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1. 对于二次函数$y=-5x^2+6x-1$，下列说法中正确的是 （
A.有最小值0.8
B.有最大值0.8
C.有最小值-2.8
D.有最大值-2.8
B
）A.有最小值0.8
B.有最大值0.8
C.有最小值-2.8
D.有最大值-2.8
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题的思路分两步：第一步先判断二次函数有最大值还是最小值，二次函数的最值由开口方向决定：当二次项系数a＞0时，抛物线开口向上，有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，有最大值，据此先排除错误选项。第二步计算最值的具体数值，二次函数的最值就是顶点的纵坐标，可直接代入顶点纵坐标公式$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，就能得到结果选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 判断最值类型：本题中$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值，直接排除A、C选项。
2. 计算最大值：最大值为顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$，将$a=-5,b=6,c=-1$代入：
$4ac=4×(-5)×(-1)=20$，$b^2=6^2=36$，$4a=4×(-5)=-20$
因此$y_{max}=\frac{20-36}{-20}=\frac{-16}{-20}=0.8$，即函数有最大值0.8。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图像性质
2. 二次函数最值计算
3. 顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，解题核心是先通过二次项系数判断最值类型，再代入公式计算顶点纵坐标，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题的思路分两步：第一步先判断二次函数有最大值还是最小值，二次函数的最值由开口方向决定：当二次项系数a＞0时，抛物线开口向上，有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，有最大值，据此先排除错误选项。第二步计算最值的具体数值，二次函数的最值就是顶点的纵坐标，可直接代入顶点纵坐标公式$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，就能得到结果选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 判断最值类型：本题中$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值，直接排除A、C选项。
2. 计算最大值：最大值为顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$，将$a=-5,b=6,c=-1$代入：
$4ac=4×(-5)×(-1)=20$，$b^2=6^2=36$，$4a=4×(-5)=-20$
因此$y_{max}=\frac{20-36}{-20}=\frac{-16}{-20}=0.8$，即函数有最大值0.8。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图像性质
2. 二次函数最值计算
3. 顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，解题核心是先通过二次项系数判断最值类型，再代入公式计算顶点纵坐标，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（
A.$600\mathrm{m}^2$
B.$625\mathrm{m}^2$
C.$650\mathrm{m}^2$
D.$675\mathrm{m}^2$
B
）A.$600\mathrm{m}^2$
B.$625\mathrm{m}^2$
C.$650\mathrm{m}^2$
D.$675\mathrm{m}^2$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决池底最大面积的问题，我们可以先将矩形的边长用未知数表示，再根据矩形面积公式列出面积关于边长的函数关系式，最后利用二次函数的性质求最大值即可。首先已知矩形周长为100m，可得相邻两边之和为50m，设其中一边长为x，即可表示出另一边长，进而得到面积的表达式，再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质求解。
【解析】
设矩形池底的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，池底面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
因为池底矩形周长为100m，所以相邻的另一边长为$ \frac{100}{2} - x = (50 - x) \, \mathrm{m} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 50 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(50 - x) = -x^2 + 50x $
该二次函数中$ a = -1 ＜ 0 $，因此函数有最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 × (-1)} = 25 $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = 25 × (50 - 25) = 25 × 25 = 625 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；矩形周长与面积计算
【点评】
