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16.小明制作了一张面积为256 cm²的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420 cm².
（1）求正方形贺卡的边长；
（2）求长方形信封的长和宽；
（3）如果小明不折叠这张贺卡能将它放入此信封吗？请通过计算给出判断.
（1）求正方形贺卡的边长；
（2）求长方形信封的长和宽；
（3）如果小明不折叠这张贺卡能将它放入此信封吗？请通过计算给出判断.
答案
16.(1)正方形贺卡的边长为16 cm.
(2)长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.(3)能.理由略.
(2)长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.(3)能.理由略.
解析
【分析】
(1) 已知正方形面积求边长，利用正方形面积=边长²，边长为正数，因此求256的算术平方根即可得到边长。
(2) 已知长方形长宽比为3:2，可设参数x表示长和宽，再结合长方形面积公式列方程，求解x的算术平方根即可得到长宽的长度。
(3) 要判断不折叠能否放入贺卡，只需比较正方形贺卡的边长和长方形信封的较短边（宽）的大小即可：若信封宽大于贺卡边长，则可以放入，反之则不能；比较带根号的正数大小可以用平方法，正数平方越大原数越大。
【解析】
解：(1) 设正方形贺卡的边长为$a\ \mathrm{cm}(a＞0)$，由正方形面积公式得：
$a^2=256$
$\therefore a=\sqrt{256}=16$
即正方形贺卡的边长为16 cm。
(2) 设长方形信封的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}(x＞0)$，由长方形面积公式得：
$3x·2x=420$
整理得$6x^2=420$，即$x^2=70$
$\therefore x=\sqrt{70}$
$\therefore$ 长为$3\sqrt{70}\ \mathrm{cm}$，宽为$2\sqrt{70}\ \mathrm{cm}$。
(3) 能，判断过程如下：
比较$2\sqrt{70}$和16的大小，将两个正数分别平方：
$(2\sqrt{70})^2=4×70=280$，$16^2=256$
$\because 280＞256$，且$2\sqrt{70}$和16均为正数
$\therefore 2\sqrt{70}＞16$
即信封的宽大于正方形贺卡的边长，因此不折叠贺卡可以放入信封。
【答案】
(1) 16 cm；
(2) 长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm；
(3) 能。
【知识点】
算术平方根的应用、列方程解应用题、实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查平方根的实际应用，解题核心是熟练掌握正方形、长方形的面积公式，处理带根号的正数大小比较时使用平方法是常用的简便技巧，整体解题思路清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知正方形面积求边长，利用正方形面积=边长²，边长为正数，因此求256的算术平方根即可得到边长。
(2) 已知长方形长宽比为3:2，可设参数x表示长和宽，再结合长方形面积公式列方程，求解x的算术平方根即可得到长宽的长度。
(3) 要判断不折叠能否放入贺卡，只需比较正方形贺卡的边长和长方形信封的较短边（宽）的大小即可：若信封宽大于贺卡边长，则可以放入，反之则不能；比较带根号的正数大小可以用平方法，正数平方越大原数越大。
【解析】
解：(1) 设正方形贺卡的边长为$a\ \mathrm{cm}(a＞0)$，由正方形面积公式得：
$a^2=256$
$\therefore a=\sqrt{256}=16$
即正方形贺卡的边长为16 cm。
(2) 设长方形信封的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}(x＞0)$，由长方形面积公式得：
$3x·2x=420$
整理得$6x^2=420$，即$x^2=70$
$\therefore x=\sqrt{70}$
$\therefore$ 长为$3\sqrt{70}\ \mathrm{cm}$，宽为$2\sqrt{70}\ \mathrm{cm}$。
(3) 能，判断过程如下：
比较$2\sqrt{70}$和16的大小，将两个正数分别平方：
$(2\sqrt{70})^2=4×70=280$，$16^2=256$
$\because 280＞256$，且$2\sqrt{70}$和16均为正数
$\therefore 2\sqrt{70}＞16$
即信封的宽大于正方形贺卡的边长，因此不折叠贺卡可以放入信封。
【答案】
(1) 16 cm；
(2) 长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm；
(3) 能。
【知识点】
算术平方根的应用、列方程解应用题、实数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查平方根的实际应用，解题核心是熟练掌握正方形、长方形的面积公式，处理带根号的正数大小比较时使用平方法是常用的简便技巧，整体解题思路清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
17.【问题情境】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如$π$，$\sqrt{2}$等；但是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
【猜想证明】事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的值在1与2之间，所以$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，得到的$\sqrt{2}-1$就是小数部分.又例如：因为$\sqrt{5}$的值在2与3之间，所以$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$.
【问题解决】
（1）请直接写出$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分；
（2）若$\sqrt{7}+5$的值在相邻的两个整数$a$与$b$之间，并且有$a＜\sqrt{7}+5＜b$，则$a+b$的值是多少？
（3）若$\sqrt{7}-1=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$.求$y-x$的绝对值.
