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12.自行车有公路自行车、山地自行车及休闲自行车。公路自行车是指在公路(或人为硬化道路、砂石路)路面上使用的自行车车种,可用于公路自行车竞赛。为了使骑行达到高速,要求车身重量较轻且风阻较小。
(1)若车身材料要求强度高且轻便,则下表中最理想的材料是
(2)某品牌公路自行车的质量为14.6 kg,其中橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$,其余部分为铝合金。已知自行车所用铝合金的质量为12 kg,则橡胶的密度是多少?
(3)若将(2)中的公路自行车所用的铝合金换为碳纤维材料,则自行车的质量为多少?
(1)若车身材料要求强度高且轻便,则下表中最理想的材料是
碳纤维
。(2)某品牌公路自行车的质量为14.6 kg,其中橡胶占总体积的$\frac{1}{3}$,其余部分为铝合金。已知自行车所用铝合金的质量为12 kg,则橡胶的密度是多少?
(3)若将(2)中的公路自行车所用的铝合金换为碳纤维材料,则自行车的质量为多少?
答案
12.(1)碳纤维
(2)解:由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得, 铝合金的体积 $V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。设自行车的总体积为 $V$, 则有$(1-\frac{1}{3})V=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$, 则 $V=6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。橡胶的质量$m_{橡胶}=m_{总}-m_{铝合金}=14.6\ \mathrm{kg}-12\ \mathrm{kg}=2.6\ \mathrm{kg}$,橡胶的体积$V_{橡胶}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则橡胶的密度$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3)解:由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得, 若将所用的铝合金换为碳纤维, 其质量$m_{碳纤维}=\rho_{碳纤维}V_{铝合金}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=6.4\ \mathrm{kg}$,则自行车的质量 $m_{总}'=m_{碳纤维}+m_{橡胶}=6.4\ \mathrm{kg}+2.6\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{kg}$。
(2)解:由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得, 铝合金的体积 $V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。设自行车的总体积为 $V$, 则有$(1-\frac{1}{3})V=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$, 则 $V=6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。橡胶的质量$m_{橡胶}=m_{总}-m_{铝合金}=14.6\ \mathrm{kg}-12\ \mathrm{kg}=2.6\ \mathrm{kg}$,橡胶的体积$V_{橡胶}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则橡胶的密度$\rho_{橡胶}=\frac{m_{橡胶}}{V_{橡胶}}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3)解:由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得, 若将所用的铝合金换为碳纤维, 其质量$m_{碳纤维}=\rho_{碳纤维}V_{铝合金}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=6.4\ \mathrm{kg}$,则自行车的质量 $m_{总}'=m_{碳纤维}+m_{橡胶}=6.4\ \mathrm{kg}+2.6\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{kg}$。
解析
【分析】
第(1)问：根据题目要求“强度高且轻便”，“强度高”需对比表格中材料的强度，“轻便”对应密度小，结合两者选择符合条件的材料。
第(2)问：计算橡胶密度需先求其质量和体积，利用密度公式由铝合金的质量和密度算出铝合金体积；再根据铝合金占总体积的比例求出总体积，进而得到橡胶体积；橡胶质量为总质量减去铝合金质量，最后用密度公式计算橡胶密度。
