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5. 观察下列各式: $1^3=1=\frac{1}{4}×1^2×2^2$,
$1^3+2^3=9=\frac{1}{4}×2^2×3^2$,
$1^3+2^3+3^3=36=\frac{1}{4}×3^2×4^2$,
$1^3+2^3+3^3+4^3=100=\frac{1}{4}×4^2×5^2,···$.
回答下面的问题:
(1) 猜想: $1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + (n-1)^3 + n^3 =$
(2) 求 $11^3 + 12^3 + ··· + 19^3 + 20^3$ 的值.
$1^3+2^3=9=\frac{1}{4}×2^2×3^2$,
$1^3+2^3+3^3=36=\frac{1}{4}×3^2×4^2$,
$1^3+2^3+3^3+4^3=100=\frac{1}{4}×4^2×5^2,···$.
回答下面的问题:
(1) 猜想: $1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + (n-1)^3 + n^3 =$
$\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
;(2) 求 $11^3 + 12^3 + ··· + 19^3 + 20^3$ 的值.
答案
(1) $\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2$
(2) $11^3+12^3+\dots+19^3+20^3$
$=1^3+2^3+3^3+\dots+19^3+20^3-(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3)$
$=\dfrac{1}{4}×20^2×21^2-\dfrac{1}{4}×10^2×11^2$
$=44\ 100-3\ 025$
$=41\ 075$
(2) $11^3+12^3+\dots+19^3+20^3$
$=1^3+2^3+3^3+\dots+19^3+20^3-(1^3+2^3+3^3+\dots+10^3)$
$=\dfrac{1}{4}×20^2×21^2-\dfrac{1}{4}×10^2×11^2$
$=44\ 100-3\ 025$
$=41\ 075$
6.探索规律.
(1)观察上面的图,发现:
图①中空白部分小正方形的个数是$2^2 -1^2 =2+1$;
图②中空白部分小正方形的个数是$4^2 -3^2 =4+3$;
图③中空白部分小正方形的个数是$5^2 -4^2 =$
(2)像这样继续排列下去,你会发现一些有趣的规律,请你再写出一道算式:
(3)运用规律计算:$(2027^2 -2026^2 +2025^2 -2024^2 +2023^2 -2022^2 +\dots +2^2 -1^2)÷1014$.
(1)观察上面的图,发现:
图①中空白部分小正方形的个数是$2^2 -1^2 =2+1$;
图②中空白部分小正方形的个数是$4^2 -3^2 =4+3$;
图③中空白部分小正方形的个数是$5^2 -4^2 =$
5
+4
;(2)像这样继续排列下去,你会发现一些有趣的规律,请你再写出一道算式:
$6^2-5^2=6+5$(答案不唯一)
;(3)运用规律计算:$(2027^2 -2026^2 +2025^2 -2024^2 +2023^2 -2022^2 +\dots +2^2 -1^2)÷1014$.
答案
(1) 5；4
(2) $6^2-5^2=6+5$(答案不唯一)
(3) $(2\ 027^2 -2\ 026^2 +2\ 025^2 -2\ 024^2 +2\ 023^2 -2\ 022^2 +\dots +2^2 -1^2)÷1\ 014$
$=(2\ 027+2\ 026+2\ 025+2\ 024+2\ 023+2\ 022+\dots+2+1)÷1\ 014$
$=\dfrac{(1+2\ 027)×2\ 027}{2}÷1\ 014$
$=1\ 014×2\ 027÷1\ 014$
$=2\ 027$
(2) $6^2-5^2=6+5$(答案不唯一)
(3) $(2\ 027^2 -2\ 026^2 +2\ 025^2 -2\ 024^2 +2\ 023^2 -2\ 022^2 +\dots +2^2 -1^2)÷1\ 014$
$=(2\ 027+2\ 026+2\ 025+2\ 024+2\ 023+2\ 022+\dots+2+1)÷1\ 014$
$=\dfrac{(1+2\ 027)×2\ 027}{2}÷1\ 014$
$=1\ 014×2\ 027÷1\ 014$
$=2\ 027$
7. 阅读材料:因为一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以当$a≥0$时,$|a|=a$,如$|2|=2,|2-1|=2-1=1$;当$a＜0$时,$|a|=-a$,如$|-2|=2,|1-2|=-(1-2)=2-1=1$.
根据以上信息回答下列问题:
(1)$|7-5|=$
(2)计算:$\left|\frac{1}{2}-1\right| + \left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right| + \left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right| + \left|\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right| + \left|\frac{1}{6}-\frac{1}{5}\right| + \left|\frac{1}{7}-\frac{1}{6}\right| + \left|\frac{1}{8}-\frac{1}{7}\right|.$
根据以上信息回答下列问题:
(1)$|7-5|=$
2
;$|3-3.14|=$0.14
;(2)计算:$\left|\frac{1}{2}-1\right| + \left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right| + \left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right| + \left|\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right| + \left|\frac{1}{6}-\frac{1}{5}\right| + \left|\frac{1}{7}-\frac{1}{6}\right| + \left|\frac{1}{8}-\frac{1}{7}\right|.$
答案
(1) 2；0.14
(2) $\left|\dfrac{1}{2}-1\right| + \left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right| + \left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right| + \left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right| + \left|\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{5}\right| + \left|\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{6}\right| + \left|\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{7}\right|$
$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}$
$=1-\dfrac{1}{8}$
$=\dfrac{7}{8}$
(2) $\left|\dfrac{1}{2}-1\right| + \left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right| + \left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right| + \left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right| + \left|\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{5}\right| + \left|\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{6}\right| + \left|\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{7}\right|$
$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}$
$=1-\dfrac{1}{8}$
$=\dfrac{7}{8}$
