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8. 已知关于x的多项式$(a-4)x^4 - x^b + x - b$是二次多项式，则$a+b$的值为（
A.6
B.5
C.4
D.8
A
）A.6
B.5
C.4
D.8
答案
8. A 因为关于x的多项式$(a-4)x^4 - x^b + x - b$是二次多项式,所以$a-4=0,b=2$.所以$a=4$.所以$a+b=4+2=6$.
9. ★关于$x,y$的多项式$x^2y^{m+1}+xy^2-2x^3-5$是六次四项式，单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与这个多项式的次数相同，则$m-n=$
1
。答案
9. 1 因为多项式$x^2y^{m+1}+xy^2-2x^3-5$是六次四项式,所以$2+m+1=6$.所以$m=3$.因为单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与这个多项式的次数相同,所以$2n+5-m=6$,即$2n+5-3=6$.所以$n=2$.所以$m-n=3-2=1$.
10. 如果一个整式具备以下三个条件:① 它是一个关于字母x的二次三项式;② 各项系数的和等于10;③ 它的二次项系数和常数项都比-2小1.满足这些条件的整式为
$-3x^2+16x-3$
.答案
10. $-3x^2+16x-3$ 因为它的二次项系数和常数项都比-2小1,所以二次项系数是-3,常数项是-3.因为各项系数的和等于10,所以一次项系数是$10-(-3)-(-3)=16$.所以满足这些条件的整式为$-3x^2+16x-3$.
11.（1）已知$(a-2)x^2 y^{|a|}$是关于$x,y$的四次单项式，求$a^2 +3a +6$的值.
（2）若$(m+n)x^2 y^{n+1}$是关于$x,y$的五次单项式且系数为6，求$m,n$的值.
（2）若$(m+n)x^2 y^{n+1}$是关于$x,y$的五次单项式且系数为6，求$m,n$的值.
答案
11. (1) 因为$(a-2)x^2 y^{|a|}$是关于$x,y$的四次单项式,所以$|a|=2,a-2≠0$.所以$a=-2$.当$a=-2$时,$a^2 +3a +6=(-2)^2+3×(-2)+6=4$.
(2) 因为$(m+n)x^2 y^{n+1}$是关于$x,y$的五次单项式且系数为6,所以$m+n=6,2+n+1=5$.所以$m=4,n=2$.
(2) 因为$(m+n)x^2 y^{n+1}$是关于$x,y$的五次单项式且系数为6,所以$m+n=6,2+n+1=5$.所以$m=4,n=2$.
12. 定义:若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍,则称这个多项式为“青一多项式”,称这个多项式的各项系数之和为“青一和”.例如:多项式$20x+8y$的各项系数之和为$20+8=28=7×4$,所以多项式$20x+8y$是“青一多项式”,它的“青一和”为28.请根据这个定义解答下列问题:
(1) 有下列多项式:①$2x^2 -9x$;②$3a+5b$;③$19x^2 -4x +2y -3x$.其中,属于“青一多项式”的是
(2) 若关于$x$的“青一多项式”$abx^2 -3x$的“青一和”为7,且$a,b$均为正整数,求$a+b$的值.
(3) 若多项式$4mx -ny$是关于$x,y$的“青一多项式”(其中$m,n$均为整数),则多项式$2mx +3ny$也是关于$x,y$的“青一多项式”吗?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
(1) 有下列多项式:①$2x^2 -9x$;②$3a+5b$;③$19x^2 -4x +2y -3x$.其中,属于“青一多项式”的是
①③
(填序号).(2) 若关于$x$的“青一多项式”$abx^2 -3x$的“青一和”为7,且$a,b$均为正整数,求$a+b$的值.
(3) 若多项式$4mx -ny$是关于$x,y$的“青一多项式”(其中$m,n$均为整数),则多项式$2mx +3ny$也是关于$x,y$的“青一多项式”吗?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
答案
12. (1) ①③ 因为多项式$2x^2 -9x$的各项系数之和为$2-9=-7=7×(-1)$,所以多项式$2x^2 -9x$是“青一多项式”.因为多项式$3a+5b$的各项系数之和为$3+5=8$,8不是7的整数倍,所以多项式$3a+5b$不是“青一多项式”.因为多项式$19x^2 -4x +2y -3x$的各项系数之和为$19-4+2-3=14=7×2$,所以多项式$19x^2 -4x +2y -3x$是“青一多项式”.
(2) 因为关于$x$的“青一多项式”$abx^2 -3x$的“青一和”为7,所以$ab-3=7$,即$ab=10$.因为$a,b$均为正整数,所以当$a=1,b=10$或$a=10,b=1$时,$a+b=11$;当$a=2,b=5$或$a=5,b=2$时,$a+b=7$.所以$a+b$的值为11或7.
(3) 是.理由:因为多项式$4mx -ny$是关于$x,y$的“青一多项式”,所以$4m-n=7k$($k$为整数).所以$n=4m-7k$.所以$2m+3n=2m+3(4m-7k)=14m-21k=7(2m-3k)$.因为$m,k$为整数,所以$2m-3k$为整数.所以$2m+3n$是7的整数倍.所以多项式$2mx +3ny$也是关于$x,y$的“青一多项式”.
(2) 因为关于$x$的“青一多项式”$abx^2 -3x$的“青一和”为7,所以$ab-3=7$,即$ab=10$.因为$a,b$均为正整数,所以当$a=1,b=10$或$a=10,b=1$时,$a+b=11$;当$a=2,b=5$或$a=5,b=2$时,$a+b=7$.所以$a+b$的值为11或7.
(3) 是.理由:因为多项式$4mx -ny$是关于$x,y$的“青一多项式”,所以$4m-n=7k$($k$为整数).所以$n=4m-7k$.所以$2m+3n=2m+3(4m-7k)=14m-21k=7(2m-3k)$.因为$m,k$为整数,所以$2m-3k$为整数.所以$2m+3n$是7的整数倍.所以多项式$2mx +3ny$也是关于$x,y$的“青一多项式”.