【猜想证明】事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的值在1与2之间，所以$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，得到的$\sqrt{2}-1$就是小数部分.又例如：因为$\sqrt{5}$的值在2与3之间，所以$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$.
【问题解决】
（1）请直接写出$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分；
（2）若$\sqrt{7}+5$的值在相邻的两个整数$a$与$b$之间，并且有$a＜\sqrt{7}+5＜b$，则$a+b$的值是多少？
（3）若$\sqrt{7}-1=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$.求$y-x$的绝对值.
答案
17.(1)$\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$.
(2)$a+b$的值为15.
(3)$y-x$的绝对值为$3-\sqrt{7}$.
(2)$a+b$的值为15.
(3)$y-x$的绝对值为$3-\sqrt{7}$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心是先估算出无理数介于哪两个相邻整数之间：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，开平方后就能得到无理数的取值范围，其中较小的整数就是该无理数的整数部分，无理数减去它的整数部分就是小数部分。后续小问可基于无理数的范围，通过不等式的平移运算得到相关式子的范围，再结合题目要求计算即可。
（1）先确定$\sqrt{7}$的取值范围，即可直接得到它的整数部分和小数部分；
（2）在$\sqrt{7}$的范围基础上同时加5，得到$\sqrt{7}+5$的范围，确定$a$、$b$的值后计算$a+b$；
（3）在$\sqrt{7}$的范围基础上同时减1，得到$\sqrt{7}-1$的范围，确定整数$x$和小数$y$的值，再代入计算$|y-x|$即可。
【解析】
（1）
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且 $4＜7＜9$
∴ $2＜\sqrt{7}＜3$
∴ $\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
（2）由（1）知$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同时加5得：
$2+5 ＜ \sqrt{7}+5 ＜ 3+5$，即$7＜\sqrt{7}+5＜8$
∵ $a＜\sqrt{7}+5＜b$，且$a$、$b$是相邻整数
∴ $a=7$，$b=8$
∴ $a+b=7+8=15$。
（3）由（1）知$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同时减1得：
$2-1 ＜ \sqrt{7}-1 ＜ 3-1$，即$1＜\sqrt{7}-1＜2$
∵ $\sqrt{7}-1=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$
∴ 整数部分$x=1$，小数部分$y=(\sqrt{7}-1)-1=\sqrt{7}-2$
∴ $|y-x|=|(\sqrt{7}-2)-1|=|\sqrt{7}-3|$
∵ $\sqrt{7}＜3$，即$\sqrt{7}-3＜0$
∴ $|\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$；
(2) $a+b$的值为15；
(3) $y-x$的绝对值为$3-\sqrt{7}$。
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；绝对值化简
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，解题关键是通过相邻完全平方数确定无理数的取值范围，再结合整数部分、小数部分的性质计算，掌握估算技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心是先估算出无理数介于哪两个相邻整数之间：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，开平方后就能得到无理数的取值范围，其中较小的整数就是该无理数的整数部分，无理数减去它的整数部分就是小数部分。后续小问可基于无理数的范围，通过不等式的平移运算得到相关式子的范围，再结合题目要求计算即可。
（1）先确定$\sqrt{7}$的取值范围，即可直接得到它的整数部分和小数部分；
（2）在$\sqrt{7}$的范围基础上同时加5，得到$\sqrt{7}+5$的范围，确定$a$、$b$的值后计算$a+b$；
（3）在$\sqrt{7}$的范围基础上同时减1，得到$\sqrt{7}-1$的范围，确定整数$x$和小数$y$的值，再代入计算$|y-x|$即可。
【解析】
（1）
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且 $4＜7＜9$
∴ $2＜\sqrt{7}＜3$
∴ $\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
（2）由（1）知$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同时加5得：
$2+5 ＜ \sqrt{7}+5 ＜ 3+5$，即$7＜\sqrt{7}+5＜8$
∵ $a＜\sqrt{7}+5＜b$，且$a$、$b$是相邻整数
∴ $a=7$，$b=8$
∴ $a+b=7+8=15$。
（3）由（1）知$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同时减1得：
$2-1 ＜ \sqrt{7}-1 ＜ 3-1$，即$1＜\sqrt{7}-1＜2$
∵ $\sqrt{7}-1=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$
∴ 整数部分$x=1$，小数部分$y=(\sqrt{7}-1)-1=\sqrt{7}-2$
∴ $|y-x|=|(\sqrt{7}-2)-1|=|\sqrt{7}-3|$
∵ $\sqrt{7}＜3$，即$\sqrt{7}-3＜0$
∴ $|\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$；
(2) $a+b$的值为15；
(3) $y-x$的绝对值为$3-\sqrt{7}$。
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；绝对值化简
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，解题关键是通过相邻完全平方数确定无理数的取值范围，再结合整数部分、小数部分的性质计算，掌握估算技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
