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9.若分式$\frac{4}{2x+1}$的值为整数，则$x$的整数值为
0或-1
。答案
9.0或-1
解析
【分析】
若分式的值为整数且分子为固定整数，那么分母一定是分子的整数约数（正、负约数都需考虑），同时要满足分母不为0的分式有意义条件。本题分子为4，因此先找出4的所有整数约数，再令分母等于各约数求解x，最后筛选出x为整数的结果即可。
【解析】
要使分式$\frac{4}{2x+1}$的值为整数，且$x$为整数，需满足：分母$2x+1$是4的整数约数，且$2x+1≠0$。
4的所有整数约数为$\pm1,\pm2,\pm4$，分情况计算：
1. 当$2x+1=1$时，解得$x=0$，为整数，符合要求；
2. 当$2x+1=-1$时，解得$x=-1$，为整数，符合要求；
3. 当$2x+1=2$时，解得$x=\frac{1}{2}$，不是整数，舍去；
4. 当$2x+1=-2$时，解得$x=-\frac{3}{2}$，不是整数，舍去；
5. 当$2x+1=4$时，解得$x=\frac{3}{2}$，不是整数，舍去；
6. 当$2x+1=-4$时，解得$x=-\frac{5}{2}$，不是整数，舍去。
综上，$x$的整数值为0或-1。
【答案】
0或-1
【知识点】
分式的值，整数约数，一元一次方程解法
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，解题核心是将分式值为整数的条件转化为分母是分子的整数约数，解题时需注意不要遗漏负约数，同时要对解出的结果进行筛选，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
若分式的值为整数且分子为固定整数，那么分母一定是分子的整数约数（正、负约数都需考虑），同时要满足分母不为0的分式有意义条件。本题分子为4，因此先找出4的所有整数约数，再令分母等于各约数求解x，最后筛选出x为整数的结果即可。
【解析】
要使分式$\frac{4}{2x+1}$的值为整数，且$x$为整数，需满足：分母$2x+1$是4的整数约数，且$2x+1≠0$。
4的所有整数约数为$\pm1,\pm2,\pm4$，分情况计算：
1. 当$2x+1=1$时，解得$x=0$，为整数，符合要求；
2. 当$2x+1=-1$时，解得$x=-1$，为整数，符合要求；
3. 当$2x+1=2$时，解得$x=\frac{1}{2}$，不是整数，舍去；
4. 当$2x+1=-2$时，解得$x=-\frac{3}{2}$，不是整数，舍去；
5. 当$2x+1=4$时，解得$x=\frac{3}{2}$，不是整数，舍去；
6. 当$2x+1=-4$时，解得$x=-\frac{5}{2}$，不是整数，舍去。
综上，$x$的整数值为0或-1。
【答案】
0或-1
【知识点】
分式的值，整数约数，一元一次方程解法
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，解题核心是将分式值为整数的条件转化为分母是分子的整数约数，解题时需注意不要遗漏负约数，同时要对解出的结果进行筛选，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
10. 当$x$取什么值时，下列分式有意义？
(1)$\frac{2}{|x|-1}$；
(2)$\frac{x}{(x+1)(x-2)}$；
(3)$\frac{x+1}{x^2+2}$。
(1)$\frac{2}{|x|-1}$；
(2)$\frac{x}{(x+1)(x-2)}$；
(3)$\frac{x+1}{x^2+2}$。
答案
10.(1)$x≠±1$ (2)$x≠-1$且$x≠2$ (3)$x$可取一切实数
解析
【分析】
要判断分式有意义的x取值，核心依据是“分式有意义时分母不能为0”，解题步骤为：先找到每个分式的分母，令分母不等于0，求解不等式得到x的限制范围即可。
(1)第一问分母含绝对值，解绝对值不等于1的不等式即可得到x的限制；
(2)第二问分母是两个因式的乘积，要乘积不为0，需两个因式都不为0，分别列不等式求解；
(3)第三问分母含x的平方，结合平方的非负性判断分母是否可能为0，再确定x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0，据此分别求解：
(1) 对于$\frac{2}{|x|-1}$，令分母$|x|-1≠0$，
移项得$|x|≠1$，解得$x≠1$且$x≠-1$，即$x≠±1$。
(2) 对于$\frac{x}{(x+1)(x-2)}$，令分母$(x+1)(x-2)≠0$，
则需满足$x+1≠0$且$x-2≠0$，分别解得$x≠-1$，$x≠2$，即$x≠-1$且$x≠2$。
(3) 对于$\frac{x+1}{x^2+2}$，分母为$x^2+2$，
对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2＞0$，分母永远不为0，因此x可取一切实数。
【答案】
(1)$x≠±1$ (2)$x≠-1$且$x≠2$ (3)$x$可取一切实数
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.绝对值不等式求解 3.平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的要求，遇到乘积形式的分母要注意每个因式都不能为0，含平方的项可结合非负性快速判断分母的取值范围。
【难度系数】
0.85
要判断分式有意义的x取值，核心依据是“分式有意义时分母不能为0”，解题步骤为：先找到每个分式的分母，令分母不等于0，求解不等式得到x的限制范围即可。
(1)第一问分母含绝对值，解绝对值不等于1的不等式即可得到x的限制；
(2)第二问分母是两个因式的乘积，要乘积不为0，需两个因式都不为0，分别列不等式求解；
(3)第三问分母含x的平方，结合平方的非负性判断分母是否可能为0，再确定x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0，据此分别求解：
(1) 对于$\frac{2}{|x|-1}$，令分母$|x|-1≠0$，
移项得$|x|≠1$，解得$x≠1$且$x≠-1$，即$x≠±1$。
(2) 对于$\frac{x}{(x+1)(x-2)}$，令分母$(x+1)(x-2)≠0$，
则需满足$x+1≠0$且$x-2≠0$，分别解得$x≠-1$，$x≠2$，即$x≠-1$且$x≠2$。
(3) 对于$\frac{x+1}{x^2+2}$，分母为$x^2+2$，
对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$x^2+2≥2＞0$，分母永远不为0，因此x可取一切实数。
【答案】
(1)$x≠±1$ (2)$x≠-1$且$x≠2$ (3)$x$可取一切实数
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.绝对值不等式求解 3.平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的要求，遇到乘积形式的分母要注意每个因式都不能为0，含平方的项可结合非负性快速判断分母的取值范围。
【难度系数】
0.85
11. 仔细阅读下面的材料并解答问题.
