登录
1 父子俩在同一单位工作，父亲从家步行到单位需用 30 min，儿子只需用 20 min. 若父亲比儿子早出发 5 min，则儿子追上父亲需要
10
min.答案
10
解析
【分析】
这是一道行程类的追及问题，题目未给出家到单位的具体路程，我们可以先把总路程看作单位“1”，先分别算出父亲和儿子的步行速度。追及问题的核心等量关系是：儿子追上父亲时，两人走的路程相等。父亲比儿子早出发5分钟，所以父亲步行的总时间=儿子追及的时间+5分钟，我们设追及时间为未知数，根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设儿子追上父亲需要$x \ \mathrm{min}$，把家到单位的总路程看作单位“1”。
则父亲的步行速度为$\frac{1}{30}$（单位路程/分钟），儿子的步行速度为$\frac{1}{20}$（单位路程/分钟）。
儿子追上父亲时，两人走过的路程相等，可列方程：
$\frac{1}{20}x = \frac{1}{30}(x+5)$
方程两边同时乘60消去分母，得：
$3x = 2(x+5)$
去括号得：
$3x = 2x + 10$
移项解得：
$x = 10$
验证：$x=10$时，儿子走的路程为$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，父亲走的总时间为$10+5=15\ \mathrm{min}$，路程为$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，二者路程相等，符合题意。
【答案】
10
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题
【点评】
本题是典型的追及类行程应用题，未给出具体路程时可将总路程设为单位“1”简化计算，解题关键是找到“追及时两人路程相等”的等量关系，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的追及问题，题目未给出家到单位的具体路程，我们可以先把总路程看作单位“1”，先分别算出父亲和儿子的步行速度。追及问题的核心等量关系是：儿子追上父亲时，两人走的路程相等。父亲比儿子早出发5分钟，所以父亲步行的总时间=儿子追及的时间+5分钟，我们设追及时间为未知数，根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设儿子追上父亲需要$x \ \mathrm{min}$，把家到单位的总路程看作单位“1”。
则父亲的步行速度为$\frac{1}{30}$（单位路程/分钟），儿子的步行速度为$\frac{1}{20}$（单位路程/分钟）。
儿子追上父亲时，两人走过的路程相等，可列方程：
$\frac{1}{20}x = \frac{1}{30}(x+5)$
方程两边同时乘60消去分母，得：
$3x = 2(x+5)$
去括号得：
$3x = 2x + 10$
移项解得：
$x = 10$
验证：$x=10$时，儿子走的路程为$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，父亲走的总时间为$10+5=15\ \mathrm{min}$，路程为$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，二者路程相等，符合题意。
【答案】
10
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题
【点评】
本题是典型的追及类行程应用题，未给出具体路程时可将总路程设为单位“1”简化计算，解题关键是找到“追及时两人路程相等”的等量关系，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
2 甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,沿同一条路线匀速相向行驶.已知出发后4 h两人相遇,甲的速度比乙快30 km/h,相遇后甲再经1 h到达B地.
（1）甲、乙两人的速度分别是多少?
（2）甲、乙两人分别从A,B两地同时出发后,经过多长时间两人相距50 km?
（1）甲、乙两人的速度分别是多少?
（2）甲、乙两人分别从A,B两地同时出发后,经过多长时间两人相距50 km?