第(3)问：更换材料时，碳纤维体积等于原铝合金体积，利用密度公式算出碳纤维质量，加上橡胶质量得到新的总质量。
【解析】
(1) 由表格可知，碳纤维强度为“强”，且密度是四种材料中最小的，符合“强度高且轻便”的要求，故最理想材料是碳纤维。
(2) 解：根据$\rho=\frac{m}{V}$，铝合金体积：
$V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
设自行车总体积为$V$，铝合金占总体积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，则$\frac{2}{3}V=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，得$V=6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
橡胶质量：$m_{橡胶}=14.6\ \mathrm{kg}-12\ \mathrm{kg}=2.6\ \mathrm{kg}$，
橡胶体积：$V_{橡胶}=\frac{1}{3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
橡胶密度：$\rho_{橡胶}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 解：碳纤维体积$V_{碳纤维}=V_{铝合金}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
碳纤维质量：$m_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=6.4\ \mathrm{kg}$，
更换后自行车总质量：$m_{总}'=6.4\ \mathrm{kg}+2.6\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) 碳纤维；(2) $1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $9\ \mathrm{kg}$
【知识点】
密度公式应用、质量体积关系
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的灵活运用，需理清各材料的体积、质量关联，注重知识的实际应用，步骤清晰。
【难度系数】
0.6
第(1)问：根据题目要求“强度高且轻便”，“强度高”需对比表格中材料的强度，“轻便”对应密度小，结合两者选择符合条件的材料。
第(2)问：计算橡胶密度需先求其质量和体积，利用密度公式由铝合金的质量和密度算出铝合金体积；再根据铝合金占总体积的比例求出总体积，进而得到橡胶体积；橡胶质量为总质量减去铝合金质量，最后用密度公式计算橡胶密度。
第(3)问：更换材料时，碳纤维体积等于原铝合金体积，利用密度公式算出碳纤维质量，加上橡胶质量得到新的总质量。
【解析】
(1) 由表格可知，碳纤维强度为“强”，且密度是四种材料中最小的，符合“强度高且轻便”的要求，故最理想材料是碳纤维。
(2) 解：根据$\rho=\frac{m}{V}$，铝合金体积：
$V_{铝合金}=\frac{m_{铝合金}}{\rho_{铝合金}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
设自行车总体积为$V$，铝合金占总体积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，则$\frac{2}{3}V=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，得$V=6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
橡胶质量：$m_{橡胶}=14.6\ \mathrm{kg}-12\ \mathrm{kg}=2.6\ \mathrm{kg}$，
橡胶体积：$V_{橡胶}=\frac{1}{3}×6×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
橡胶密度：$\rho_{橡胶}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 解：碳纤维体积$V_{碳纤维}=V_{铝合金}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
碳纤维质量：$m_{碳纤维}=1.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=6.4\ \mathrm{kg}$，
更换后自行车总质量：$m_{总}'=6.4\ \mathrm{kg}+2.6\ \mathrm{kg}=9\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) 碳纤维；(2) $1.3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $9\ \mathrm{kg}$
