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11.「2026湖南岳阳期中，★☆」下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题,每小题20分,他能得到的分数是 (
A.40分
B.60分
C.80分
D.100分
B
)A.40分
B.60分
C.80分
D.100分
答案
①$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$,故①正确.②$3-x·\frac{2}{3-x}=3-\frac{2x}{3-x}=\frac{9-3x-2x}{3-x}=\frac{9-5x}{3-x}$,故②不正确.③$1÷\frac{a}{b}×\frac{b}{a}=1×\frac{b}{a}×\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a^2}$,故③不正确.④$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$,故④正确.⑤$\frac{x}{x+1}-x=\frac{x}{x+1}-\frac{x^2+x}{x+1}=\frac{x-x^2-x}{x+1}=-\frac{x^2}{x+1}$,故⑤正确.所以他能得到60分.
12.「2026 湖南株洲期中，★★」已知 $ x,y $ 为实数且满足 $ x ≠ -1, y ≠ -1 $，设 $ A = \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} $，$ B = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} $，对于①若 $ x+y=0 $，则 $ A · B ≤ 0 $.②当 $ xy=1 $ 时，$ A=B $；当 $ xy＞1 $ 时，$ A＞B $；当 $ xy＜1 $ 时，$ A＜B $.下列说法正确的是（
A.①对，②错
B.①错，②对
C.①②都错
D.①②都对
A
）A.①对，②错
B.①错，②对
C.①②都错
D.①②都对
答案
当 $ x+y=0 $ 时, $ y = -x $,
∴ $ A = \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} = \frac{x}{x+1} + \frac{-x}{-x+1} = \frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = \frac{2x^2}{(x+1)(x-1)} $, $ B = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{-x+1} = \frac{-2}{(x+1)(x-1)} $,
∴ $ A · B = \frac{2x^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{-2}{(x+1)(x-1)} = \frac{-4x^2}{[(x+1)(x-1)]^2} $,
∵ $ x ≠ ± 1 $,
∴ $ [(x+1)(x-1)]^2 ＞ 0 $, 又
∵ $ x^2 ≥ 0 $,
∴ $ A · B = \frac{-4x^2}{[(x+1)(x-1)]^2} ≤ 0 $,故①正确.
$ A - B = \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{y+1} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{y-1}{y+1} = \frac{xy-y+x-1+xy+y-x-1}{(x+1)(y+1)} = \frac{2(xy-1)}{(x+1)(y+1)} $,
∴ 当 $ xy = 1 $ 时, $ A-B=0 $,即 $ A=B $; 当 $ xy＞1 $ 时, $ 2(xy-1)＞0 $,但是此时不确定 $ (x+1)(y+1) $ 的符号,
∴ 不能判断 $ A,B $ 的大小关系;同理当 $ xy＜1 $ 时,不能判断 $ A,B $ 的大小关系.故结论②错误.
∴ $ A = \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} = \frac{x}{x+1} + \frac{-x}{-x+1} = \frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = \frac{2x^2}{(x+1)(x-1)} $, $ B = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{-x+1} = \frac{-2}{(x+1)(x-1)} $,
∴ $ A · B = \frac{2x^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{-2}{(x+1)(x-1)} = \frac{-4x^2}{[(x+1)(x-1)]^2} $,
∵ $ x ≠ ± 1 $,
∴ $ [(x+1)(x-1)]^2 ＞ 0 $, 又
∵ $ x^2 ≥ 0 $,
∴ $ A · B = \frac{-4x^2}{[(x+1)(x-1)]^2} ≤ 0 $,故①正确.
$ A - B = \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{y+1} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{y-1}{y+1} = \frac{xy-y+x-1+xy+y-x-1}{(x+1)(y+1)} = \frac{2(xy-1)}{(x+1)(y+1)} $,
∴ 当 $ xy = 1 $ 时, $ A-B=0 $,即 $ A=B $; 当 $ xy＞1 $ 时, $ 2(xy-1)＞0 $,但是此时不确定 $ (x+1)(y+1) $ 的符号,
∴ 不能判断 $ A,B $ 的大小关系;同理当 $ xy＜1 $ 时,不能判断 $ A,B $ 的大小关系.故结论②错误.
