5. (1) 如图①,等边三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP,若$∠ BPC=150°$,$BP=3$,$AP=5$,则$CP=$.

(2)(泰安模拟)如图②,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为$2\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$,$4$,则正方形ABCD的面积为.

(1) 4
解析:如图①,将△BCP绕点 C 顺时针旋转 60°得到△ACP',由旋转的性质得 BP=AP'=3,∠AP'C=∠BPC=150°,PC=P'C,
∴ △PCP'是等边三角形,
∴ ∠PP'C=60°,
∴ ∠AP'P=∠AP'C-∠PP'C=150°-60°=90°.在 Rt△APP' 中,根据勾股定理,得 $PP'=\sqrt{AP^2-AP'^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵ △PCP'是等边三角形,
∴ CP=PP'=4.

(2) $14+4\sqrt{3}$
解析:如图②,将△ABP绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBM,连接 PM,过点 B 作 BH⊥PM 于点 H.
∵ BP=BM=$\sqrt{2}$,∠PBM=90°,
∴ PM=2,△PBM 为等腰直角三角形.
∵ PC=4,PA=CM=$2\sqrt{3}$,
∴ $PC^2=CM^2+PM^2$,
∴ ∠PMC=90°.
∵ ∠BPM=∠BMP=45°,
∴ ∠CMB=∠APB=135°,
∴ ∠APB+∠BPM=180°,
∴ A,P,M 三点共线.
∵ BH⊥PM,
∴ PH=HM,
∴ BH=PH=HM=1,
∴ AH=$2\sqrt{3}+1$,
∴ $AB^2=AH^2+BH^2=(2\sqrt{3}+1)^2+1^2=14+4\sqrt{3}$,
∴ 正方形 ABCD 的面积为 $14+4\sqrt{3}$.

6. (随州中考)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时,
如图,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP'.
由PC = P'C,∠PCP' = 60°,可知△PCP'为①三角形,故PP' = PC,又P'A' = PA,故PA+PB+PC = P'A'+PB+PP' ≥ A'B.
由②可知,当点B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图,最小值为A'B的长,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有∠APC = ∠BPC = ∠APB = ③.
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为④点.
(2)如图,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值.
(3)如图,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4 km,BC=2√3 km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/km,√2 a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含a的式子表示)

(1)①等边 ②两点之间线段最短 ③120° ④A
(2)如图①,将△APC绕点 C 顺时针旋转 60°得到△A'P'C,连接 PP',A'B,由(1)可知当点 B,P,P',A'在同一条直线上时,PA+PB+PC 取最小值,最小值为 A'B 的长.
∵ ∠ACP=∠A'CP',
∴ ∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°,又
∵ ∠PCP'=60°,
∴ ∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°,由旋转性质可知 AC=A'C=3,
∴ $A'B=\sqrt{BC^2+A'C^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴ PA+PB+PC 的最小值为 5.

(3) $2\sqrt{13}a$
解析:
∵ 总的铺设成本 = PA·a + PB·a + PC·$\sqrt{2}$a = a(PA+PB+$\sqrt{2}$PC),
∴ 当 PA+PB+$\sqrt{2}$PC 最小时,总的铺设成本最低,如图②,将△APC绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'P'C,连接 PP',A'B,由旋转性质可知 P'C = PC,∠PCP'=∠ACA'=90°,P'A' = PA,A'C = AC = 4 km,
∴ PP'=$\sqrt{2}PC$,
∴ PA+PB+$\sqrt{2}PC$ = P'A'+PB+PP',当点 B,P,P',A'在同一条直线上时,P'A'+PB+PP'取最小值,即 PA+PB+$\sqrt{2}PC$ 取最小值为 A'B 的长,过点 A'作 A'H⊥BC,交 BC 的延长线于 H,
∵ ∠ACB=60°,∠ACA'=90°,
∴ ∠A'CH=30°,
∴ A'H=$\frac{1}{2}A'C$=2 km,
∴ $HC=\sqrt{A'C^2-A'H^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$(km),
∴ $BH=BC+CH=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$( km ),
∴ $A'B=\sqrt{A'H^2+BH^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}$( km ),即 PA+PB+$\sqrt{2}PC$ 的最小值为 $2\sqrt{13}$ km,总的铺设成本 = PA·a+PB·a+PC·$\sqrt{2}a$=a(PA+PB+$\sqrt{2}PC$)=$2\sqrt{13}a$(元).
归纳总结
(1)费马点的定义:平面上到一个三角形的三个顶点 A,B,C 距离之和最小的点,称为△ABC 的费马点.
(2)费马点的确定:①如果△ABC 有一个内角大于或等于120°,那么这个内角的顶点就是费马点;②如果△ABC 的内角均小于 120°,在△ABC 内取一点 P,使 ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°,那么点 P 即为费马点.
(3)费马点的模型图:①如图,分别以△ABC 中的 AB,AC 为边,作等边△ABD,等边△ACE;②连接 CD,BE,即有一组“手拉手”全等:△ADC≌△ABE;③记CD,BE 交点为 P,点 P 即为费马点,且PA+PB+PC = BE = DC;④以 BC 为边作等边△BCF,连接 AF,必过点 P,且 ∠APB = ∠BPC = ∠CPA =120°.