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5 有这样一道题:“悟空顺风探妖踪,千里只用五分钟;归时五分行六百,试问风速是多少?”其大意如下:孙悟空追寻妖精的行踪,去时顺风,1 000 里(里:市制长度单位)只用了5分钟;回来时逆风,5分钟只走了600里,问:风速是多少?这道题中的风速是
40
里/分.答案
40
解析
【分析】这是顺风逆风类的行程问题，解题核心是明确速度关系：顺风实际速度=悟空无风时的飞行速度+风速，逆风实际速度=悟空无风时的飞行速度-风速。我们可以先根据“速度=路程÷时间”分别算出顺风、逆风的实际速度，再抓住“悟空无风时的飞行速度不变”这一等量关系，设风速为未知数列一元一次方程求解。
【解析】首先计算顺风和逆风的实际速度：
顺风速度：$1000÷5=200$（里/分）
逆风速度：$600÷5=120$（里/分）
设风速为$x$里/分，根据悟空无风时速度不变可列方程：
$200 - x = 120 + x$
移项得：$2x=200-120$
计算得：$2x=80$
解得：$x=40$
【答案】40
【知识点】一元一次方程应用；顺风逆风行程问题；路程速度时间关系
【点评】本题属于经典的特殊行程类应用题，解题关键是找准不变量作为等量关系列方程，只要掌握行程基本公式和顺风、逆风场景下的速度组成，就能顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算顺风和逆风的实际速度：
顺风速度：$1000÷5=200$（里/分）
逆风速度：$600÷5=120$（里/分）
设风速为$x$里/分，根据悟空无风时速度不变可列方程：
$200 - x = 120 + x$
移项得：$2x=200-120$
计算得：$2x=80$
解得：$x=40$
【答案】40
【知识点】一元一次方程应用；顺风逆风行程问题；路程速度时间关系
【点评】本题属于经典的特殊行程类应用题，解题关键是找准不变量作为等量关系列方程，只要掌握行程基本公式和顺风、逆风场景下的速度组成，就能顺利求解。
【难度系数】0.7
6 一题多解 一艘轮船航行于甲、乙两地之间，顺水用3小时，逆水用的时间比顺水多30分钟，已知船在静水中的速度是每小时26千米，求甲、乙两地间的距离。
答案
解法一:设水的速度为每小时 x 千米. 30 分钟=0.5 小时. 由题意,得 3(26+x)=(3+0.5)(26-x),解得 x=2,则 3(x+26)=3×(2+26)=84. 所以甲、乙两地间的距离为 84 千米
解法二:设甲、乙两地间的距离为 x 千米. 由题意,得 x/3 -26=26 - x/3.5,解得 x=84. 所以甲、乙两地间的距离为 84 千米
解法二:设甲、乙两地间的距离为 x 千米. 由题意,得 x/3 -26=26 - x/3.5,解得 x=84. 所以甲、乙两地间的距离为 84 千米
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题核心要明确两个基本关系：①顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；②甲、乙两地距离固定、水流速度固定。解题有两种常见思路：思路一：间接设元，先设水流速度为未知数，根据“顺水行驶路程=逆水行驶路程”列方程，求出水速后再计算两地距离；思路二：直接设元，设两地距离为未知数，根据“水流速度不变”列等量关系，直接求解距离。解题前先统一单位，将30分钟换算为0.5小时，可得逆水行驶总时长为3.5小时。
【解析】
解法一：设水流的速度为每小时$x$千米。
单位换算：$30$分钟$=0.5$小时，逆水行驶时间为$3+0.5=3.5$小时。
根据往返路程相等列方程：
$3(26+x)=3.5(26-x)$
展开得：$78+3x=91-3.5x$
移项合并同类项得：$6.5x=13$
解得：$x=2$
则甲、乙两地距离为：$3×(26+2)=3×28=84$（千米）
解法二：设甲、乙两地间的距离为$x$千米。
逆水行驶时间为$3+0.5=3.5$小时。
根据水流速度不变列方程：
$\frac{x}{3}-26=26-\frac{x}{3.5}$
移项得：$\frac{x}{3}+\frac{x}{3.5}=52$
通分计算得：$\frac{13x}{21}=52$
解得：$x=84$
【答案】
84千米
【知识点】
一元一次方程应用；流水行船问题；行程基本公式
【点评】
