1 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是 ()


A.①
B.②
C.③
D.④

1.A 【解析】第①块碎片有一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到圆半径的长. 故选 A.

2[2025浙江杭州质检]已知$M(1,2),N(3,-3)$，$P$三点可以确定一个圆，则以下$P$点坐标不满足要求的是 ()

A.$(3,5)$
B.$(-3,5)$
C.$(-1,7)$
D.$(1,-3)$

2.C 【解析】设直线 MN 的表达式为 y = kx + b,
∴ $\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{5}{2},\\b=\dfrac{9}{2},\end{cases}$
∴ $y=-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{9}{2}$. A 选项,当 x=3 时,$y=-\dfrac{5}{2}×3+\dfrac{9}{2}=-3≠5$,故点(3,5)不在直线 MN 上,根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆,得点(3,5)与 M(1,2),N(3,-3)可以确定一个圆,故本选项不符合题意; B 选项,当 x=-3 时,$y=-\dfrac{5}{2}×(-3)+\dfrac{9}{2}=12≠5$,同理,本选项不符合题意; C 选项,当 x=-1 时,$y=-\dfrac{5}{2}×(-1)+\dfrac{9}{2}=7$,故点(-1,7)在直线 MN 上,
∴ 点(-1,7)与 M(1,2),N(3,-3)不能确定一个圆,故本选项符合题意; D 选项,当 x=1 时,$y=-\dfrac{5}{2}×1+\dfrac{9}{2}=2≠-3$,同理,本选项不符合题意. 故选 C.

3 已知点A,B,且AB＜4,则经过A,B两点且半径为2的圆有个.

3.2 【解析】作 AB 的垂直平分线,在垂直平分线上找到与 A 点距离为 2 的点,这样的点有 2 个,所以符合题意的圆有 2 个,如图所示. 故答案为 2.

4[2026浙江衢州调研]将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C,E两点刚好重合，且B,C,H三点共线，此时经过A,F,G三点作一个圆，则该圆的半径为。

4.$2\sqrt{5}$ 【解析】由题意可知,∠ABC = ∠FCH = ∠GHC=90°,AB=BC=2,CF=CH=HG=4. 如图,取 CH 的中点 O,则 OC=OH=2,
∴ OB=4. 连结 OA,OF,OG. 由勾股定理可得 $OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=2\sqrt{5}$, $OF=\sqrt{CF^2+OC^2}=2\sqrt{5}$, $OG=\sqrt{GH^2+OH^2}=2\sqrt{5}$,
∴ OA=OF=OG,即点 O 为经过 A,F,G 三点所作圆的圆心,则该圆的半径为 $2\sqrt{5}$,故答案为 $2\sqrt{5}$.

5 某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用无刻度直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法，但要保留作图痕迹）。

5.【解】如图,点 O 即为所求.

6 如图,在平面直角坐标系中,$A(0,-3),B(2,-1),C(2,3)$,则$△ ABC$的外心坐标为 ()


A.$(0,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,-1)$
D.$(-2,1)$

6.D 【解析】如图,
∵ △ABC 的外心是三角形三边垂直平分线的交点,
∴ EF 与 MN 的交点 O' 即为所求的△ABC 的外心,
∴ △ABC 的外心坐标是(-2,1). 故选 D.

7 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$30°$得到$\mathrm{Rt}△ AB'C'$,点$B'$在直线$AC$上.若$BC = 1$,则点$C$和$△ AB'C'$的外心之间的距离是（）


A.$1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

7.B 【解析】由题意可知,∠C'AB' = ∠B'AB = 30°. 在 Rt△ABC 中,
∵ ∠B'AB = 30°,BC = 1,
∴ AB = 2,
∴ AB' = 2,AC = $\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}$. 设△AB'C' 的外心为点 O.
∵ ∠C'=90°,
∴ 外心 O 是斜边 AB' 的中点,
∴ AO = $\dfrac{1}{2}AB' = 1$,
∴ OC = $\sqrt{3}-1$. 故选 B.

8[2025浙江宁波期中]设$x,y$是一个直角三角形两条直角边的长,且$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 -1)=56$,则这个直角三角形的外接圆面积为.

8.$2π$ 【解析】设这个直角三角形的斜边长为 z. 由题意得 $x^2+y^2=z^2$.
∵ $(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=56$,
∴ $z^2(z^2-1)=56$. 令 $z^2=t$,则有 $t(t-1)=56$,整理得 $t^2-t-56=0$,
∴ $(t-8)(t+7)=0$,
∴ $t_1=8,t_2=-7$.
∵ $t=z^2,z＞0$,
∴ t＞0,
∴ t=8,即 $z^2=8$,
∴ $z=2\sqrt{2}$,
∴ 这个直角三角形的外接圆直径为 $2\sqrt{2}$,即半径为 $\sqrt{2}$,
∴ 这个直角三角形的外接圆面积为 $2π$. 故答案为 $2π$.
思路分析
设这个直角三角形的斜边长为 z,根据勾股定理得到 $x^2+y^2=z^2$,将其代入 $(x^2+y^2)·(x^2+y^2-1)=56$,求出 z 的值,即得到这个直角三角形的外接圆直径,进而可求得这个直角三角形的外接圆面积.

9[2026浙江宁波调研]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=13$,$BC$边上的中线$AD=12$.
(1)请用尺规作图,作$△ ABC$的外接圆(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求$△ ABC$的外接圆的半径.

9.【解】(1)如图所示,⊙O 即为所求.
(2)如图,连结 OB.
∵ AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,
∴ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ BD = $\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$. 设 OA=OB=x,则 OD=12-x. 在 Rt△OBD 中,$OD^2+BD^2=OB^2$,
∴ $(12-x)^2+5^2=x^2$,
∴ $x=\dfrac{169}{24}$,即△ABC 的外接圆的半径为 $\dfrac{169}{24}$.