22. 聚焦 中考 尺规作图 「2026浙江台州仙居期末，★☆」（8分）在圆的学习中，九(1)班同学想到了多种“过圆外一点P作⊙O的切线”的方法.
小雪的作法:如图1,连接PO并延长,交⊙O于点M,N,以点P为圆心,PO长为半径作弧,再以点O为圆心,MN长为半径作弧,两条弧交于点E,连接OE,交⊙O于点A,连接PA,PA即为所求.
(1)求证:PA为⊙O的切线.
(2)如图2,小晨用同样的方法作出经过圆外一点P的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,连接BN,若BN//PA,求∠APB的度数.

22.解析 (1)证明:连接$PE$,如图1,
由作图可知,$PO=PE$,$OE=MN$,$OA$,$OM$,$ON$为$\odot O$的半径,
$\because MN=2OA$,$\therefore OE=2OA$,$\therefore AE=OA$. ……………… (2分)
$\because PO=PE$,$AE=OA$,$\therefore PA⊥ OA$,
$\therefore PA$是$\odot O$的切线. ……………… (4分)

(2)连接$OB$,如图2,
设$∠ APO=α$,
$\because PA$,$PB$是$\odot O$的切线,$OB$为$\odot O$的半径,
$\therefore ∠ APO=∠ BPO=α$,$∠ PBO=90°$,
$\therefore ∠ APB=2α$, ……………… (6分)
$\because BN// PA$,$\therefore ∠ PNB=∠ APO=α$,
$\because OB=ON$,$\therefore ∠ OBN=∠ ONB=α$,
$\because ∠ BPN+∠ PBN+∠ PNB=180°$,
$\therefore α+(90°+α)+α=180°$,$\therefore α=30°$,
$\therefore ∠ APB=2×30°=60°$. ……………… (8分)