) · \frac{x+1}{(x-2)(x+1)}$
约去公因式$(x-2)(x+1)$得：
原式$=x$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$2x+6=2(x+3)$，$x^2+2x=x(x+2)$
原式$=\frac{2(x+3)}{x(x+2)} · \frac{1}{x+3}$
约去公因式$(x+3)$后得：
原式$=\frac{2}{x(x+2)}=\frac{2}{x^2+2x}$
【答案】
(1)$\frac{15b}{a^2+ab}$；(2)$x$；(3)$\frac{2}{x^2+2x}$
【知识点】
1.分式乘除法则 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础常规题，运算时牢记“先化除为乘、再因式分解、最后约分”的步骤，能有效减少运算错误，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13.(运算能力)先将式子$\frac{x+3}{x+2} ÷ \frac{x^2 -9}{x+2}$化简，再从-2,2,3,-3四个数中选取一个适当的数作为x的值代入求值.
答案
13.原式$=\frac{1}{x-3}$，当$x=-2,3,-3$时，原式无意义，
∴$x=2$.当$x=2$时，原式$=-1$
∴$x=2$.当$x=2$时，原式$=-1$
解析
【分析】
本题为分式化简求值类题目，解题可按三步推进：第一步，根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法运算；第二步，对分子分母中可因式分解的多项式因式分解，再约去公因式得到最简结果；第三步，结合分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0），排除不符合要求的x取值，选合适的x代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：1. 化简原式：
根据分式除法法则，除以一个不为0的分式等于乘它的倒数，可得：
$\frac{x+3}{x+2} ÷ \frac{x^2 -9}{x+2}=\frac{x+3}{x+2} × \frac{x+2}{x^2 -9}$
利用平方差公式因式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，代入后约分：
$\frac{x+3}{x+2} × \frac{x+2}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x-3}$
2. 确定x的可取值：
要使原式有意义，需满足所有分母、除式均不为0，即：
$x+2≠0$，$x^2-9≠0$，解得$x≠-2$，$x≠3$，$x≠-3$
在-2,2,3,-3四个数中，仅$x=2$符合要求。
3. 代入求值：
将$x=2$代入$\frac{1}{x-3}$，得$\frac{1}{2-3}=-1$
【答案】
原式化简为$\frac{1}{x-3}$，选取$x=2$代入，值为$-1$
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式乘除章节的基础常考题，易错点为忽略分式有意义的条件，直接选取使分母/除式为0的x代入，解题时需先确定x的合法取值范围，再代入计算。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值类题目，解题可按三步推进：第一步，根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法运算；第二步，对分子分母中可因式分解的多项式因式分解，再约去公因式得到最简结果；第三步，结合分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0），排除不符合要求的x取值，选合适的x代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：1. 化简原式：
根据分式除法法则，除以一个不为0的分式等于乘它的倒数，可得：
$\frac{x+3}{x+2} ÷ \frac{x^2 -9}{x+2}=\frac{x+3}{x+2} × \frac{x+2}{x^2 -9}$
利用平方差公式因式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，代入后约分：
$\frac{x+3}{x+2} × \frac{x+2}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x-3}$
2. 确定x的可取值：
要使原式有意义，需满足所有分母、除式均不为0，即：
$x+2≠0$，$x^2-9≠0$，解得$x≠-2$，$x≠3$，$x≠-3$
在-2,2,3,-3四个数中，仅$x=2$符合要求。
3. 代入求值：
将$x=2$代入$\frac{1}{x-3}$，得$\frac{1}{2-3}=-1$
【答案】
原式化简为$\frac{1}{x-3}$，选取$x=2$代入，值为$-1$
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式乘除章节的基础常考题，易错点为忽略分式有意义的条件，直接选取使分母/除式为0的x代入，解题时需先确定x的合法取值范围，再代入计算。
【难度系数】
0.7
14.(教材 P147 例 3 变式)有甲、乙两筐水果,甲筐水果重$(x-1)^2$千克,乙筐水果重$(x^2-1)$千克(其中$x＞1$),售完后,两筐水果都卖了50元.