本题考查二次函数在几何实际问题中的应用，解题关键是将实际的面积最值问题转化为二次函数最值问题，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决池底最大面积的问题，我们可以先将矩形的边长用未知数表示，再根据矩形面积公式列出面积关于边长的函数关系式，最后利用二次函数的性质求最大值即可。首先已知矩形周长为100m，可得相邻两边之和为50m，设其中一边长为x，即可表示出另一边长，进而得到面积的表达式，再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质求解。
【解析】
设矩形池底的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，池底面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
因为池底矩形周长为100m，所以相邻的另一边长为$ \frac{100}{2} - x = (50 - x) \, \mathrm{m} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 50 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(50 - x) = -x^2 + 50x $
该二次函数中$ a = -1 ＜ 0 $，因此函数有最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 × (-1)} = 25 $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = 25 × (50 - 25) = 25 × 25 = 625 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；矩形周长与面积计算
【点评】
本题考查二次函数在几何实际问题中的应用，解题关键是将实际的面积最值问题转化为二次函数最值问题，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=-\dfrac{2}{3}x^2 + 4x -1$，当$x=$
3
时，取到最大值。答案
3.3
解析
【分析】
要确定二次函数取最大值时的x值，首先判断二次函数的开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点位置为函数最高点，此时顶点的横坐标就是函数取最大值时的x值。我们可以直接用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，也可以通过配方法将函数转化为顶点式求解，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
已知二次函数$y=-\dfrac{2}{3}x^2 + 4x -1$，可得$a=-\dfrac{2}{3}$，$b=4$，$c=-1$。
因为$a=-\dfrac{2}{3}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处$y$取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入数值计算：
$x=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{2}{3})}=-\dfrac{4}{-\dfrac{4}{3}}=3$
也可通过配方法验证：
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+4x-1=-\dfrac{2}{3}(x^2-6x)-1=-\dfrac{2}{3}[(x-3)^2-9]-1=-\dfrac{2}{3}(x-3)^2+5$
顶点式中顶点横坐标为3，即$x=3$时函数取最大值。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心是掌握二次函数开口方向和最值的对应关系，结合顶点坐标公式即可快速求解，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数取最大值时的x值，首先判断二次函数的开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点位置为函数最高点，此时顶点的横坐标就是函数取最大值时的x值。我们可以直接用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，也可以通过配方法将函数转化为顶点式求解，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
已知二次函数$y=-\dfrac{2}{3}x^2 + 4x -1$，可得$a=-\dfrac{2}{3}$，$b=4$，$c=-1$。
因为$a=-\dfrac{2}{3}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处$y$取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入数值计算：
$x=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{2}{3})}=-\dfrac{4}{-\dfrac{4}{3}}=3$
也可通过配方法验证：
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+4x-1=-\dfrac{2}{3}(x^2-6x)-1=-\dfrac{2}{3}[(x-3)^2-9]-1=-\dfrac{2}{3}(x-3)^2+5$
顶点式中顶点横坐标为3，即$x=3$时函数取最大值。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心是掌握二次函数开口方向和最值的对应关系，结合顶点坐标公式即可快速求解，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
4.某学生推铅球，铅球飞行的高度$y(\mathrm{m})$与水平距离$x(\mathrm{m})$之间的函数表达式是$y=-\dfrac{1}{32}x^2+\dfrac{1}{16}x+\dfrac{3}{2}$，则铅球落地的水平距离为
8
m.答案
4.8
5.已知当$x=3$时，二次函数有最大值$-1$，且图象与$y$轴交于点$(0,-4)$，求该二次函数的表达式.
