1. (大庆中考改编)如图,已知在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC与CD上的点,且∠EAF=45°,AE与AF分别交对角线BD于点M,N,则下列结论:①∠BAE+∠DAF=45°;②∠AEB=∠AEF=∠ANM;③BM²+DN²=MN²;④BE+DF=EF.正确的是.(填序号)

①②③④
解析:如图①,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,则BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF,∠ABH=∠ADF=90°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABH+∠ABC=180°,
∴ H,B,E三点共线.
∵ ∠EAF=45°,
∴ ∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°,故①正确;
∵ AH=AF,∠EAH=∠EAF,AE=AE,
∴ △AEH≌△AEF(SAS),
∴ EH=EF,∠AEH=∠AEF,
∴ ∠AEB=∠AEF,
∴ BE+BH=BE+DF=EF,故④正确;
∵ ∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN,∠AEB=90°-∠BAE=90°-(45°-∠DAN)=45°+∠DAN,
∴ ∠ANM=∠AEB=∠AEF,故②正确;如图②,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,连接GM,同理得△ANM≌△AGM,
∴ MN=GM.由条件可得∠GBM=90°,
∴ MN² = MG²=BG²+BM²=DN²+BM²,故③正确.故正确的是①②③④.

2.（湘西州中考改编）问题背景：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC于点E，F.探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系.
小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是.
探究延伸：如图②，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC于点E，F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.
实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.
之间的距离.

问题背景:EF=AE+CF
探究延伸:上述结论仍然成立,即EF=AE+CF,理由:如图①,延长 DC 到 H,使得 CH = AE,连接 BH.
∵ ∠BAD + ∠BCD = 180°, ∠BCH + ∠BCD = 180°,
∴ ∠BCH = ∠BAE.
∵ BC=BA,CH=AE,
∴ △BCH≌△BAE(SAS),
∴ BE=BH.∠ABE=∠HBC,
∴ ∠HBE=∠ABC.又
∵ ∠ABC=2∠MBN,
∴ ∠HBE= 2∠MBN,
∴ ∠EBF = ∠HBF.
∵ BF = BF,
∴ △EBF≌△HBF(SAS),
∴ EF=HF=HC+CF=AE+CF.

实际应用:如图②,连接 EF,延长 BF 交 AE 的延长线于点 G,
∵ 舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30°的 A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处,
∴ ∠AOB=140°.
∵ 指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 70°,
∴ ∠EOF = 70°,
∴ ∠AOB=2∠EOF.依题意得 OA = OB,∠A = 60°,∠B = 120°,
∴ ∠A+∠B=180°,因此本题的实际应用可转化为如下的数学问题:在四边形 GAOB 中,OA = OB,∠A + ∠B = 180°,∠AOB=2∠EOF,∠EOF 的两边分别交 AG,BG 于点 E,F,求 EF 的长.根据探究延伸的结论可得 EF=AE+BF,根据题意得,AE=75×1.2=90(海里),BF=100×1.2=120(海里),
∴ EF=90+120=210(海里).故此时两舰艇之间的距离为210海里.

3. (德州中考)如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB,BC于D,E两点,连接DE,给出下列四个结论:①$OD = OE$;②$S_{△ ODE}=S_{△ BDE}$;③四边形ODBE的面积始终等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是


