4. 定义:如果四边形的某条对角线平分一组对角,那么把这条对角线叫作“美妙线”,该四边形叫作“美妙四边形”.如图,在四边形ABDC中,对角线BC平分∠ACD和∠ABD,那么对角线BC叫作“美妙线”,四边形ABDC就称为“美妙四边形”.
问题:(1)下列四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形,其中是“美妙四边形”的有个;
(2)已知四边形ABCD是“美妙四边形”,AB=3+$\sqrt{3}$,∠BAD=60°,∠ABC=90°,求四边形ABCD的面积.(画出图形并写出解答过程)

4. (1)2
(2)①当 AC 是“美妙线”时,如图 1.
∵ $∠BAD=60°$,AC 平分$∠BAD$ 和$∠BCD$,
∴ $∠BAC=∠DAC=\frac{1}{2}∠BAD=30°,∠BCA=∠DCA$.
在$△ABC$中,$∠B=90°,∠BAC=30°,AB=3+\sqrt{3}$,
设 BC=x,则 AC=2x.
根据勾股定理,得$(2x)^2-x^2=(3+\sqrt{3})^2$.
解得$x=\sqrt{3}+1$,即$BC=\sqrt{3}+1$.
在$△ABC$和$△ADC$中,$\begin{cases} ∠BAC=∠DAC, \\ AC=AC, \\ ∠BCA=∠DCA, \end{cases}$
∴ $△ABC≌△ADC$.
∴ $S_{四边形ABCD}=2S_{△ABC}=2×\frac{1}{2}×(3+\sqrt{3})×(\sqrt{3}+1)=6+4\sqrt{3}$.
②当 BD 是“美妙线”时,如图 2,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H.
∵ $∠ABC=90°$,BD 平分$∠ABC$ 和$∠ADC$,
∴ $∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=45°,∠ADB=∠CDB$.
∵ DH⊥AB,
∴ $∠DHA=∠DHB=90°$.
∴ $∠BDH=45°$.
∴ $∠HBD=∠BDH$.
∴ BH=DH.
∵ $∠BAD=60°$,
∴ $∠ADH=30°$.
设 AH=a,则 AD=2a.
∴ $DH=BH=\sqrt{3}a$.
∴ $a+\sqrt{3}a=3+\sqrt{3}$.
∴ $a=\sqrt{3}$.
∴ DH=3.
在$△ABD$和$△CBD$中,$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
∴ $△ABD≌△CBD$.
∴ $S_{四边形ABCD}=2S_{△ABD}=2×\frac{1}{2}×3×(3+\sqrt{3})=9+3\sqrt{3}$.
综上所述,四边形 ABCD 的面积为 $6+4\sqrt{3}$ 或 $9+3\sqrt{3}$.

5. 综合与实践课上,老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动. 将直角∠MEN的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上(点E不与点A,C重合),其中直角边EM与BC交于点F,直角边EN与CD交于点G.

(1)发现:如图1,当EF与BC垂直时,EF (填“＞”“=”或“＜”)EG.
(2)探究:如图2,当EF与BC不垂直时,请判断EF与EG之间的数量关系是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请给出证明.

5. (1)=
(2)EF=EG 数量关系不变. 理由如下:
如图,过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,作 EQ⊥CD 于点 Q,
∴ $∠EPF=∠EQG=∠EQC=90°$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $∠BCD=90°$,CA 平分$∠BCD$.
∴ 四边形 EPCQ 是矩形,$∠ECP=∠ECQ=45°$.
∴ $EQ=PC,EP=QC,∠PEQ=90°,∠PEC=∠QEC=45°$.
∴ $△PEC$ 和$△QEC$ 都是等腰直角三角形.
∴ $EQ=QC=EP=PC$.
∵ $∠PEQ-∠FEQ=∠FEG-∠FEQ$,
∴ $∠PEF=∠QEG$.
在$△EPF$ 和$△EQG$ 中,
$\begin{cases} ∠PEF=∠QEG, \\ EP=EQ, \\ ∠EPF=∠EQG, \end{cases}$
∴ $△EPF≌△EQG(\mathrm{ASA})$.
∴ EF=EG.