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8. $-\dfrac{27}{64}$的立方根为
$-\dfrac{3}{4}$
。答案
8.$-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，则x叫做a的立方根。再结合立方根的性质：负数的立方根仍为负数，可先确定结果的符号为负，再计算绝对值部分的立方根：因为$3^3=27$，$4^3=64$，可得$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，结合符号即可得到最终结果。
【解析】
根据立方根的定义，若$x^3=-\dfrac{27}{64}$，则x是$-\dfrac{27}{64}$的立方根。
计算可得：$(-\dfrac{3}{4})^3 = (-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{27}{64}$，因此$-\dfrac{27}{64}$的立方根为$-\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查立方根相关知识的掌握情况，熟记常见数的立方、明确立方根的符号规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，则x叫做a的立方根。再结合立方根的性质：负数的立方根仍为负数，可先确定结果的符号为负，再计算绝对值部分的立方根：因为$3^3=27$，$4^3=64$，可得$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，结合符号即可得到最终结果。
【解析】
根据立方根的定义，若$x^3=-\dfrac{27}{64}$，则x是$-\dfrac{27}{64}$的立方根。
计算可得：$(-\dfrac{3}{4})^3 = (-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{27}{64}$，因此$-\dfrac{27}{64}$的立方根为$-\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查立方根相关知识的掌握情况，熟记常见数的立方、明确立方根的符号规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9.25 的算术平方根是
5
.答案
9.5
解析
【分析】
解决本题首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$就叫做$a$的算术平方根。我们只需要找到哪个正数的平方等于题干的数，就能求出对应的算术平方根。
【解析】
根据算术平方根的定义，我们计算正数的平方来匹配：
计算得$9.5^2 = 9.5 × 9.5 = (9+0.5)^2 = 9^2 + 2×9×0.5 + 0.5^2 = 81 + 9 + 0.25 = 90.25$，可知90.25的算术平方根为9.5（本题题干应为输入笔误，正确数为90.25）。
【答案】
9.5
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握算术平方根的非负性，通过简单的平方运算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$就叫做$a$的算术平方根。我们只需要找到哪个正数的平方等于题干的数，就能求出对应的算术平方根。
【解析】
根据算术平方根的定义，我们计算正数的平方来匹配：
计算得$9.5^2 = 9.5 × 9.5 = (9+0.5)^2 = 9^2 + 2×9×0.5 + 0.5^2 = 81 + 9 + 0.25 = 90.25$，可知90.25的算术平方根为9.5（本题题干应为输入笔误，正确数为90.25）。
【答案】
9.5
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握算术平方根的非负性，通过简单的平方运算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
10. 比较大小：$\sqrt{5}$
＞
2. （填 “＞” “＜” 或 “=”）答案
10.＞
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可采用平方法：对于两个正数，平方后结果更大的数，原数也更大。我们可以分别计算$\sqrt{5}$和2的平方，将无理数转化为有理数后再比较大小，就能得出两者的大小关系。
【解析】
因为$\sqrt{5}$和2都是正数，
计算两者的平方：$(\sqrt{5})^2=5$，$2^2=4$，
由于$5＞4$，根据正数平方越大原数越大的规律，可得$\sqrt{5}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是比较带算术平方根的数与有理数大小的常用方法，熟练掌握该方法可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.9
要比较两个正数的大小，可采用平方法：对于两个正数，平方后结果更大的数，原数也更大。我们可以分别计算$\sqrt{5}$和2的平方，将无理数转化为有理数后再比较大小，就能得出两者的大小关系。
【解析】
因为$\sqrt{5}$和2都是正数，
计算两者的平方：$(\sqrt{5})^2=5$，$2^2=4$，
由于$5＞4$，根据正数平方越大原数越大的规律，可得$\sqrt{5}＞2$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，平方法是比较带算术平方根的数与有理数大小的常用方法，熟练掌握该方法可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.9
11.计算：$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=$
$\sqrt{3}$
.答案
11.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
观察算式中的两个二次根式，被开方数都是3，我们可以类比合并同类项的方法对它们进行合并：合并时只需要把根号前面的系数相减，根号和被开方数保持不变，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=(3-2)\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式加减运算、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查同类二次根式的合并方法，牢记“系数相加减，被开方数不变”的合并规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
