12.如图,对于直线AB,线段CD,射线EF,其中能相交的是（）

A
B
C
D

12.B

【分析】要判断直线、线段、射线是否能相交，首先要明确三者的延伸特点：直线没有端点，可向两端无限延伸；射线只有1个端点，仅能向端点外（射线表示中第二个字母所在的方向）无限延伸；线段有2个端点，无法延伸。我们只需逐个分析选项中图形延伸后是否存在交点即可得到答案。
【解析】逐一分析各选项：
A选项：直线AB虽可向两端无限延伸，但线段CD两端固定无法延伸，二者没有交点，不符合要求；
B选项：直线AB可向两端无限延伸，射线EF以E为端点，向F所在的左上方无限延伸，二者延伸后会产生交点，符合要求；
C选项：线段CD两端固定无法延伸，射线EF以E为端点仅能向右水平延伸，二者没有交点，不符合要求；
D选项：射线EF以E为端点仅能向右水平延伸，直线AB向两端延伸后也无法与射线EF相交，不符合要求。
【答案】B
【知识点】直线的特征；射线的特征；线段的特征
【点评】本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握直线、射线、线段的延伸特点，结合图形方向判断延伸后是否存在交点即可。
【难度系数】0.7

13.若四条直线在平面内交点的个数为$ a $，则$ a $的可能取值有（）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

13.D

【分析】
解题时我们需要分类讨论四条直线的所有位置关系，按照从特殊到一般的顺序，分别考虑直线互相平行、多条直线共点的情况，逐一计算对应的交点个数，排除不可能的取值，最后统计不同交点数的总个数即可得到答案。
【解析】
我们对平面内四条不重合直线的位置关系分情况讨论，计算对应的交点个数$a$：
1. 四条直线全部互相平行：此时没有交点，$a=0$；
2. 四条直线全部交于同一个点：此时只有1个交点，$a=1$；
3. 三条直线互相平行，第四条直线与这三条直线都相交：此时共有3个交点，$a=3$；
4. 有两种情况可得$a=4$：
① 四条直线分为两组，每组两条互相平行，两组直线互不平行，此时共有$2×2=4$个交点；
② 三条直线交于同一个点，第四条直线与这三条直线都相交且不经过该公共点，此时共有$1+3=4$个交点；
5. 两条直线互相平行，另外两条直线互不平行、也不与前两条平行，且不存在三条直线共点的情况：此时总交点数为$2+2+1=5$，即$a=5$；
6. 四条直线两两相交，没有互相平行的直线，也没有三条及以上直线共点：每两条直线相交得到1个不重复的交点，总共有$4×3÷2=6$个交点，即$a=6$。
经分析，不存在交点数为2的情况，因此$a$的可能取值为0、1、3、4、5、6，共6种。
【答案】
D
【知识点】
直线的位置关系、分类讨论思想、相交与平行
【点评】
本题重点考查对平面内直线相交、平行位置关系的理解，需要熟练运用分类讨论思想梳理所有特殊位置情况，避免漏算或错算不存在的交点数。
【难度系数】
0.6

14.如图所示，图中有直线条，射线条，线段条。

14.4 18 6

【分析】
解题前先明确三类线的核心特征：①直线无端点，可向两端无限延伸，两点确定一条直线；②射线有1个端点，可向一端无限延伸，端点不同或方向不同都属于不同射线；③线段有2个端点，长度有限。计数时按“直线→射线→线段”的顺序有序统计，避免重复和遗漏：数直线直接找独立的无限延伸的线；数射线时先统计每个端点经过的直线数，每条直线上的一个端点对应2条射线；数线段时按端点顺序枚举，避免重复。
【解析】
1. 数直线：图中独立的直线共4条，分别是过A、B、C的水平直线，直线AD，直线BD，直线CD。
2. 数射线：逐个端点统计：
点A有2条直线经过，对应射线数：$2×2=4$条；
点B有2条直线经过，对应射线数：$2×2=4$条；
点C有2条直线经过，对应射线数：$2×2=4$条；
点D有3条直线经过，对应射线数：$3×2=6$条；
射线总数为$4+4+4+6=18$条。
3. 数线段：按顺序枚举不重复的线段：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条。
【答案】
4；18；6
【知识点】
直线的定义；射线的定义；线段的计数
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对三类线特征的掌握，计数时遵循固定顺序可减少错误，其中射线的方向性是高频易错点。
【难度系数】
0.6

15.如图，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线，最多可将平面分成56个部分，则n的值为.

15.10

【分析】
我们先从已知的小数量直线分平面的情况入手找规律：1条直线分平面2个，2条最多分4个，3条最多分7个，4条最多分11个，观察可得每增加1条直线，最多新增的部分数等于当前直线的数量，由此可归纳出n条直线最多分平面数量的代数式，再结合最多分56个部分的条件求解n即可，注意n是正整数。
【解析】
首先推导n条直线最多分平面的数量规律：
观察已知数据：
1条直线：最多分平面$2=1+1$
2条直线：最多分平面$4=1+1+2$
3条直线：最多分平面$7=1+1+2+3$
4条直线：最多分平面$11=1+1+2+3+4$
归纳可得，n条直线最多分平面的数量为：$1+(1+2+3+\dots+n)$
其中$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此n条直线最多分平面的数量可表示为$1+\frac{n(n+1)}{2}$。
根据题意列等式：
$1+\frac{n(n+1)}{2}=56$
化简得：$n(n+1)=110$
n为正整数，且n与n+1是相邻正整数，计算可知$10×11=110$，因此n=10（负数值不符合直线数量的实际意义，舍去）。
【答案】
10
【知识点】
规律探究，列代数式，整数求值
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，解题核心是从特殊示例中归纳出通用的数量关系，再结合题干条件求解，需要注意计算结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.6

16.如图,平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图:
(1)画直线AB,CD交于点E;
(2)画线段AC,BD交于点F;
(3)连接AD,并将其反向延长;
(4)作射线BC;
(5)求一点P,使点P既在直线AB上又在直线CD上.