答案
(1) 设甲的速度为 x km/h,则乙的速度为(x-30)km/h. 由题意,得 4x+4(x-30)=(4+1)x,解得 x=40,则 x-30=10. 所以甲的速度是 40 km/h,乙的速度是 10 km/h
(2) 设经过 t h 两人相距 50 km. ① 当相遇前相距 50 km 时,可得 40t+10t+50=5×40,解得 t=3;② 当相遇后相距 50 km 时,可得 40t+10t=5×40+50,解得 t=5.综上所述,经过 3 h 或 5 h 两人相距 50 km
(2) 设经过 t h 两人相距 50 km. ① 当相遇前相距 50 km 时,可得 40t+10t+50=5×40,解得 t=3;② 当相遇后相距 50 km 时,可得 40t+10t=5×40+50,解得 t=5.综上所述,经过 3 h 或 5 h 两人相距 50 km
解析
【分析】
（1）本题属于行程中的相遇问题，核心等量关系为A、B两地总路程不变。已知甲的速度比乙快30km/h，可设甲的速度为x km/h，则乙的速度为(x-30)km/h。两人相向行驶4小时相遇，总路程等于两人4小时行驶的路程之和；又相遇后甲再走1小时到达B地，说明甲走完全程共耗时5小时，总路程也等于甲的速度乘5，据此列方程即可求解。
（2）求两人相距50km的时间需分两种情况讨论：①相遇前相距50km，此时两人行驶的路程和加50km等于总路程；②相遇后错开相距50km，此时两人行驶的路程和等于总路程加50km，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设甲的速度为x km/h，则乙的速度为(x-30)km/h。
根据总路程相等列方程：
$4x+4(x-30)=(4+1)x$
展开得：$4x+4x-120=5x$
移项合并同类项得：$3x=120$
解得$x=40$
则乙的速度为$x-30=40-30=10$（km/h）
(2) 先算A、B两地总路程：$5×40=200$（km）
设经过t h两人相距50 km，分两种情况：
① 相遇前相距50 km：
$40t+10t+50=200$
合并得$50t=150$，解得$t=3$
② 相遇后相距50 km：
$40t+10t=200+50$
合并得$50t=250$，解得$t=5$
两种情况均符合题意。
【答案】
(1) 甲的速度是40 km/h,乙的速度是10 km/h
(2) 经过3 h或5 h两人相距50 km
【知识点】
一元一次方程应用、相向行程问题、分类讨论思想
【点评】
本题是行程类应用题的典型题型，第一问解题核心是抓住总路程不变的等量关系建立方程，第二问需要考虑相距50km的两种不同场景，避免漏解，能有效考察学生的方程应用能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.65
（1）本题属于行程中的相遇问题，核心等量关系为A、B两地总路程不变。已知甲的速度比乙快30km/h，可设甲的速度为x km/h，则乙的速度为(x-30)km/h。两人相向行驶4小时相遇，总路程等于两人4小时行驶的路程之和；又相遇后甲再走1小时到达B地，说明甲走完全程共耗时5小时，总路程也等于甲的速度乘5，据此列方程即可求解。
（2）求两人相距50km的时间需分两种情况讨论：①相遇前相距50km，此时两人行驶的路程和加50km等于总路程；②相遇后错开相距50km，此时两人行驶的路程和等于总路程加50km，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设甲的速度为x km/h，则乙的速度为(x-30)km/h。
根据总路程相等列方程：
$4x+4(x-30)=(4+1)x$
展开得：$4x+4x-120=5x$
移项合并同类项得：$3x=120$
解得$x=40$
则乙的速度为$x-30=40-30=10$（km/h）
(2) 先算A、B两地总路程：$5×40=200$（km）
设经过t h两人相距50 km，分两种情况：
① 相遇前相距50 km：
$40t+10t+50=200$
合并得$50t=150$，解得$t=3$
② 相遇后相距50 km：
$40t+10t=200+50$
合并得$50t=250$，解得$t=5$
两种情况均符合题意。
【答案】
(1) 甲的速度是40 km/h,乙的速度是10 km/h
(2) 经过3 h或5 h两人相距50 km
【知识点】
一元一次方程应用、相向行程问题、分类讨论思想
【点评】
本题是行程类应用题的典型题型，第一问解题核心是抓住总路程不变的等量关系建立方程，第二问需要考虑相距50km的两种不同场景，避免漏解，能有效考察学生的方程应用能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.65
3 教材 P148 复习题 T10 变式 某公园内有一条全长为 3 250 m 的墨绿色塑胶跑道(跑道首尾相连),环绕全园,深受跑步爱好者的喜爱.周日,小王和爸爸去该公园这条墨绿色塑胶跑道上进行慢走,已知小王的速度为 90 m/min,爸爸的速度为 60 m/min.
(1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发,沿相反方向慢走,那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇?
(2)如果小王和爸爸从同一起点出发,爸爸先走 10 min,然后小王沿相同方向慢走.
① 小王用多长时间能追上爸爸?
② 在爸爸首次回到起点前,当小王和爸爸之间的路程相距 300 m 时,请直接写出此时小王出发了多长时间.
