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1 [2026 浙江杭州质检,中]如图，$\odot B$的半径为$\sqrt{7}$，以圆外一点A为圆心，画半径为4的弧，将$\odot B$截成弧长相等的两部分，则A，B两点间的距离为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{23}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{23}$
答案
C 【解析】如图
,连结 AB,AC,AD,CD.∵ $\overset{\frown}{CD}$ 将⊙B 截成弧长相等的两部分,
∴ CD 为⊙B 的直径,
∴ BC = BD = $\sqrt{7}$. 由题意得 AC=AD=4,
∴ AB ⊥ CD,
∴ AB = $\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=3$,故选 C.
2[中]《几何原本》中，记载了一种将长方形转化为等面积正方形的方法：如图，延长长方形ABCD的边AD到E，使$DE=DC$，以AE为直径作$\odot O$，延长CD交$\odot O$于点H，则$DH^2 = AD · DE$，则以DH为边的正方形DFGH的面积等于长方形ABCD的面积。若$OD=3$，点E是DF中点，则DC的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
（第2题图）
（第3题图）
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
（第2题图）
（第3题图）
答案
A 【解析】
∵ 四边形 DFGH 是正方形,
∴ DH = DF.
∵ 点 E 是 DF 中点,
∴ $DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}DH$. 设 DE = DC = x ( x ＞ 0 ), 则 DH = 2x.
∵ OD = 3,
∴ OE = OD + DE = 3+x,由同圆半径相等得 OA = OE = 3+x,
∴ AD = OA+OD = 6+x.
∵ $DH^2 = AD · DE$,
∴ $(2x)^2 = x(6+x)$,解得 x = 2 或 x = 0(舍去),则 DC = 2,故选 A.
∵ 四边形 DFGH 是正方形,
∴ DH = DF.
∵ 点 E 是 DF 中点,
∴ $DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}DH$. 设 DE = DC = x ( x ＞ 0 ), 则 DH = 2x.
∵ OD = 3,
∴ OE = OD + DE = 3+x,由同圆半径相等得 OA = OE = 3+x,
∴ AD = OA+OD = 6+x.
∵ $DH^2 = AD · DE$,
∴ $(2x)^2 = x(6+x)$,解得 x = 2 或 x = 0(舍去),则 DC = 2,故选 A.
3[2025江苏苏州期中,中]如图,已知P是$\odot O$外一点,Q是$\odot O$上的动点,线段PQ的中点为M,连结OP,OM.若$\odot O$的半径为4,OP=8,则线段OM的最小值是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A 【解析】设 OP 交⊙O 于点 N,连结 MN,OQ,如图
.∵ OP = 8,ON = 4,
∴ N 是 OP 的中点.
∵ M 是 PQ 的中点,N 是 OP 的中点,
∴ MN 为△POQ 的中位线,
∴ $MN=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}×4=2$,
∴ 点 M 在以 N 为圆心,2 为半径的圆上.
∵ 当点 M 在 ON 上时,OM 最小,
∴ 线段 OM 的最小值为 2. 故选 A.
4[2026浙江台州质检,中]若k是不等于1的任意实数,一次函数$y=\frac{(k+1)x - 3k +5}{k-1}$的图象始终与以点M(2,0)为圆心的圆有交点,则$\odot M$面积的最小值为
25π
.答案
25π 【解析】
∵ $y=\frac{(k+1)x-3k+5}{k-1}=\frac{k(x-3)+(x+5)}{k-1}=\frac{(k-1)(x-3)+x-3+x+5}{k-1}=x-3+\frac{2x+2}{k-1}$,
∴ 当 x = -1 时,y = -4,
∴ 一次函数 $y=\frac{(k+1)x-3k+5}{k-1}$ 的图象恒过定点(-1,-4). 设该定点为 P.
∵ 一次函数 $y=\frac{(k+1)x-3k+5}{k-1}$ 的图象始终与以点 M(2,0) 为圆心的圆有交点,
∴ 点 P 必在⊙M 上或者⊙M 内.
∵ 点 P 到圆心 M 的距离 $PM=\sqrt{(-1-2)^2+(-4-0)^2}=5$,
∴ ⊙M 半径的最小值为 5,
∴ ⊙M 面积的最小值为 $π×5^2=25π$. 故答案为 25π.