A.1
B.2
C.3
D.4

C
解析:如图,连接 OB,OC,
∵ 点 O 是等边三角形 ABC 的中心,
∴ OB=OC,BO,CO 分别平分∠ABC 和 ∠ACB,
∴ ∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°,
∴ ∠BOC=120°=∠BOE+∠COE.
∵ ∠DOE=120°=∠BOE+∠BOD,
∴ ∠BOD=∠COE. 易证 △BOD≌△COE(ASA),
∴ BD=CE,OD=OE,故①正确. 由全等得$S_{△BOD}=S_{△COE}$,
∴ 四边形 ODBE 的面积=$S_{△OBC}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,故③正确.作 OH⊥DE 于点 H,则 DH=EH.
∵ ∠DOE=120°,
∴ ∠ODE=∠OEH=30°,
∴ $OH=\frac{1}{2}OE$,$HE=\sqrt{3}OH=\frac{\sqrt{3}}{2}OE$,
∴ $DE=\sqrt{3}OE$,
∴ $S_{△ODE}=\frac{\sqrt{3}}{4}OE^2$,
∴ $S_{△ODE}$ 随 OE 的变化而变化,而四边形 ODBE 的面积为定值,
∴ $S_{△ODE}$ 与 $S_{△BDE}$ 不一定相等,②错误.
∵ BD=CE,
∴ △BDE 的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=$4+\sqrt{3}OE$,当 OE⊥BC 时,OE 最小,△BDE 的周长最小,此时 $OE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴ △BDE 周长的最小值为6,故④正确.故选 C.

4. 如图,点 P 是$∠ MON$ 的平分线上的一点,$∠ APB$ 分别交直线 $OM$, $ON$ 于点 $A$, $B$,$∠ APB=120°$, $∠ MON=60°$.

(1)若$OA=3$,$OB=6$,则$OP=$;
(2)当点$A$在射线$OM$的反向延长线上时,如图②,则$OA$,$OB$,$OP$之间的数量关系为.

(1) $3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
解析:分两种情况:①当点 A 在点 O 的右侧时,如图①,过点 P 作 PG⊥OB 于点 G,PH⊥OM 于点 H.设 AH=x,
∵ OP 平分∠MON,
∴ PG=PH.
∵ ∠MON=60°,∠OGP=∠OHP=90°,
∴ ∠GPH=∠APB=120°,
∴ ∠BPG=∠APH.又
∵ ∠PGB=∠PHA,
∴ △BGP≌△AHP(ASA),
∴ BG=AH=x.
∵ ∠GOP=∠HOP,∠OGP=∠OHP,OP=OP,
∴ △GOP≌△HOP(AAS),
∴ OG=OH=x+3.
∵ OB=6,
∴ 2x+3=6,$x=\frac{3}{2}$,
∴ $AH=\frac{3}{2}$,
∴ $OH=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$.
∵ ∠POA=30°,
∴ $PH=\frac{1}{2}OP$,
∴ $(\frac{1}{2}OP)^2+OH^2=OP^2$,解得 $OP=3\sqrt{3}$(负值已舍去).②当点 A 在点 O 的左侧时,如图②,过点 P 作 PG⊥ON 于点 G,PH⊥OM 于点 H,设 AH=x,同理得△APH≌△BPG,
∴ AH=BG=x,
∴ OH=OG=x-3.
∵ OB=6,即 2x-3=6,$x=\frac{9}{2}$,
∴ $OG=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$.
∵ ∠POG=30°,
∴ $PG=\frac{1}{2}OP$,
∴ $(\frac{1}{2}OP)^2+OG^2=OP^2$,解得 $OP=\sqrt{3}$(负值已舍去).综上,OP 的值为 $3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$.
(2) $OB=OA+\sqrt{3}OP$

归纳总结
(1)对角互补模型——双 90°型：
OC 平分∠AOB,∠AOB=∠DCE=90°,如图①②.

图①的结论:①CD=CE;②$OE + OD =\sqrt{2}OC$;③$S_{△COE}+S_{△COD}=\frac{1}{2}OC^2$.
图②的结论:①CD=CE;②$OE-OD=\sqrt{2}OC$;③$S_{△COE}-S_{△COD}=\frac{1}{2}OC^2$.
(2)对角互补模型—— 60°和 120°型：
OC 平分∠AOB,∠AOB=120°,∠DCE=60°,如图③④.

图③的结论:①CD=CE;②OE + OD = OC;③$S_{△COE}+S_{△COD}=\frac{\sqrt{3}}{4}OC^2$.
图④的结论:①CD=CE;②OE-OD=OC;③$S_{△COE}-S_{△COD}=\frac{\sqrt{3}}{4}OC^2$.