本题是流水行船问题的典型习题，解题关键是抓住题目中的不变量（路程或水流速度）建立等量关系，两种解法分别对应间接设元和直接设元的技巧，通过一题多解可以更好地掌握方程解应用题的设元逻辑，提升分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题核心要明确两个基本关系：①顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；②甲、乙两地距离固定、水流速度固定。解题有两种常见思路：思路一：间接设元，先设水流速度为未知数，根据“顺水行驶路程=逆水行驶路程”列方程，求出水速后再计算两地距离；思路二：直接设元，设两地距离为未知数，根据“水流速度不变”列等量关系，直接求解距离。解题前先统一单位，将30分钟换算为0.5小时，可得逆水行驶总时长为3.5小时。
【解析】
解法一：设水流的速度为每小时$x$千米。
单位换算：$30$分钟$=0.5$小时，逆水行驶时间为$3+0.5=3.5$小时。
根据往返路程相等列方程：
$3(26+x)=3.5(26-x)$
展开得：$78+3x=91-3.5x$
移项合并同类项得：$6.5x=13$
解得：$x=2$
则甲、乙两地距离为：$3×(26+2)=3×28=84$（千米）
解法二：设甲、乙两地间的距离为$x$千米。
逆水行驶时间为$3+0.5=3.5$小时。
根据水流速度不变列方程：
$\frac{x}{3}-26=26-\frac{x}{3.5}$
移项得：$\frac{x}{3}+\frac{x}{3.5}=52$
通分计算得：$\frac{13x}{21}=52$
解得：$x=84$
【答案】
84千米
【知识点】
一元一次方程应用；流水行船问题；行程基本公式
【点评】
本题是流水行船问题的典型习题，解题关键是抓住题目中的不变量（路程或水流速度）建立等量关系，两种解法分别对应间接设元和直接设元的技巧，通过一题多解可以更好地掌握方程解应用题的设元逻辑，提升分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
7 一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下.已知A,B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/时，游船在静水中的平均速度为27千米/时，水流速度为3千米/时.
（1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米.
（2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米.
（1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米.
（2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米.
答案
(1) 140-(67+3)×1/2 +(27+3)×1/2 =120(千米),所以在航行 30 分钟时两船相距 120 千米
(2) 设在出发 x 小时后两船相距 100 千米. ① 当两船都在顺流而下时,140-(67+3)x+(27+3)x=100,解得 x=1. 所以当两船都在顺流而下时,在航行 1 小时时两船相距 100 千米. ② 当快艇到达 B 码头返回后两船相背而行时,因为快艇从 A 码头到 B 码头需用时 140÷(67+3)=2(小时),所以(67-3)×(x-2)+(27+3)x=100,解得 x=114/47. 所以当两船相背而行时,在航行114/47小时时两船相距 100 千米. 综上所述,两船从出发在航行 1 小时和114/47小时时都恰好相距 100 千米
(2) 设在出发 x 小时后两船相距 100 千米. ① 当两船都在顺流而下时,140-(67+3)x+(27+3)x=100,解得 x=1. 所以当两船都在顺流而下时,在航行 1 小时时两船相距 100 千米. ② 当快艇到达 B 码头返回后两船相背而行时,因为快艇从 A 码头到 B 码头需用时 140÷(67+3)=2(小时),所以(67-3)×(x-2)+(27+3)x=100,解得 x=114/47. 所以当两船相背而行时,在航行114/47小时时两船相距 100 千米. 综上所述,两船从出发在航行 1 小时和114/47小时时都恰好相距 100 千米
解析
【分析】
（1）先明确顺流速度=静水速度+水流速度，先换算时间单位，再计算两船的顺流速度。初始时两船相距140千米，两船同向顺流行驶，30分钟后的距离等于初始距离减去两船的路程差，代入数据计算即可。
（2）分两种情况讨论：①快艇还未到达B码头时，两船都顺流行驶，距离随时间逐渐缩小，根据“初始距离-两船路程差=100千米”列方程求解；②快艇到达B码头后逆流返回，此时快艇逆流速度=静水速度-水流速度，先算出快艇到达B码头的时间，之后两船相背行驶，距离逐渐增大，根据“快艇逆流行驶路程+游船顺流行驶总路程=100千米”列方程求解，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