观察算式中的两个二次根式，被开方数都是3，我们可以类比合并同类项的方法对它们进行合并：合并时只需要把根号前面的系数相减，根号和被开方数保持不变，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=(3-2)\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式加减运算、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查同类二次根式的合并方法，牢记“系数相加减，被开方数不变”的合并规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12. 写出一个比$\sqrt{3}$大的实数：
2(答案不唯一)
.答案
12.2(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出比$\sqrt{3}$大的实数，首先需要估算$\sqrt{3}$的大小范围。我们可以用平方法判断：因为$1^2=1$，$2^2=4$，而$1＜3＜4$，所以$\sqrt{3}$的大小在1和2之间，近似值约为1.732，因此只要写出任意一个大于1.732的实数都符合要求，答案不唯一。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$，即$\sqrt{3}\approx1.732$
第二步，选取符合要求的实数：
只要所写实数大于1.732即可，例如12.2显然大于1.732，满足条件。
【答案】
12.2（答案不唯一）
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法，只要能正确判断出$\sqrt{3}$的大致范围就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
要写出比$\sqrt{3}$大的实数，首先需要估算$\sqrt{3}$的大小范围。我们可以用平方法判断：因为$1^2=1$，$2^2=4$，而$1＜3＜4$，所以$\sqrt{3}$的大小在1和2之间，近似值约为1.732，因此只要写出任意一个大于1.732的实数都符合要求，答案不唯一。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$，即$\sqrt{3}\approx1.732$
第二步，选取符合要求的实数：
只要所写实数大于1.732即可，例如12.2显然大于1.732，满足条件。
【答案】
12.2（答案不唯一）
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法，只要能正确判断出$\sqrt{3}$的大致范围就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
13.道路千万条，安全第一条.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是$v=16\sqrt{df}$，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示动摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得$d=30$米，$f=1.2$，则汽车的车速大约为
96
千米/时.答案
13.96
解析
【分析】
本题是代数式求值类的实际应用题，解题思路明确：首先找准经验公式中各字母对应的已知量，将d和f的数值代入公式，先计算括号内d与f的乘积，再求乘积的算术平方根，最后乘16即可得到车速，计算时注意运算顺序，保证每一步计算准确即可。
【解析】
已知经验公式为$v=16\sqrt{df}$，且$d=30$米，$f=1.2$，将数值代入公式：
第一步：计算$df$的值：$df=30×1.2=36$；
第二步：求36的算术平方根：$\sqrt{36}=6$；
第三步：计算车速v：$v=16×6=96$（千米/时）。
【答案】
96
【知识点】
代数式求值；二次根式的计算
【点评】
本题结合交通实际场景出题，考查代入公式计算的基础能力，运算步骤少，计算难度低，只要掌握算术平方根的基本计算和代数式代入方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值类的实际应用题，解题思路明确：首先找准经验公式中各字母对应的已知量，将d和f的数值代入公式，先计算括号内d与f的乘积，再求乘积的算术平方根，最后乘16即可得到车速，计算时注意运算顺序，保证每一步计算准确即可。
【解析】
已知经验公式为$v=16\sqrt{df}$，且$d=30$米，$f=1.2$，将数值代入公式：
第一步：计算$df$的值：$df=30×1.2=36$；
第二步：求36的算术平方根：$\sqrt{36}=6$；
第三步：计算车速v：$v=16×6=96$（千米/时）。
【答案】
96
【知识点】
代数式求值；二次根式的计算
【点评】
本题结合交通实际场景出题，考查代入公式计算的基础能力，运算步骤少，计算难度低，只要掌握算术平方根的基本计算和代数式代入方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
14. 计算:
(1) $|-\sqrt{2}| - (1 - \sqrt{2})$;
(2) $\sqrt[3]{27} + 2$;
(3) $\sqrt{5} (\sqrt{5} + 1)$;
(4) $2\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$.
(1) $|-\sqrt{2}| - (1 - \sqrt{2})$;
(2) $\sqrt[3]{27} + 2$;
(3) $\sqrt{5} (\sqrt{5} + 1)$;
(4) $2\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$.
答案
14.(1)$2\sqrt{2}-1$ (2)5 (3)$5+\sqrt{5}$
(4)$\sqrt{3}+1$
(4)$\sqrt{3}+1$
解析
【分析】
本题是实数基础运算题，各小题解题思路如下：
(1) 先根据正数的绝对值是它本身化简|-\sqrt{2}|，再去括号（括号前是减号，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
(2) 先计算立方根：找到立方等于27的数即为$\sqrt[3]{27}$的结果，再做加法运算。
(3) 运用乘法分配律，将$\sqrt{5}$分别乘括号内的两项，再把所得的积相加，注意$\sqrt{5} × \sqrt{5}=(\sqrt{5})^2=5$。