(1)如果小王和爸爸从同一起点同时出发,沿相反方向慢走,那么小王慢走后多长时间与爸爸首次相遇?
(2)如果小王和爸爸从同一起点出发,爸爸先走 10 min,然后小王沿相同方向慢走.
① 小王用多长时间能追上爸爸?
② 在爸爸首次回到起点前,当小王和爸爸之间的路程相距 300 m 时,请直接写出此时小王出发了多长时间.
答案
(1) 设小王慢走 x min 后与爸爸首次相遇. 根据题意,得 90x+60x=3 250,解得 x=65/3. 所以小王慢走65/3 min 后与爸爸首次相遇
(2) ① 设小王用 y min 能追上爸爸. 根据题意,得 90y=60(y+10),解得 y=20. 所以小王用 20 min 能追上爸爸
② 设小王的出发时间为 z min. 根据题意,得 90z+300=60(z+10)或 90z=60(z+10)+300,解得 z=10 或 z=30. 所以此时小王出发了 10 min 或 30 min
(2) ① 设小王用 y min 能追上爸爸. 根据题意,得 90y=60(y+10),解得 y=20. 所以小王用 20 min 能追上爸爸
② 设小王的出发时间为 z min. 根据题意,得 90z+300=60(z+10)或 90z=60(z+10)+300,解得 z=10 或 z=30. 所以此时小王出发了 10 min 或 30 min
解析
【分析】
(1) 两人沿相反方向慢走，属于环形跑道相遇问题，首次相遇时两人的路程之和等于跑道全长，我们设相遇时间为未知数，根据路程和的等量关系列一元一次方程即可求解。
(2) ① 两人沿相同方向行走，属于追及问题，小王追上爸爸时两人走的路程相等，爸爸比小王早出发10分钟，设小王的追及时间为未知数，根据两人路程相等的等量关系列方程求解。
② 两人相距300m需分两种情况讨论：一是小王还未追上爸爸，此时爸爸的总路程比小王多300m；二是小王追上爸爸后，超过爸爸300m，分别根据两种情况的等量关系列方程，再验证解是否满足“爸爸首次回到起点前”的条件即可。
【解析】
(1) 设小王慢走$ x $ min后与爸爸首次相遇。
根据反向相遇时路程和等于跑道总长，列方程：
$ 90x + 60x = 3250 $
合并同类项得：$ 150x = 3250 $
解得：$ x = \frac{65}{3} $
(2) ① 设小王用$ y $ min能追上爸爸。
小王追上爸爸时两人路程相等，爸爸的总行走时间为$ (y+10) $ min，列方程：
$ 90y = 60(y + 10) $
去括号得：$ 90y = 60y + 600 $
移项合并得：$ 30y = 600 $
解得：$ y = 20 $
② 设小王出发了$ z $ min，分两种情况：
情况1：小王未追上爸爸，两人相距300m，此时爸爸路程比小王多300m：
$ 60(z + 10) - 90z = 300 $
解得：$ z = 10 $
情况2：小王追上爸爸后超过300m，此时小王路程比爸爸多300m：
$ 90z - 60(z + 10) = 300 $
解得：$ z = 30 $
验证：爸爸走一圈需要的时间约为$ 54.2 $ min，两种情况爸爸的总行走时间分别为20min、40min，均小于54.2min，符合条件。
【答案】
(1) 小王慢走$\frac{65}{3}$ min后与爸爸首次相遇
(2) ① 小王用20 min能追上爸爸；② 此时小王出发了10 min或30 min
【知识点】
一元一次方程的应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题结合环形跑道的实际场景，考查行程类问题的一元一次方程应用，需要准确掌握相遇、追及场景下的等量关系，涉及相距固定距离的情况时要注意分类讨论，避免漏解，同时要注意验证解是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.7
(1) 两人沿相反方向慢走，属于环形跑道相遇问题，首次相遇时两人的路程之和等于跑道全长，我们设相遇时间为未知数，根据路程和的等量关系列一元一次方程即可求解。
(2) ① 两人沿相同方向行走，属于追及问题，小王追上爸爸时两人走的路程相等，爸爸比小王早出发10分钟，设小王的追及时间为未知数，根据两人路程相等的等量关系列方程求解。
② 两人相距300m需分两种情况讨论：一是小王还未追上爸爸，此时爸爸的总路程比小王多300m；二是小王追上爸爸后，超过爸爸300m，分别根据两种情况的等量关系列方程，再验证解是否满足“爸爸首次回到起点前”的条件即可。