13.「2026上海上外附中月考，★☆」小马在计算$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{M}$时把整式$M$抄错了，得到的化简结果是$\frac{1}{a - b}$，他在核对时发现所抄写的$M$比原来大$2b$，则正确的化简结果应该是
$\frac{1}{a+b}$
。答案
设把整式 $ M $ 抄错成 $ M' $,
则 $ \frac{1}{M'} = \frac{2a}{a^2-b^2} - \frac{1}{a-b} = \frac{2a}{(a-b)(a+b)} - \frac{a+b}{(a-b)(a+b)} $
$ = \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{1}{a+b} $,
∴ $ M' = a+b $,
∵ 所抄写的 $ M $ 比原来大 $ 2b $,
∴ $ M' = M+2b $,
∴ $ M = a+b-2b = a-b $,
∴ 正确的化简结果为 $ \frac{2a}{a^2-b^2} - \frac{1}{a-b} = \frac{1}{a+b} $.故答案为 $ \frac{1}{a+b} $.
则 $ \frac{1}{M'} = \frac{2a}{a^2-b^2} - \frac{1}{a-b} = \frac{2a}{(a-b)(a+b)} - \frac{a+b}{(a-b)(a+b)} $
$ = \frac{a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{1}{a+b} $,
∴ $ M' = a+b $,
∵ 所抄写的 $ M $ 比原来大 $ 2b $,
∴ $ M' = M+2b $,
∴ $ M = a+b-2b = a-b $,
∴ 正确的化简结果为 $ \frac{2a}{a^2-b^2} - \frac{1}{a-b} = \frac{1}{a+b} $.故答案为 $ \frac{1}{a+b} $.
14.聚焦中考直接经验学习「2026山东菏泽期末改编，★☆」阅读下面的材料，并解答问题：
分式$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少？
解：
∵$x≥0$，∴$x+2$的最小值是2，
∴$\frac{4}{x+2}$的最大值是2，
∴$2+\frac{4}{x+2}$的最大值是4，即$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是4.
根据上述方法，分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是
分式$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少？
解：
∵$x≥0$，∴$x+2$的最小值是2，
∴$\frac{4}{x+2}$的最大值是2，
∴$2+\frac{4}{x+2}$的最大值是4，即$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是4.
根据上述方法，分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是
5
.答案
$\frac{2x^2+5}{x^2+1} = \frac{2x^2+2+3}{x^2+1} = \frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1} = 2 + \frac{3}{x^2+1}$.
∵ $ x^2 ≥ 0 $,
∴ $ x^2+1 $ 的最小值为 1,
∴ $ \frac{3}{x^2+1} $ 的最大值为 3,
∴ $ 2+\frac{3}{x^2+1} $ 的最大值为 5, 即分式 $ \frac{2x^2+5}{x^2+1} $ 的最大值是 5.
∵ $ x^2 ≥ 0 $,
∴ $ x^2+1 $ 的最小值为 1,
∴ $ \frac{3}{x^2+1} $ 的最大值为 3,
∴ $ 2+\frac{3}{x^2+1} $ 的最大值为 5, 即分式 $ \frac{2x^2+5}{x^2+1} $ 的最大值是 5.
15.「2025浙江宁波期末，★★」已知实数$x,y,z$满足$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6}$，且$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11$，则$x+y+z$的值为
12
。答案
∵ $ \frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x} = 11 $,
∴ $ 1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x} = 14 $,
∴ $ \frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x} = 14 $,
∴ $ (x+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}) = 14 $,
∴ $ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} = \frac{14}{x+y+z} $.
∵ $ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} = \frac{7}{6} $,
∴ $ \frac{14}{x+y+z} = \frac{7}{6} $,
∴ $ x+y+z=12 $.