(1)哪筐水果的单价低？
(2)两筐水果中,高的单价是低的单价的多少倍？
(1)哪筐水果的单价低？
(2)两筐水果中,高的单价是低的单价的多少倍？
答案
14.(1)甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-1)^2}$元，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-1}$元，
∵$x＞1$，
∴$x^2-1-(x-1)^2=x^2-1-(x^2-2x+1)=2(x-1)＞0$，
∴$0＜(x-1)^2＜x^2-1$，
∴$\frac{50}{x^2-1}＜\frac{50}{(x-1)^2}$.答：乙筐水果的单价低 (2)$\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2-1} = \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$.答：高的单价是低的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍
∵$x＞1$，
∴$x^2-1-(x-1)^2=x^2-1-(x^2-2x+1)=2(x-1)＞0$，
∴$0＜(x-1)^2＜x^2-1$，
∴$\frac{50}{x^2-1}＜\frac{50}{(x-1)^2}$.答：乙筐水果的单价低 (2)$\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2-1} = \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$.答：高的单价是低的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍
解析
【分析】
要解决本题的两个问题，首先根据“单价=总价÷重量”的基本数量关系，分别写出甲、乙两筐水果的单价表达式。第(1)问比较单价高低：两个单价的分子均为50，根据分子相同的正分数大小比较规则，分母越大分数值越小，因此只需用作差法比较两个分母$(x-1)^2$和$x^2-1$的大小，结合$x＞1$的条件判断差的正负，即可得到分母的大小关系，进而推出单价的高低。第(2)问求单价的倍数关系：用较高的单价除以较低的单价，根据分式除法法则将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
(1) 由单价=总价÷重量可得：
甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-1)^2}$元，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-1}$元。
用作差法比较两个分母的大小：
$x^2-1-(x-1)^2=x^2-1-(x^2-2x+1)=2x-2=2(x-1)$
∵$x＞1$，
∴$x-1＞0$，即$2(x-1)＞0$
∴$x^2-1 ＞ (x-1)^2 ＞0$
根据分子相同的正分数，分母越大分数值越小，可得：
$\frac{50}{x^2-1} ＜ \frac{50}{(x-1)^2}$
(2) 由(1)可知甲筐单价更高，乙筐单价更低，求高单价是低单价的倍数，列式为：
$\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2-1}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，得：
$\frac{50}{(x-1)^2} · \frac{x^2-1}{50}$
对$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，代入后约分：
$\frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$
【答案】
(1) 乙筐水果的单价低；
(2) 高的单价是低的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍。
【知识点】
1. 分式的实际应用
2. 分式的乘除运算
3. 作差法比较大小
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的相关知识，解题的核心是先正确列出两筐水果的单价表达式，再利用分式的性质比较大小、计算倍数，计算过程中需注意因式分解在分式约分中的运用，注重对基础运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题的两个问题，首先根据“单价=总价÷重量”的基本数量关系，分别写出甲、乙两筐水果的单价表达式。第(1)问比较单价高低：两个单价的分子均为50，根据分子相同的正分数大小比较规则，分母越大分数值越小，因此只需用作差法比较两个分母$(x-1)^2$和$x^2-1$的大小，结合$x＞1$的条件判断差的正负，即可得到分母的大小关系，进而推出单价的高低。第(2)问求单价的倍数关系：用较高的单价除以较低的单价，根据分式除法法则将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
(1) 由单价=总价÷重量可得：
甲筐水果的单价为$\frac{50}{(x-1)^2}$元，乙筐水果的单价为$\frac{50}{x^2-1}$元。
用作差法比较两个分母的大小：
$x^2-1-(x-1)^2=x^2-1-(x^2-2x+1)=2x-2=2(x-1)$
∵$x＞1$，
∴$x-1＞0$，即$2(x-1)＞0$
∴$x^2-1 ＞ (x-1)^2 ＞0$
根据分子相同的正分数，分母越大分数值越小，可得：
$\frac{50}{x^2-1} ＜ \frac{50}{(x-1)^2}$
(2) 由(1)可知甲筐单价更高，乙筐单价更低，求高单价是低单价的倍数，列式为：
$\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2-1}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，得：
$\frac{50}{(x-1)^2} · \frac{x^2-1}{50}$
对$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，代入后约分：
$\frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$
【答案】
(1) 乙筐水果的单价低；
(2) 高的单价是低的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍。
【知识点】
1. 分式的实际应用
2. 分式的乘除运算
3. 作差法比较大小
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的相关知识，解题的核心是先正确列出两筐水果的单价表达式，再利用分式的性质比较大小、计算倍数，计算过程中需注意因式分解在分式约分中的运用，注重对基础运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