【解析】
(1) 设小王慢走$ x $ min后与爸爸首次相遇。
根据反向相遇时路程和等于跑道总长，列方程：
$ 90x + 60x = 3250 $
合并同类项得：$ 150x = 3250 $
解得：$ x = \frac{65}{3} $
(2) ① 设小王用$ y $ min能追上爸爸。
小王追上爸爸时两人路程相等，爸爸的总行走时间为$ (y+10) $ min，列方程：
$ 90y = 60(y + 10) $
去括号得：$ 90y = 60y + 600 $
移项合并得：$ 30y = 600 $
解得：$ y = 20 $
② 设小王出发了$ z $ min，分两种情况：
情况1：小王未追上爸爸，两人相距300m，此时爸爸路程比小王多300m：
$ 60(z + 10) - 90z = 300 $
解得：$ z = 10 $
情况2：小王追上爸爸后超过300m，此时小王路程比爸爸多300m：
$ 90z - 60(z + 10) = 300 $
解得：$ z = 30 $
验证：爸爸走一圈需要的时间约为$ 54.2 $ min，两种情况爸爸的总行走时间分别为20min、40min，均小于54.2min，符合条件。
【答案】
(1) 小王慢走$\frac{65}{3}$ min后与爸爸首次相遇
(2) ① 小王用20 min能追上爸爸；② 此时小王出发了10 min或30 min
【知识点】
一元一次方程的应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题结合环形跑道的实际场景，考查行程类问题的一元一次方程应用，需要准确掌握相遇、追及场景下的等量关系，涉及相距固定距离的情况时要注意分类讨论，避免漏解，同时要注意验证解是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.7
4 如图，点M，N均在数轴上，点M所表示的数是－3，点N在点M的右侧，且距点M4个单位长度，P，Q是数轴上的两个动点.
（1）求出点N所表示的数；
（2）若点P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，点P先出发5 s后点Q出发，当P，Q两点相距2个单位长度时，请直接写出此时点P，Q分别所表示的数.
（1）求出点N所表示的数；
（2）若点P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，点P先出发5 s后点Q出发，当P，Q两点相距2个单位长度时，请直接写出此时点P，Q分别所表示的数.
答案
(1) 因为点 M 表示的数是-3,点 N 在点 M 的右侧且距点 M 4个单位长度,所以点 N 所表示的数为-3+4=1
(2) 点 P 从点 M 向左移动 5 s 后所表示的数为-3-2×5=-13. 设点 Q 移动的时间为 t s,则点 P 所表示的数为-13-2t,点 Q 所表示的数为 1-3t. ① 当点 Q 在点 P 的右侧时,有(1-3t)-(-13-2t)=2,解得 t=12,此时点 P 所表示的数为-13-2×12=-37,点 Q 所表示的数为 1-3×12=-35. ② 当点 Q 在点 P 的左侧时,有(-13-2t)-(1-3t)=2,解得 t=16,此时点 P 所表示的数为-13-2×16=-45,点 Q 所表示的数为 1-3×16=-47. 所以当 P,Q 两点相距 2 个单位长度时,点 P,Q 所表示的数分别为-37,-35 或-45,-47
(2) 点 P 从点 M 向左移动 5 s 后所表示的数为-3-2×5=-13. 设点 Q 移动的时间为 t s,则点 P 所表示的数为-13-2t,点 Q 所表示的数为 1-3t. ① 当点 Q 在点 P 的右侧时,有(1-3t)-(-13-2t)=2,解得 t=12,此时点 P 所表示的数为-13-2×12=-37,点 Q 所表示的数为 1-3×12=-35. ② 当点 Q 在点 P 的左侧时,有(-13-2t)-(1-3t)=2,解得 t=16,此时点 P 所表示的数为-13-2×16=-45,点 Q 所表示的数为 1-3×16=-47. 所以当 P,Q 两点相距 2 个单位长度时,点 P,Q 所表示的数分别为-37,-35 或-45,-47
解析
【分析】
（1）根据数轴的特征，数轴上右侧的数大于左侧的数，已知点M表示的数和MN的距离，用点M表示的数加两点间距即可求出点N表示的数。