（1）单位换算：30分钟=$\frac{1}{2}$小时。
顺流速度：快艇顺流速度为$67+3=70$千米/时，游船顺流速度为$27+3=30$千米/时。
30分钟时两船距离为：
$140-70×\frac{1}{2}+30×\frac{1}{2}=140-35+15=120$（千米）
（2）设出发$x$小时后两船相距100千米，分两种情况：
① 两船均顺流行驶（快艇未到B码头）：
快艇到B码头所需时间为$140÷70=2$小时，此时$x＜2$，列方程：
$140-(70-30)x=100$
$140-40x=100$
解得$x=1$，符合条件。
② 快艇到达B码头后返回，两船相背而行：
此时$x＞2$，快艇逆流速度为$67-3=64$千米/时，逆流行驶时间为$(x-2)$小时，列方程：
$64(x-2)+30x=100$
$64x-128+30x=100$
$94x=228$
解得$x=\frac{114}{47}$，符合条件。
【答案】
（1）两船出发航行30分钟时相距120千米；
（2）两船航行1小时和$\frac{114}{47}$小时时恰好相距100千米。
【知识点】
顺逆流行程问题，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题是流水行船类的行程问题，核心要掌握顺流、逆流速度的计算规则，第二问需要结合快艇的行驶状态分类讨论，避免漏解，找准不同状态下的路程等量关系列方程即可求解。
【难度系数】
0.6
（1）先明确顺流速度=静水速度+水流速度，先换算时间单位，再计算两船的顺流速度。初始时两船相距140千米，两船同向顺流行驶，30分钟后的距离等于初始距离减去两船的路程差，代入数据计算即可。
（2）分两种情况讨论：①快艇还未到达B码头时，两船都顺流行驶，距离随时间逐渐缩小，根据“初始距离-两船路程差=100千米”列方程求解；②快艇到达B码头后逆流返回，此时快艇逆流速度=静水速度-水流速度，先算出快艇到达B码头的时间，之后两船相背行驶，距离逐渐增大，根据“快艇逆流行驶路程+游船顺流行驶总路程=100千米”列方程求解，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
（1）单位换算：30分钟=$\frac{1}{2}$小时。
顺流速度：快艇顺流速度为$67+3=70$千米/时，游船顺流速度为$27+3=30$千米/时。
30分钟时两船距离为：
$140-70×\frac{1}{2}+30×\frac{1}{2}=140-35+15=120$（千米）
（2）设出发$x$小时后两船相距100千米，分两种情况：
① 两船均顺流行驶（快艇未到B码头）：
快艇到B码头所需时间为$140÷70=2$小时，此时$x＜2$，列方程：
$140-(70-30)x=100$
$140-40x=100$
解得$x=1$，符合条件。
② 快艇到达B码头后返回，两船相背而行：
此时$x＞2$，快艇逆流速度为$67-3=64$千米/时，逆流行驶时间为$(x-2)$小时，列方程：
$64(x-2)+30x=100$
$64x-128+30x=100$
$94x=228$
解得$x=\frac{114}{47}$，符合条件。
【答案】
（1）两船出发航行30分钟时相距120千米；
（2）两船航行1小时和$\frac{114}{47}$小时时恰好相距100千米。
【知识点】
顺逆流行程问题，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题是流水行船类的行程问题，核心要掌握顺流、逆流速度的计算规则，第二问需要结合快艇的行驶状态分类讨论，避免漏解，找准不同状态下的路程等量关系列方程即可求解。
【难度系数】
0.6
8【问题引入】
一列火车匀速行驶,经过一条长400米的隧道需要30秒的时间(从车头进入隧道到车尾离开隧道),隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是15秒,你能求出这列火车的长度吗?
【情境分析】
设这列火车的长度是x米.
(1) 从车头经过灯下到车尾经过灯下,火车所走的路程是
(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道,火车所走的路程是
(3) 火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是
【问题解决】
(4) 请列出方程并求出这列火车的长度.
一列火车匀速行驶,经过一条长400米的隧道需要30秒的时间(从车头进入隧道到车尾离开隧道),隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是15秒,你能求出这列火车的长度吗?