16. 核心 素养 推理能力 「2026 北京海淀期末」我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形.类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”.
例如，将$\frac{2x-1}{x(x-1)}$分式分解：$\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{x+(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x}{x(x-1)}+\frac{x-1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$.
(1) 将$\frac{2x+1}{x(x+1)}$分式分解的结果为
(2) 若$\frac{5x-4}{mx^2-3x+1}$可以分式分解为$\frac{p}{x-1}+\frac{q}{2x-1}$（其中$m,p,q$是常数），求$m,p,q$的值.
(3) 当$x＞1$时，判断$\frac{2x+1}{x(x+1)}$与$\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}$的大小关系，并证明.
例如，将$\frac{2x-1}{x(x-1)}$分式分解：$\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{x+(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x}{x(x-1)}+\frac{x-1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}$.
(1) 将$\frac{2x+1}{x(x+1)}$分式分解的结果为
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}$
.(2) 若$\frac{5x-4}{mx^2-3x+1}$可以分式分解为$\frac{p}{x-1}+\frac{q}{2x-1}$（其中$m,p,q$是常数），求$m,p,q$的值.
(3) 当$x＞1$时，判断$\frac{2x+1}{x(x+1)}$与$\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}$的大小关系，并证明.
答案
(1)$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}$.
(2)由题意得$\frac{5x-4}{mx^2-3x+1}=\frac{p}{x-1}+\frac{q}{2x-1}=\frac{p(2x-1)}{(x-1)(2x-1)}+\frac{q(x-1)}{(x-1)(2x-1)}=\frac{2px-p+qx-q}{2x^2-3x+1}=\frac{(2p+q)x-(p+q)}{2x^2-3x+1}$,
∴ $\begin{cases}2p+q=5,\\p+q=4,\\m=2,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}p=1,\\q=3,\\m=2,\end{cases}$
(3)$\frac{2x+1}{x(x+1)}＜\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}$.证明如下：
∵ $\frac{2x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}$,$\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}=\frac{x^2+x^2-1}{x^2(x-1)}=\frac{x^2}{x^2(x-1)}+\frac{x^2-1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$,
∴ $\frac{2x+1}{x(x+1)}-\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}-(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2(x-1)-x^2(x+1)-(x+1)(x-1)}{x^2(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1-3x^2}{x^2(x+1)(x-1)}$,
∵ $x＞1$,
∴ $x^2(x+1)(x-1)＞0$,$1-3x^2＜0$,
∴ $\frac{2x+1}{x(x+1)}-\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}＜0$,
∴ $\frac{2x+1}{x(x+1)}＜\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}$.
(2)由题意得$\frac{5x-4}{mx^2-3x+1}=\frac{p}{x-1}+\frac{q}{2x-1}=\frac{p(2x-1)}{(x-1)(2x-1)}+\frac{q(x-1)}{(x-1)(2x-1)}=\frac{2px-p+qx-q}{2x^2-3x+1}=\frac{(2p+q)x-(p+q)}{2x^2-3x+1}$,
∴ $\begin{cases}2p+q=5,\\p+q=4,\\m=2,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}p=1,\\q=3,\\m=2,\end{cases}$
(3)$\frac{2x+1}{x(x+1)}＜\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}$.证明如下：
∵ $\frac{2x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}$,$\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}=\frac{x^2+x^2-1}{x^2(x-1)}=\frac{x^2}{x^2(x-1)}+\frac{x^2-1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{x+1}{x^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$,
∴ $\frac{2x+1}{x(x+1)}-\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}-(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2(x-1)-x^2(x+1)-(x+1)(x-1)}{x^2(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1-3x^2}{x^2(x+1)(x-1)}$,
∵ $x＞1$,
∴ $x^2(x+1)(x-1)＞0$,$1-3x^2＜0$,
∴ $\frac{2x+1}{x(x+1)}-\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}＜0$,
∴ $\frac{2x+1}{x(x+1)}＜\frac{2x^2-1}{x^3-x^2}$.