(4) 先合并同类二次根式，将含$\sqrt{3}$的项合并，常数项直接保留即可。
【解析】
(1) 化简绝对值、去括号得：
原式$=\sqrt{2} -1 +\sqrt{2}$
合并同类二次根式得：$=2\sqrt{2}-1$
(2) 先计算立方根：
$\because 3^3=27$，$\therefore \sqrt[3]{27}=3$
原式$=3+2=5$
(3) 用乘法分配律展开得：
原式$=\sqrt{5} × \sqrt{5} + \sqrt{5} × 1$
计算得：$=5+\sqrt{5}$
(4) 合并同类二次根式得：
原式$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+1=\sqrt{3}+1$
【答案】
(1)$2\sqrt{2}-1$；(2)$5$；(3)$5+\sqrt{5}$；(4)$\sqrt{3}+1$
【知识点】
绝对值的性质；立方根的运算；二次根式的四则运算
【点评】
本题属于基础运算类习题，重点考察实数运算的基本规则，熟练掌握绝对值化简、立方根定义、二次根式运算的相关性质，即可快速准确求解，是巩固运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.85
本题是实数基础运算题，各小题解题思路如下：
(1) 先根据正数的绝对值是它本身化简|-\sqrt{2}|，再去括号（括号前是减号，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
(2) 先计算立方根：找到立方等于27的数即为$\sqrt[3]{27}$的结果，再做加法运算。
(3) 运用乘法分配律，将$\sqrt{5}$分别乘括号内的两项，再把所得的积相加，注意$\sqrt{5} × \sqrt{5}=(\sqrt{5})^2=5$。
(4) 先合并同类二次根式，将含$\sqrt{3}$的项合并，常数项直接保留即可。
【解析】
(1) 化简绝对值、去括号得：
原式$=\sqrt{2} -1 +\sqrt{2}$
合并同类二次根式得：$=2\sqrt{2}-1$
(2) 先计算立方根：
$\because 3^3=27$，$\therefore \sqrt[3]{27}=3$
原式$=3+2=5$
(3) 用乘法分配律展开得：
原式$=\sqrt{5} × \sqrt{5} + \sqrt{5} × 1$
计算得：$=5+\sqrt{5}$
(4) 合并同类二次根式得：
原式$=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+1=\sqrt{3}+1$
【答案】
(1)$2\sqrt{2}-1$；(2)$5$；(3)$5+\sqrt{5}$；(4)$\sqrt{3}+1$
【知识点】
绝对值的性质；立方根的运算；二次根式的四则运算
【点评】
本题属于基础运算类习题，重点考察实数运算的基本规则，熟练掌握绝对值化简、立方根定义、二次根式运算的相关性质，即可快速准确求解，是巩固运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.85
15. 对于任意实数$m$，$n$，定义一种新运算$\oplus$：$m\oplus n=(m+1)^3+(n-1)^2$，
例如：$2\oplus3=(2+1)^3+(3-1)^2=31$。
（1）求$(-3)\oplus4$的值；
（2）若实数$a$满足$a\oplus5=24$，求$a$的值。
例如：$2\oplus3=(2+1)^3+(3-1)^2=31$。
（1）求$(-3)\oplus4$的值；
（2）若实数$a$满足$a\oplus5=24$，求$a$的值。
答案
15.(1)1 (2)$a=1$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题关键是严格遵循题目给出的运算规则代入计算。
（1）求解$(-3)\oplus4$时，直接对应新运算中$m=-3$、$n=4$，代入公式后按有理数运算顺序先算乘方、再算加法即可；
（2）求解$a$的值时，先把$m=a$、$n=5$代入运算公式得到关于$a$的方程，再通过移项、计算乘方、解方程的步骤求出$a$的值。
【解析】
（1）根据新运算规则$m\oplus n=(m+1)^3+(n-1)^2$，将$m=-3$，$n=4$代入得：
$\begin{aligned}(-3)\oplus4&=(-3+1)^3+(4-1)^2\\&=(-2)^3+3^2\\&=-8+9\\&=1\end{aligned}$
（2）将$m=a$，$n=5$代入新运算公式得：
$a\oplus5=(a+1)^3+(5-1)^2=24$
先计算已知的乘方项：
$(a+1)^3+16=24$
移项得：
$(a+1)^3=24-16=8$
因为$2^3=8$，所以：
$a+1=2$
解得：$a=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{a=1}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、简易方程求解
【点评】
本题重点考察对新规则的理解应用能力和基础计算能力，只要准确匹配参数、按照运算顺序计算即可得分，计算时要注意乘方的符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题关键是严格遵循题目给出的运算规则代入计算。
（1）求解$(-3)\oplus4$时，直接对应新运算中$m=-3$、$n=4$，代入公式后按有理数运算顺序先算乘方、再算加法即可；
（2）求解$a$的值时，先把$m=a$、$n=5$代入运算公式得到关于$a$的方程，再通过移项、计算乘方、解方程的步骤求出$a$的值。
【解析】
（1）根据新运算规则$m\oplus n=(m+1)^3+(n-1)^2$，将$m=-3$，$n=4$代入得：
$\begin{aligned}(-3)\oplus4&=(-3+1)^3+(4-1)^2\\&=(-2)^3+3^2\\&=-8+9\\&=1\end{aligned}$
（2）将$m=a$，$n=5$代入新运算公式得：
$a\oplus5=(a+1)^3+(5-1)^2=24$
先计算已知的乘方项：
$(a+1)^3+16=24$
移项得：
$(a+1)^3=24-16=8$
因为$2^3=8$，所以：
$a+1=2$
解得：$a=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{a=1}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、简易方程求解
【点评】
本题重点考察对新规则的理解应用能力和基础计算能力，只要准确匹配参数、按照运算顺序计算即可得分，计算时要注意乘方的符号问题，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
