登录
7.在某幢建筑物内，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面$\frac{40}{3}$米，则水流落地点B离墙的距离OB是（
A.2米
B.3米
C.4米
D.5米
B
）A.2米
B.3米
C.4米
D.5米
答案
7.B
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，利用二次函数的性质求解本题。首先以O为原点，地面为x轴、墙面为y轴建立坐标系，已知抛物线的顶点M的坐标和抛物线上点A的坐标，可先设二次函数的顶点式，代入A点坐标求出函数解析式，再令y=0（水流落地时高度为0），解出x的正根，即为OB的长度。
【解析】
以O为原点，水平地面为x轴，墙面为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点M的坐标为$(1,\frac{40}{3})$，点A的坐标为$(0,10)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$，
将$A(0,10)$代入解析式得：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为：$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
当水流落地时，高度$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（距离不能为负，舍去）
所以$OB=3$米。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的实际意义
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合场景合理建立坐标系，利用已知条件求出函数解析式，求解后要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
我们可以通过建立平面直角坐标系，利用二次函数的性质求解本题。首先以O为原点，地面为x轴、墙面为y轴建立坐标系，已知抛物线的顶点M的坐标和抛物线上点A的坐标，可先设二次函数的顶点式，代入A点坐标求出函数解析式，再令y=0（水流落地时高度为0），解出x的正根，即为OB的长度。
【解析】
以O为原点，水平地面为x轴，墙面为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点M的坐标为$(1,\frac{40}{3})$，点A的坐标为$(0,10)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$，
将$A(0,10)$代入解析式得：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为：$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
当水流落地时，高度$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（距离不能为负，舍去）
所以$OB=3$米。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的实际意义
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合场景合理建立坐标系，利用已知条件求出函数解析式，求解后要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
▲8.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数表达式是$y=60x-1.5x^2$，该型号飞机着陆后滑行
600
m才能停下来.答案
8.600
解析
【分析】飞机着陆后滑行直到停下来的过程中，滑行距离y随时间x先增大，当飞机速度降为0时，滑行距离y达到最大值，之后不再增加，因此本题本质是求二次函数$y=60x-1.5x^2$的最大值。由于该二次函数开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求解。
【解析】先将函数整理为二次函数一般形式：
$y=-1.5x^2+60x$
其中$a=-1.5＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
使用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=-1.5(x^2-40x)\\&=-1.5(x^2-40x+400-400)\\&=-1.5(x-20)^2+600\end{aligned}$
当$x=20$时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600m才能停下来。
也可使用顶点纵坐标公式计算：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1.5、b=60、c=0$，得最大值为$\frac{4×(-1.5)×0-60^2}{4×(-1.5)}=600$。
【答案】600
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】本题是二次函数的实际应用类题目，解题核心是将“飞机停止滑行”的实际场景转化为二次函数求最值的数学问题，熟练掌握二次函数最值的求解方法即可顺利作答。
【难度系数】0.7
【解析】先将函数整理为二次函数一般形式：
$y=-1.5x^2+60x$
其中$a=-1.5＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
使用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=-1.5(x^2-40x)\\&=-1.5(x^2-40x+400-400)\\&=-1.5(x-20)^2+600\end{aligned}$
当$x=20$时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600m才能停下来。
也可使用顶点纵坐标公式计算：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1.5、b=60、c=0$，得最大值为$\frac{4×(-1.5)×0-60^2}{4×(-1.5)}=600$。
【答案】600
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】本题是二次函数的实际应用类题目，解题核心是将“飞机停止滑行”的实际场景转化为二次函数求最值的数学问题，熟练掌握二次函数最值的求解方法即可顺利作答。
【难度系数】0.7
▲9.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有实线的长度和）为10米。若设窗户上半部的半圆半径为x米，则当x等于多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
答案
9. 设下半部分矩形的长为 y 米，$π x + 6x + 4y = 10$，$y=\dfrac{10-π x -6x}{4}$，$S=\dfrac{1}{2}π x^2 + 2x · \dfrac{10-π x -6x}{4}=-3(x-\dfrac{5}{6})^2+\dfrac{25}{12}$，当$x=\dfrac{5}{6}$时，窗户的透光面积最大，$S_{\max}=\dfrac{25}{12}\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先梳理窗框所有实线的组成：上半部分半圆的弧长、半圆内的2条半径，下半部分矩形的2条水平长（长度等于半圆直径2x）、4条竖直宽（设为y），所有实线总长为10米，据此可列出关于x和y的等式，将y用含x的代数式表示；第二步，透光面积是半圆面积与下方矩形面积之和，将y代入后可得到面积S关于x的二次函数表达式；第三步，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数开口方向，即可求出面积的最大值及对应的x值，最后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设下半部分矩形的竖直边长为y米。