【知识点】
密度公式应用、质量体积关系
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的灵活运用，需理清各材料的体积、质量关联，注重知识的实际应用，步骤清晰。
【难度系数】
0.6
13.脱蜡铸造是加工饰物或复杂零件的一种方法。加工一个铝质的小狗挂饰的做法如图所示:先用蜡制作一个小狗挂饰蜡模,再在小狗挂饰蜡模周围浇注耐火泥浆,待泥浆干燥后,加热使小狗挂饰蜡模熔化流出,制成小狗挂饰蜡模形状的模穴,最后将熔化成液体的铝液倒入模穴内,待铝冷却凝固后取出便得到铝质小狗挂饰。已知小狗挂饰蜡模的质量是3.6 g,蜡的密度是$0.9×10^3 kg/m^3$,铝的密度是$2.7×10^3 kg/m^3$。求：
(1)小狗挂饰蜡模的体积。
(2)制成的铝质小狗挂饰的质量。
(3)为了节约材料,工人在铝质小狗挂饰中留置$2 cm^3$的空心,在空心填满沙子后小狗挂饰的总质量为8.7 g,则所填沙子的密度。
(1)小狗挂饰蜡模的体积。
(2)制成的铝质小狗挂饰的质量。
(3)为了节约材料,工人在铝质小狗挂饰中留置$2 cm^3$的空心,在空心填满沙子后小狗挂饰的总质量为8.7 g,则所填沙子的密度。
答案
13.解:(1)小狗挂饰蜡模的体积为 $V_{蜡}=\frac{m_{蜡}}{\rho_{蜡}}=\frac{3.6\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=4\ \mathrm{cm}^3$。
(2)铝的体积等于蜡的体积,即 $V_{铝}=V_{蜡}=4\ \mathrm{cm}^3$,则制成的铝质小狗挂饰质量为 $m_{铝}=\rho_{铝}V_{铝}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×4\ \mathrm{cm}^3=10.8\ \mathrm{g}$。
(3)留置$2\ \mathrm{cm}^3$的空心后,铝质小狗挂饰中铝的质量为 $m_{铝}'=\rho_{铝}V_{铝}'=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×(4\ \mathrm{cm}^3-2\ \mathrm{cm}^3)=5.4\ \mathrm{g}$,空心处填充沙子的质量为 $m_{沙}=m_{总}-m_{铝}'=8.7\ \mathrm{g}-5.4\ \mathrm{g}=3.3\ \mathrm{g}$,则所填沙子的密度为 $\rho_{沙}=\frac{m_{沙}}{V_{沙}}=\frac{3.3\ \mathrm{g}}{2\ \mathrm{cm}^3}=1.65\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)铝的体积等于蜡的体积,即 $V_{铝}=V_{蜡}=4\ \mathrm{cm}^3$,则制成的铝质小狗挂饰质量为 $m_{铝}=\rho_{铝}V_{铝}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×4\ \mathrm{cm}^3=10.8\ \mathrm{g}$。
(3)留置$2\ \mathrm{cm}^3$的空心后,铝质小狗挂饰中铝的质量为 $m_{铝}'=\rho_{铝}V_{铝}'=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×(4\ \mathrm{cm}^3-2\ \mathrm{cm}^3)=5.4\ \mathrm{g}$,空心处填充沙子的质量为 $m_{沙}=m_{总}-m_{铝}'=8.7\ \mathrm{g}-5.4\ \mathrm{g}=3.3\ \mathrm{g}$,则所填沙子的密度为 $\rho_{沙}=\frac{m_{沙}}{V_{沙}}=\frac{3.3\ \mathrm{g}}{2\ \mathrm{cm}^3}=1.65\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：
1. 求蜡模体积：已知蜡模的质量和蜡的密度，利用密度公式的变形$ V=\frac{m}{\rho} $直接计算；
2. 求铝质挂饰质量：铝的体积等于蜡模的体积（模穴体积与蜡模体积相等），再用密度公式变形$ m=\rho V $计算铝的质量；
3. 求沙子密度：先算出空心部分铝的体积，得到空心处铝的质量，总质量减去铝的质量得沙子质量，沙子体积等于空心体积，最后用密度公式计算沙子密度。
【解析】
解：(1) 已知蜡模质量$ m_{蜡}=3.6\ \mathrm{g} $，蜡的密度$ \rho_{蜡}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=0.9\ \mathrm{g/cm^3} $，根据$ \rho=\frac{m}{V} $，蜡模体积：
$ V_{蜡}=\frac{m_{蜡}}{\rho_{蜡}}=\frac{3.6\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm^3}}=4\ \mathrm{cm^3} $。