∵ $y=\frac{(k+1)x-3k+5}{k-1}=\frac{k(x-3)+(x+5)}{k-1}=\frac{(k-1)(x-3)+x-3+x+5}{k-1}=x-3+\frac{2x+2}{k-1}$,
∴ 当 x = -1 时,y = -4,
∴ 一次函数 $y=\frac{(k+1)x-3k+5}{k-1}$ 的图象恒过定点(-1,-4). 设该定点为 P.
∵ 一次函数 $y=\frac{(k+1)x-3k+5}{k-1}$ 的图象始终与以点 M(2,0) 为圆心的圆有交点,
∴ 点 P 必在⊙M 上或者⊙M 内.
∵ 点 P 到圆心 M 的距离 $PM=\sqrt{(-1-2)^2+(-4-0)^2}=5$,
∴ ⊙M 半径的最小值为 5,
∴ ⊙M 面积的最小值为 $π×5^2=25π$. 故答案为 25π.
5[2026上海杨浦区期末,中]如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=4,以点A为圆心,2为半径作圆,点D是圆A上一点,连结CD,点E是CD的中点,连结BE,则BE长度的取值范围是
$4≤BE≤6$
.答案
$4≤BE≤6$ 【解析】取 AC 的中点 M,连结 AD,ME,BM,如图
.∵ 点 E 是 CD 的中点,点 M 是 AC 的中点,AD=2,
∴ ME 是△ACD 的中位线,
∴ $ME// AD,ME=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2=1$,
∴ 当点 D 在圆 A 上时,点 E 始终在以 M 为圆心,1 为半径的圆上.
∵ 点 M 是 AC 的中点,
∴ $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$. 在 Rt△BCM 中, $BM=\sqrt{CM^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴ $BM-1≤BE≤BM+1$,即 $4≤BE≤6$. 故答案为 $4≤BE≤6$.
6[2026浙江温州质检,中]已知点A,B和线段a(如图).求作$\odot O$,使$\odot O$过点A,B,且半径为a.这样的圆能作几个？
刷素养 走向重高
刷素养 走向重高
答案
【解】如图
所示,⊙O 和⊙O'即为所求.这样的圆能作 2 个.
7 核心素养几何直观[较难]定义:在平面直角坐标系xOy中,点P为图形M上一点,点Q为图形N上一点.若存在OP=OQ,则称图形M与图形N关于原点O“平衡”.如图,已知⊙A是以(1,0)为圆心,2为半径的圆,点C(-1,0),D(-2,1),E(3,2).(1)在点C,D,E中,与⊙A关于原点O“平衡”的点是
C,D
;(2)点H为直线y=-x上一点,若点H与⊙A关于原点O“平衡”,求点H的横坐标的取值范围.答案
【解】(1)
∵ 点 C(-1,0),D(-2,1),E(3,2),
∴ OC=1,OD=$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,OE=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
∵ ⊙A 上的点到原点 O 的最小距离为 1,最大距离为 3,1=1,1＜$\sqrt{5}$＜3,$\sqrt{13}$＞3,
∴ 点 C,D 与⊙A 关于原点 O“平衡”,故答案为 C,D.
(2)若点 H 与⊙A 关于原点 O“平衡”,则 1 ≤ OH ≤ 3.
当 OH=1 时,
∵ 点 H 为直线 y=-x 上一点,
∴ 设点 H 坐标为(x,-x),则 $x^2+(-x)^2=1$,解得 $x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ 此时点 H 坐标为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$. 当 OH=3 时,同理可得点 H 坐标为 $(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$ 或 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2})$,
∴ 点 H 横坐标的取值范围是 $-\frac{3\sqrt{2}}{2}≤x≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤x≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
∵ 点 C(-1,0),D(-2,1),E(3,2),
∴ OC=1,OD=$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,OE=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
∵ ⊙A 上的点到原点 O 的最小距离为 1,最大距离为 3,1=1,1＜$\sqrt{5}$＜3,$\sqrt{13}$＞3,
∴ 点 C,D 与⊙A 关于原点 O“平衡”,故答案为 C,D.
(2)若点 H 与⊙A 关于原点 O“平衡”,则 1 ≤ OH ≤ 3.
当 OH=1 时,
∵ 点 H 为直线 y=-x 上一点,
∴ 设点 H 坐标为(x,-x),则 $x^2+(-x)^2=1$,解得 $x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ 此时点 H 坐标为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$. 当 OH=3 时,同理可得点 H 坐标为 $(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$ 或 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2})$,
∴ 点 H 横坐标的取值范围是 $-\frac{3\sqrt{2}}{2}≤x≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤x≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