根据窗框材料总长为10米，可得：
$π x + 6x + 4y = 10$
解得：$y=\dfrac{10-π x -6x}{4}$（$x＞0,y＞0$，符合实际意义）
窗户透光面积$S$为半圆面积与矩形面积之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x · y\\&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x · \frac{10-π x -6x}{4}\\&=\frac{1}{2}π x^2 +5x - \frac{1}{2}π x^2 -3x^2\\&=-3x^2 +5x\\&=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{25}{12}\end{aligned}$
∵二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下
∴当$x=\dfrac{5}{6}$时，$S$取得最大值，最大值为$\dfrac{25}{12}$
【答案】
当$x=\dfrac{5}{6}$米时，窗户的透光面积最大，最大面积是$\dfrac{25}{12}\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；图形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是准确梳理图形各部分的边长关系，正确建立面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道利用二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先梳理窗框所有实线的组成：上半部分半圆的弧长、半圆内的2条半径，下半部分矩形的2条水平长（长度等于半圆直径2x）、4条竖直宽（设为y），所有实线总长为10米，据此可列出关于x和y的等式，将y用含x的代数式表示；第二步，透光面积是半圆面积与下方矩形面积之和，将y代入后可得到面积S关于x的二次函数表达式；第三步，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数开口方向，即可求出面积的最大值及对应的x值，最后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设下半部分矩形的竖直边长为y米。
根据窗框材料总长为10米，可得：
$π x + 6x + 4y = 10$
解得：$y=\dfrac{10-π x -6x}{4}$（$x＞0,y＞0$，符合实际意义）
窗户透光面积$S$为半圆面积与矩形面积之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x · y\\&=\frac{1}{2}π x^2 + 2x · \frac{10-π x -6x}{4}\\&=\frac{1}{2}π x^2 +5x - \frac{1}{2}π x^2 -3x^2\\&=-3x^2 +5x\\&=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{25}{12}\end{aligned}$
∵二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下
∴当$x=\dfrac{5}{6}$时，$S$取得最大值，最大值为$\dfrac{25}{12}$
【答案】
当$x=\dfrac{5}{6}$米时，窗户的透光面积最大，最大面积是$\dfrac{25}{12}\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；图形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是准确梳理图形各部分的边长关系，正确建立面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
★10.某单位大门呈抛物线形，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门(汽车的宽度小于2.4m).
答案
10. 能(解答方法不唯一).以 C 为坐标原点，以垂直平分 AB 的直线为 y 轴，过 C 点平行于 AB 的直线为 x 轴，可得函数的解析式为 $y=-1.1x^2$. 当 $x=1.2$ 时，$y=-1.584$，$\therefore 1.584＜4.4-2.8=1.6$，$\therefore$ 能通过
解析
【分析】
要判断汽车能否通过抛物线形大门，可将实际问题转化为二次函数的代数问题求解：首先合理建立平面直角坐标系，把大门的已知尺寸转化为抛物线上点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；再根据汽车的装货宽度，找到对应横坐标处的函数值，计算该位置大门的有效通行高度，和货物高度对比即可得出结论。
【解析】
解：以大门顶部C为坐标原点，过C点且平行于AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得，AB地面宽4m，C离地面高度为4.4m，因此点B的坐标为$(2,-4.4)$。
设抛物线解析式为$y=ax^2$（抛物线顶点在原点，对称轴为y轴），将$B(2,-4.4)$代入解析式：
$-4.4=a× 2^2$
解得$a=-1.1$，即抛物线解析式为$y=-1.1x^2$。
汽车装货宽度为2.4m，因此货物边缘对应的横坐标为$x=\pm1.2$，将$x=1.2$代入解析式：
$y=-1.1×(1.2)^2=-1.584$
该位置距离顶部C的高度为$|y|=1.584\mathrm{m}$。
货物顶部距地面2.8m，货物顶部到大门顶部C的高度差为$4.4-2.8=1.6\mathrm{m}$。
因为$1.584＜1.6$，说明该位置大门通行高度大于货物高度，因此汽车可以通过。
【答案】
这辆汽车能顺利通过大门
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，将几何图形特征转化为二次函数的代数属性，通过代数计算验证实际问题的结论，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
要判断汽车能否通过抛物线形大门，可将实际问题转化为二次函数的代数问题求解：首先合理建立平面直角坐标系，把大门的已知尺寸转化为抛物线上点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；再根据汽车的装货宽度，找到对应横坐标处的函数值，计算该位置大门的有效通行高度，和货物高度对比即可得出结论。
【解析】
解：以大门顶部C为坐标原点，过C点且平行于AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得，AB地面宽4m，C离地面高度为4.4m，因此点B的坐标为$(2,-4.4)$。
设抛物线解析式为$y=ax^2$（抛物线顶点在原点，对称轴为y轴），将$B(2,-4.4)$代入解析式：
$-4.4=a× 2^2$
解得$a=-1.1$，即抛物线解析式为$y=-1.1x^2$。
汽车装货宽度为2.4m，因此货物边缘对应的横坐标为$x=\pm1.2$，将$x=1.2$代入解析式：
$y=-1.1×(1.2)^2=-1.584$
该位置距离顶部C的高度为$|y|=1.584\mathrm{m}$。
货物顶部距地面2.8m，货物顶部到大门顶部C的高度差为$4.4-2.8=1.6\mathrm{m}$。
因为$1.584＜1.6$，说明该位置大门通行高度大于货物高度，因此汽车可以通过。
【答案】
这辆汽车能顺利通过大门
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，将几何图形特征转化为二次函数的代数属性，通过代数计算验证实际问题的结论，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