【情境分析】
设这列火车的长度是x米.
(1) 从车头经过灯下到车尾经过灯下,火车所走的路程是
x
米,这段时间内火车的平均速度是x/15
米/秒;(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道,火车所走的路程是
x+400
米,这段时间内火车的平均速度是(x+400)/30
米/秒;(3) 火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是
相等
;【问题解决】
(4) 请列出方程并求出这列火车的长度.
答案
(1) x x/15
(2) (x+400) (x+400)/30
(3) 相等
(4) 根据题意,得 x/15 = (x+400)/30,解得 x=400,所以这列火车的长度是400米
(2) (x+400) (x+400)/30
(3) 相等
(4) 根据题意,得 x/15 = (x+400)/30,解得 x=400,所以这列火车的长度是400米
解析
【分析】
本题是一元一次方程在行程问题中的应用，解题核心是抓住火车匀速行驶时速度不变的特点。首先分析两种场景下火车的行驶路程：①灯光照射火车时，从车头到达灯下到车尾离开灯，火车行驶的路程等于自身长度，结合照射时间可表示出对应速度；②火车过隧道时，从车头进入隧道到车尾离开隧道，行驶的路程等于隧道长度加火车自身长度，结合过隧道的时间可表示出对应速度；由于火车匀速，两个速度相等，据此列方程即可求解火车长度。
【解析】
(1) 从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车行驶的路程等于自身长度，即x米；根据速度=路程÷时间，可得这段时间火车的平均速度为$\frac{x}{15}$米/秒。
(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车行驶的总路程为隧道长度加火车长度，即$(x+400)$米；同理可得这段时间火车的平均速度为$\frac{x+400}{30}$米/秒。
(3) 题目已知火车是匀速行驶的，因此两个过程的平均速度相等。
(4) 根据两种场景下速度相等的等量关系列方程：
$\frac{x}{15}=\frac{x+400}{30}$
两边同时乘30去分母，得：$2x=x+400$
移项计算得：$x=400$
【答案】
(1) $x$；$\frac{x}{15}$
(2) $(x+400)$；$\frac{x+400}{30}$
(3) 相等
(4) 这列火车的长度是400米
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题公式；匀速运动特点
【点评】
本题是典型的火车过隧道类行程应用题，分步设问的形式降低了解题门槛，解题关键是准确判断不同场景下火车行驶的总路程，抓住匀速运动速度不变的核心等量关系列方程，易错点是计算过隧道的路程时遗漏火车自身的长度。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程在行程问题中的应用，解题核心是抓住火车匀速行驶时速度不变的特点。首先分析两种场景下火车的行驶路程：①灯光照射火车时，从车头到达灯下到车尾离开灯，火车行驶的路程等于自身长度，结合照射时间可表示出对应速度；②火车过隧道时，从车头进入隧道到车尾离开隧道，行驶的路程等于隧道长度加火车自身长度，结合过隧道的时间可表示出对应速度；由于火车匀速，两个速度相等，据此列方程即可求解火车长度。
【解析】
(1) 从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车行驶的路程等于自身长度，即x米；根据速度=路程÷时间，可得这段时间火车的平均速度为$\frac{x}{15}$米/秒。
(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车行驶的总路程为隧道长度加火车长度，即$(x+400)$米；同理可得这段时间火车的平均速度为$\frac{x+400}{30}$米/秒。
(3) 题目已知火车是匀速行驶的，因此两个过程的平均速度相等。
(4) 根据两种场景下速度相等的等量关系列方程：
$\frac{x}{15}=\frac{x+400}{30}$
两边同时乘30去分母，得：$2x=x+400$
移项计算得：$x=400$
【答案】
(1) $x$；$\frac{x}{15}$
(2) $(x+400)$；$\frac{x+400}{30}$
(3) 相等
(4) 这列火车的长度是400米
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题公式；匀速运动特点
【点评】
本题是典型的火车过隧道类行程应用题，分步设问的形式降低了解题门槛，解题关键是准确判断不同场景下火车行驶的总路程，抓住匀速运动速度不变的核心等量关系列方程，易错点是计算过隧道的路程时遗漏火车自身的长度。
【难度系数】
0.8
