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9 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 6x + 3 = 0$通过配方可以化成$(x+a)^2 = b(b＞0)$的形式，则$k$的值可能是(
A.0
B.2
C.3
D.$\frac{9}{2}$
B
).A.0
B.2
C.3
D.$\frac{9}{2}$
答案
9.B
10 新定义:关于$x$的一元二次方程$m(x-a)^2 + b =0$与$n(x-a)^2 + b=0$称为“同类方程”.如$2(x-1)^2 +3=0$与$6(x-1)^2 +3=0$是“同类方程”.现有关于$x$的一元二次方程$2(x-1)^2 +1=0$与$(a+6)x^2 -(b+8)x +6=0$是“同类方程”,那么代数式$ax^2 +bx +2025$能取得的最大值是
2026
.答案
10.2026
11 配方法用配方法把代数式 $3x - 2x^2 - 2$ 化为 $a(x+m)^2 + n$ 的形式，并说明不论 $x$ 取何值时，这个代数式的值总是负数，并求出当 $x$ 取何值时，这个代数式的值最大。
答案
11.$3x - 2x^2 - 2=-2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{7}{8}.$
$\because -2(x-\frac{3}{4})^2 ≤0,\therefore -2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{7}{8}≤ -\frac{7}{8},$
$\therefore$ 不论 $x$ 取何值时,这个代数式的值总是负数.
当 $x=\frac{3}{4}$ 时,代数式有最大值为 $-\frac{7}{8}.$
$\because -2(x-\frac{3}{4})^2 ≤0,\therefore -2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{7}{8}≤ -\frac{7}{8},$
$\therefore$ 不论 $x$ 取何值时,这个代数式的值总是负数.
当 $x=\frac{3}{4}$ 时,代数式有最大值为 $-\frac{7}{8}.$
12 新考法 课题实践活动（2026·广东深圳龙岗区期中改编）[问题发现]某版本数学教材介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法，例如 $x^2 + 2x - 35 = 0$，可变形为 $x(x + 2) = 35$。
第1步：如图(1)，构造一个长为 $x + 2$、宽为 $x$、面积为35的矩形；
第2步：如图(2)，将4个矩形构造成一个边长为$(x + x + 2)$的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形。
第3步：大正方形的面积可表示为$(x + x + 2)^2$，也可表示为$4×35 + 2^2$，由此可得新方程：$(x + x + 2)^2 = 144$，易得这个方程的正数解为 $x = 5$。
注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
[初步尝试]
(1)利用上述一元二次方程的几何解法，求出方程 $x^2 + 4x - 21 = 0$ 的一个正根，并画图。
(2)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程 $2x^2 + 3x - 2 = 0$，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为 $x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$，即 $x(\_\_\_\_\_\_) = 1$；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；(在画图区画出示意图，标明各边长)
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______；
解得原方程的一个根为 ______。
[思维拓展]
(3)参照以上方法，直接写出关于$x$的一元二次方程 $ax^2 + bx = c$（$a,b,c$都是正数）的正数解（用含$a,b,c$的代数式表示）。
第1步：如图(1)，构造一个长为 $x + 2$、宽为 $x$、面积为35的矩形；
第2步：如图(2)，将4个矩形构造成一个边长为$(x + x + 2)$的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形。
第3步：大正方形的面积可表示为$(x + x + 2)^2$，也可表示为$4×35 + 2^2$，由此可得新方程：$(x + x + 2)^2 = 144$，易得这个方程的正数解为 $x = 5$。
注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
[初步尝试]
(1)利用上述一元二次方程的几何解法，求出方程 $x^2 + 4x - 21 = 0$ 的一个正根，并画图。
(2)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程 $2x^2 + 3x - 2 = 0$，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为 $x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$，即 $x(\_\_\_\_\_\_) = 1$；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；(在画图区画出示意图，标明各边长)
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______；
解得原方程的一个根为 ______。
[思维拓展]
(3)参照以上方法，直接写出关于$x$的一元二次方程 $ax^2 + bx = c$（$a,b,c$都是正数）的正数解（用含$a,b,c$的代数式表示）。
答案
12.(1)将 $x^2 +4x -21=0$ 改为 $x(x+4)=21,$
步骤一：代数变形
故 $21×4+4^2=(x+x+4)^2,$
步骤二：几何构造
步骤三：面积等式
解得 $x=3,$
步骤四：求解
故 $x^2 +4x -21=0$ 的一个正根为 3.
(2)$x+\frac{3}{2}$，$(x+x+\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4}$，$x=\frac{1}{2}$
[解析]将原方程变为 $x^2 +\frac{3}{2}x -1=0,$变形,得 $x(x+\frac{3}{2})=1;$
利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图(2)所示：
根据大正方形的面积可得新的方程：$(x+x+\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4},$
解得原方程的一个根为 $x=\frac{1}{2}.$
(3)$\because a$ 为整数,$\therefore$ 两边同除以 $a$,得 $x^2 +\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}$,
方程变形为 $x(x+\frac{b}{a})=\frac{c}{a}.$
根据赵爽的解法可得方程为$(x+x+\frac{b}{a})^2=4(\frac{c}{a})+(\frac{b}{a})^2.$
$\because a＞0,b＞0,c＞0,2x+\frac{b}{a}=\pm\sqrt{\frac{4c}{a}+(\frac{b}{a})^2},$
$\therefore x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4c}{a}+(\frac{b}{a})^2}-\frac{b}{2a}$(舍去负值).
故原方程的一个正数解为 $x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4c}{a}+(\frac{b}{a})^2}-\frac{b}{2a}.$