(2) 铝的体积等于蜡模体积，即$ V_{铝}=V_{蜡}=4\ \mathrm{cm^3} $，铝的密度$ \rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=2.7\ \mathrm{g/cm^3} $，则铝质小狗挂饰质量：
$ m_{铝}=\rho_{铝}V_{铝}=2.7\ \mathrm{g/cm^3}×4\ \mathrm{cm^3}=10.8\ \mathrm{g} $。
(3) 留置空心体积$ V_{空}=2\ \mathrm{cm^3} $，此时铝的体积$ V_{铝}'=V_{蜡}-V_{空}=4\ \mathrm{cm^3}-2\ \mathrm{cm^3}=2\ \mathrm{cm^3} $，空心处铝的质量：
$ m_{铝}'=\rho_{铝}V_{铝}'=2.7\ \mathrm{g/cm^3}×2\ \mathrm{cm^3}=5.4\ \mathrm{g} $。
空心处沙子质量：$ m_{沙}=m_{总}-m_{铝}'=8.7\ \mathrm{g}-5.4\ \mathrm{g}=3.3\ \mathrm{g} $，沙子体积$ V_{沙}=V_{空}=2\ \mathrm{cm^3} $，则沙子密度：
$ \rho_{沙}=\frac{m_{沙}}{V_{沙}}=\frac{3.3\ \mathrm{g}}{2\ \mathrm{cm^3}}=1.65\ \mathrm{g/cm^3} $。
【答案】
(1) $ 4\ \mathrm{cm^3} $；(2) $ 10.8\ \mathrm{g} $；(3) $ 1.65\ \mathrm{g/cm^3} $
【知识点】
密度公式的应用
【点评】
本题结合脱蜡铸造的实际场景，考查密度公式的基础应用，步骤清晰，侧重对公式变形的掌握，是初中物理密度部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：
1. 求蜡模体积：已知蜡模的质量和蜡的密度，利用密度公式的变形$ V=\frac{m}{\rho} $直接计算；
2. 求铝质挂饰质量：铝的体积等于蜡模的体积（模穴体积与蜡模体积相等），再用密度公式变形$ m=\rho V $计算铝的质量；
3. 求沙子密度：先算出空心部分铝的体积，得到空心处铝的质量，总质量减去铝的质量得沙子质量，沙子体积等于空心体积，最后用密度公式计算沙子密度。
【解析】
解：(1) 已知蜡模质量$ m_{蜡}=3.6\ \mathrm{g} $，蜡的密度$ \rho_{蜡}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=0.9\ \mathrm{g/cm^3} $，根据$ \rho=\frac{m}{V} $，蜡模体积：
$ V_{蜡}=\frac{m_{蜡}}{\rho_{蜡}}=\frac{3.6\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm^3}}=4\ \mathrm{cm^3} $。
(2) 铝的体积等于蜡模体积，即$ V_{铝}=V_{蜡}=4\ \mathrm{cm^3} $，铝的密度$ \rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=2.7\ \mathrm{g/cm^3} $，则铝质小狗挂饰质量：
$ m_{铝}=\rho_{铝}V_{铝}=2.7\ \mathrm{g/cm^3}×4\ \mathrm{cm^3}=10.8\ \mathrm{g} $。
(3) 留置空心体积$ V_{空}=2\ \mathrm{cm^3} $，此时铝的体积$ V_{铝}'=V_{蜡}-V_{空}=4\ \mathrm{cm^3}-2\ \mathrm{cm^3}=2\ \mathrm{cm^3} $，空心处铝的质量：
$ m_{铝}'=\rho_{铝}V_{铝}'=2.7\ \mathrm{g/cm^3}×2\ \mathrm{cm^3}=5.4\ \mathrm{g} $。
空心处沙子质量：$ m_{沙}=m_{总}-m_{铝}'=8.7\ \mathrm{g}-5.4\ \mathrm{g}=3.3\ \mathrm{g} $，沙子体积$ V_{沙}=V_{空}=2\ \mathrm{cm^3} $，则沙子密度：
$ \rho_{沙}=\frac{m_{沙}}{V_{沙}}=\frac{3.3\ \mathrm{g}}{2\ \mathrm{cm^3}}=1.65\ \mathrm{g/cm^3} $。
【答案】
(1) $ 4\ \mathrm{cm^3} $；(2) $ 10.8\ \mathrm{g} $；(3) $ 1.65\ \mathrm{g/cm^3} $
【知识点】
密度公式的应用
【点评】
本题结合脱蜡铸造的实际场景，考查密度公式的基础应用，步骤清晰，侧重对公式变形的掌握，是初中物理密度部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