（2）解决动点问题首先要明确动点的起点、运动方向和速度，先算出点P先出发5秒后的位置，再设点Q的运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出t秒后P、Q对应的数；两点相距2个单位长度需分两种情况讨论：①点Q在点P右侧时，Q对应数减P对应数等于2；②点Q在点P左侧时，P对应数减Q对应数等于2，分别列一元一次方程求解，再代入代数式得到两点对应的数即可。
【解析】
（1）已知点M表示的数是-3，点N在点M右侧，且距点M4个单位长度，因此点N表示的数为：
$-3 + 4 = 1$
（2）点P先从点M出发向左运动5秒，每秒运动2个单位长度，此时点P对应的数为：
$-3 - 2×5 = -13$
设点Q运动的时间为$t$秒，则$t$秒后：
点P对应的数为$-13 - 2t$，点Q对应的数为$1 - 3t$
分两种情况讨论：
① 当点Q在点P右侧时，两点相距2个单位长度，列方程：
$(1 - 3t) - (-13 - 2t) = 2$
化简得$14 - t = 2$，解得$t = 12$
此时点P对应的数：$-13 - 2×12 = -37$，点Q对应的数：$1 - 3×12 = -35$
② 当点Q在点P左侧时，两点相距2个单位长度，列方程：
$(-13 - 2t) - (1 - 3t) = 2$
化简得$t - 14 = 2$，解得$t = 16$
此时点P对应的数：$-13 - 2×16 = -45$，点Q对应的数：$1 - 3×16 = -47$
【答案】
（1）$\boxed{1}$
（2）$\boxed{-37}$和$\boxed{-35}$或$\boxed{-45}$和$\boxed{-47}$
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程的应用；数轴两点距离计算
【点评】
本题是数轴动点的典型题型，解题核心是用含运动时间的代数式准确表示动点对应的数，需注意两点相距固定长度时，要分未追上和超过两种位置情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）根据数轴的特征，数轴上右侧的数大于左侧的数，已知点M表示的数和MN的距离，用点M表示的数加两点间距即可求出点N表示的数。
（2）解决动点问题首先要明确动点的起点、运动方向和速度，先算出点P先出发5秒后的位置，再设点Q的运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出t秒后P、Q对应的数；两点相距2个单位长度需分两种情况讨论：①点Q在点P右侧时，Q对应数减P对应数等于2；②点Q在点P左侧时，P对应数减Q对应数等于2，分别列一元一次方程求解，再代入代数式得到两点对应的数即可。
【解析】
（1）已知点M表示的数是-3，点N在点M右侧，且距点M4个单位长度，因此点N表示的数为：
$-3 + 4 = 1$
（2）点P先从点M出发向左运动5秒，每秒运动2个单位长度，此时点P对应的数为：
$-3 - 2×5 = -13$
设点Q运动的时间为$t$秒，则$t$秒后：
点P对应的数为$-13 - 2t$，点Q对应的数为$1 - 3t$
分两种情况讨论：
① 当点Q在点P右侧时，两点相距2个单位长度，列方程：
$(1 - 3t) - (-13 - 2t) = 2$
化简得$14 - t = 2$，解得$t = 12$
此时点P对应的数：$-13 - 2×12 = -37$，点Q对应的数：$1 - 3×12 = -35$
② 当点Q在点P左侧时，两点相距2个单位长度，列方程：
$(-13 - 2t) - (1 - 3t) = 2$
化简得$t - 14 = 2$，解得$t = 16$
此时点P对应的数：$-13 - 2×16 = -45$，点Q对应的数：$1 - 3×16 = -47$
【答案】
（1）$\boxed{1}$
（2）$\boxed{-37}$和$\boxed{-35}$或$\boxed{-45}$和$\boxed{-47}$
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程的应用；数轴两点距离计算
【点评】
本题是数轴动点的典型题型，解题核心是用含运动时间的代数式准确表示动点对应的数，需注意两点相距固定长度时，要分未追上和超过两种位置情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