答案
5.$y=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2-1$
解析
【分析】
解题时先提取题目关键信息：已知二次函数在x=3时取最大值-1，说明该函数的顶点坐标为(3,-1)。对于已知顶点的二次函数解析式求解问题，优先选用顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0，(h,k)为顶点坐标）会比一般式更简便，先代入h、k的值确定含参数a的解析式，再将图象经过的点(0,-4)代入求解a的值，最后回代即可得到最终表达式。
【解析】
解：
∵当x=3时，二次函数有最大值-1，
∴该二次函数的顶点坐标为$(3,-1)$，
设二次函数的表达式为$y=a(x-3)^2-1$（$a≠0$），
∵函数图象与y轴交于点$(0,-4)$，
将$x=0$，$y=-4$代入上述表达式得：
$-4=a(0-3)^2-1$
整理得：$-4=9a-1$
解得：$a=-\dfrac{1}{3}$
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入所设表达式，得$y=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2-1$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2-1$
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.待定系数法
3.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常规题，核心考查顶点式的适用场景与运用，当题目给出顶点坐标、对称轴或函数最值时，选择顶点式求解可简化计算，熟练掌握代入运算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题目关键信息：已知二次函数在x=3时取最大值-1，说明该函数的顶点坐标为(3,-1)。对于已知顶点的二次函数解析式求解问题，优先选用顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0，(h,k)为顶点坐标）会比一般式更简便，先代入h、k的值确定含参数a的解析式，再将图象经过的点(0,-4)代入求解a的值，最后回代即可得到最终表达式。
【解析】
解：
∵当x=3时，二次函数有最大值-1，
∴该二次函数的顶点坐标为$(3,-1)$，
设二次函数的表达式为$y=a(x-3)^2-1$（$a≠0$），
∵函数图象与y轴交于点$(0,-4)$，
将$x=0$，$y=-4$代入上述表达式得：
$-4=a(0-3)^2-1$
整理得：$-4=9a-1$
解得：$a=-\dfrac{1}{3}$
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入所设表达式，得$y=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2-1$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{3}(x-3)^2-1$
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.待定系数法
3.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常规题，核心考查顶点式的适用场景与运用，当题目给出顶点坐标、对称轴或函数最值时，选择顶点式求解可简化计算，熟练掌握代入运算即可得分。
【难度系数】
0.8
6.已知二次函数的图象$(0 ≤ x ≤ 3)$如图所示，该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（
A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值$-1$，有最大值0
C.有最小值$-1$，有最大值3
D.有最小值$-1$，无最大值
C
）A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值$-1$，有最大值0
C.有最小值$-1$，有最大值3
D.有最小值$-1$，无最大值
答案
6.C
解析
【分析】
要判断二次函数在闭区间$0 ≤ x ≤ 3$内的最值，需结合函数图象分析两个关键位置的函数值：一是二次函数顶点处的函数值，二是区间两个端点处的函数值，比较这几个值的大小就能得到该区间内的最大值和最小值，再对应选项判断即可。
【解析】
观察给定$0 ≤ x ≤ 3$范围内的二次函数图象：
1. 求最小值：图象的最低点为二次函数的顶点，坐标为$(1,-1)$，因此函数在该区间内的最小值是$-1$；
2. 求最大值：对比区间端点的函数值，$x=0$时$y=0$，$x=3$时$y=3$，$3＞0$，因此函数在该区间内的最大值是$3$。
综上，函数在$0 ≤ x ≤ 3$范围内有最小值$-1$，有最大值$3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象
2. 二次函数的最值
3. 函数图象识别
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确闭区间内二次函数的最值不仅要考虑顶点，还要结合区间端点的函数值，避免忽略自变量取值范围、直接按全体实数范围判断最值而出现错误。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数在闭区间$0 ≤ x ≤ 3$内的最值，需结合函数图象分析两个关键位置的函数值：一是二次函数顶点处的函数值，二是区间两个端点处的函数值，比较这几个值的大小就能得到该区间内的最大值和最小值，再对应选项判断即可。
【解析】
观察给定$0 ≤ x ≤ 3$范围内的二次函数图象：
1. 求最小值：图象的最低点为二次函数的顶点，坐标为$(1,-1)$，因此函数在该区间内的最小值是$-1$；
2. 求最大值：对比区间端点的函数值，$x=0$时$y=0$，$x=3$时$y=3$，$3＞0$，因此函数在该区间内的最大值是$3$。
综上，函数在$0 ≤ x ≤ 3$范围内有最小值$-1$，有最大值$3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的图象
2. 二次函数的最值
3. 函数图象识别
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确闭区间内二次函数的最值不仅要考虑顶点，还要结合区间端点的函数值，避免忽略自变量取值范围、直接按全体实数范围判断最值而出现错误。
【难度系数】
0.8