16. 解：如图所示.

【分析】
解决本题首先要明确直线、射线、线段的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，仅可向端点外一侧无限延伸；线段有2个端点，不可延伸。解题时按要求依次作图：首先画可双向延伸的直线AB、CD，二者的交点就是E，这个交点同时在两条直线上，也就是第(5)问要找的P；画线段AC、BD时只需连接两个端点，不需要出头，二者的交点记为F；连接AD得到线段后，反向延长就是沿与A到D相反的方向延伸；作射线BC时要以B为端点，过C向C的一侧延伸即可。
【解析】
1. 过A、B两点画两端出头的直线，过C、D两点画两端出头的直线，两条直线的交点标记为E；
2. 连接A、C得到线段AC，连接B、D得到线段BD，两条线段的交点标记为F；
3. 连接A、D得到线段AD，沿D向A的方向继续向外延伸，得到AD的反向延长线；
4. 以B为端点，过点C画射线，向C所在的一侧无限延伸；
5. 直线AB与CD的交点E同时在两条直线上，即为所求的点P，标记为E(P)。
【答案】

【知识点】
直线的画法，射线与线段的画法，两直线交点性质
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查对直线、射线、线段三类线特征的掌握，作图时要注意区分三类线的延伸性特点，避免作图不规范。
【难度系数】
0.9

17.(核心素养·模型观念)往返于甲、乙两地的客车,中途有三个站,其中每两站的票价不同.问:
(1)要有多少种不同的票价?
(2)要准备多少种车票?

17. 解:根据线段的定义,可知图中线段有AC,AD,AE,AB,CD,CE ,CB, DE,DB,EB共10条.(1)有10种不同的票价. (2)因车票需要考虑方向性,如“A→C”与“C→A”票价相同,但方向不同,故需要准备20种车票.

【分析】
解题时首先明确：不同的票价对应两个站点之间不同的路程，也就是对应两点之间的不同线段，票价和方向无关；而车票需要区分出发站和到达站，具有方向性。首先确定总站点数：甲、乙两地加上中途3个站，一共5个站点，对应线段上的5个点，先计算出总共有多少条不同的线段，即可得到票价的种数；再根据车票有往返方向的差异，用线段数乘2就能得到车票的种数。
【解析】
解：首先确定总站点数：甲(A)、乙(B)加上中途C、D、E，共5个站点，对应线段上的5个点。
按顺序数不重复的线段：从A出发的线段有AC、AD、AE、AB共4条；从C出发的不重复线段有CD、CE、CB共3条；从D出发的不重复线段有DE、DB共2条；从E出发的不重复线段有EB共1条。总线段数为$4+3+2+1=10$条。
(1) 不同的线段对应不同的路程，即对应不同的票价，因此共有10种不同的票价。
(2) 车票需要考虑方向性，例如“A→C”和“C→A”票价相同，但属于两种不同的车票，因此车票总种数为线段数的2倍，即$10×2=20$种。
【答案】
(1)10种；(2)20种
【知识点】
线段的计数；线段的实际应用
【点评】
本题将线段计数的知识与生活实际结合，解题的关键是区分票价和车票的差异：票价仅与两站之间的距离有关，无方向差异；车票需要区分往返方向，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7

如图，已知每过两点可以画一条直线.

(1)【直接应用】试验观察：
图1最多可以画条直线；
图2最多可以画条直线；
图3最多可以画条直线.
(2)【探索归纳】
如果平面上有$n(n≥3)$个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么最多可以画条直线.(用含$n$的式子表示)
(3)【变式应用】
某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握了次手.

微专题9:(1)3 6 10 (2)$\frac{n(n-1)}{2}$ (3)990

【分析】
要解决这类问题，首先明确“最多画直线”的前提是任意3个点不在同一直线上，此时过任意两点均可画1条唯一的直线。解题时先从特殊情况入手：①第一问先数出每幅图的点数，通过枚举或初步计算得到对应直线数；②第二问从特殊到一般推导通用公式：每个点可以和其余n-1个点各连1条直线，总共有n(n-1)条，但每条直线会被两个端点各计算1次，存在重复，因此除以2即可得到不重复的最多直线数；③第三问属于实际应用，两人握1次手对应两点连1条直线，直接代入推导的公式计算即可。
【解析】
(1) 图1共有3个点，任意3点不共线时，最多画直线数量为：$\frac{3×(3-1)}{2}=3$（条）；
图2共有4个点，最多画直线数量为：$\frac{4×(4-1)}{2}=6$（条）；
图3共有5个点，最多画直线数量为：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（条）。
(2) 当平面上有$n(n≥3)$个点，且任意3个点均不在一条直线上时，每个点可与剩下的$n-1$个点各画1条直线，共得到$n(n-1)$条直线，由于每条直线被2个端点重复计算了1次，因此最多可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
(3) 45名同学每两人握1次手，相当于$n=45$个点两两连线，代入公式得：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$（次）。
【答案】
(1)3；6；10
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$
(3)990
【知识点】
两点确定一条直线；图形规律探究；实际问题应用
【点评】
本题结合直线的基本性质考察规律归纳与应用能力，解题核心是理解“两两组合时要去掉重复计算的部分”，推导得到的通用公式也可直接用于同类握手、比赛场次等问题的求解。
【难度系数】
0.7