(1)当$x$取何值时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数?
(2)当$x$取何值时,分式$\frac{x-3}{x^3 - 2x^2 + x}$的值为负数?
(1)当$x$取何值时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值为负数?
(2)当$x$取何值时,分式$\frac{x-3}{x^3 - 2x^2 + x}$的值为负数?
答案
11.(1)$-\frac{2}{3}＜x＜2$ (2)$0＜x＜3$且$x≠1$
解析
【分析】
要使分式的值为负数，根据有理数除法“异号得负”的法则，需满足分子和分母符号相反，同时要注意分式有意义的前提是分母不为0。对于（1）直接分两种情况列不等式组求解即可；对于（2）先将分母因式分解，利用平方的非负性简化判断，再结合分母不为0的限制求解。
【解析】
(1) 依题意得 $\frac{3x+2}{x-2} ＜ 0$，根据两数相除异号得负，分两种情况讨论：
① $\begin{cases}3x+2 ＞ 0 \\ x-2 ＜ 0 \end{cases}$ 或 ② $\begin{cases}3x+2 ＜ 0 \\ x-2 ＞ 0 \end{cases}$
解不等式组①：解$3x+2＞0$得$x＞-\frac{2}{3}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，因此不等式组①的解集为$-\frac{2}{3}＜x＜2$；
解不等式组②：$x＜-\frac{2}{3}$和$x＞2$没有公共部分，因此不等式组②无解。
(2) 先对分母因式分解：$x^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1) = x(x-1)^2$
要使分式有意义，分母不能为0，即$x(x-1)^2 ≠ 0$，得$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
依题意得 $\frac{x-3}{x(x-1)^2} ＜ 0$，当$x≠1$时$(x-1)^2＞0$，因此不等式可简化为$\frac{x-3}{x} ＜ 0$，分两种情况讨论：
① $\begin{cases}x-3 ＞ 0 \\ x ＜ 0 \end{cases}$ 或 ② $\begin{cases}x-3 ＜ 0 \\ x ＞ 0 \end{cases}$
解不等式组①：$x＞3$和$x＜0$没有公共部分，因此无解；
解不等式组②：解$x-3＜0$得$x＜3$，解$x＞0$得$x＞0$，结合分式有意义的限制$x≠1$，得解集为$0＜x＜3$且$x≠1$。
【答案】
(1) $-\frac{2}{3}＜x＜2$ (2) $0＜x＜3$且$x≠1$
【知识点】
分式的取值、解一元一次不等式组、因式分解
【点评】
解题核心是利用有理数除法的符号法则分类讨论，易错点是容易忽略分式有意义时分母不为0的限制，第二问借助平方的非负性可简化运算，减少分类讨论的复杂度。
【难度系数】
0.65
要使分式的值为负数，根据有理数除法“异号得负”的法则，需满足分子和分母符号相反，同时要注意分式有意义的前提是分母不为0。对于（1）直接分两种情况列不等式组求解即可；对于（2）先将分母因式分解，利用平方的非负性简化判断，再结合分母不为0的限制求解。
【解析】
(1) 依题意得 $\frac{3x+2}{x-2} ＜ 0$，根据两数相除异号得负，分两种情况讨论：
① $\begin{cases}3x+2 ＞ 0 \\ x-2 ＜ 0 \end{cases}$ 或 ② $\begin{cases}3x+2 ＜ 0 \\ x-2 ＞ 0 \end{cases}$
解不等式组①：解$3x+2＞0$得$x＞-\frac{2}{3}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，因此不等式组①的解集为$-\frac{2}{3}＜x＜2$；
解不等式组②：$x＜-\frac{2}{3}$和$x＞2$没有公共部分，因此不等式组②无解。
(2) 先对分母因式分解：$x^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1) = x(x-1)^2$
要使分式有意义，分母不能为0，即$x(x-1)^2 ≠ 0$，得$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
依题意得 $\frac{x-3}{x(x-1)^2} ＜ 0$，当$x≠1$时$(x-1)^2＞0$，因此不等式可简化为$\frac{x-3}{x} ＜ 0$，分两种情况讨论：
① $\begin{cases}x-3 ＞ 0 \\ x ＜ 0 \end{cases}$ 或 ② $\begin{cases}x-3 ＜ 0 \\ x ＞ 0 \end{cases}$
解不等式组①：$x＞3$和$x＜0$没有公共部分，因此无解；
解不等式组②：解$x-3＜0$得$x＜3$，解$x＞0$得$x＞0$，结合分式有意义的限制$x≠1$，得解集为$0＜x＜3$且$x≠1$。
【答案】
(1) $-\frac{2}{3}＜x＜2$ (2) $0＜x＜3$且$x≠1$
【知识点】
分式的取值、解一元一次不等式组、因式分解
【点评】
解题核心是利用有理数除法的符号法则分类讨论，易错点是容易忽略分式有意义时分母不为0的限制，第二问借助平方的非负性可简化运算，减少分类讨论的复杂度。
【难度系数】
0.65
