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7. [2025郑州期末]如图，点P在直线$y=-2x+3$上，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C,D.当矩形OCPD的面积为1时，满足条件的点P有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
当$y = 0$时,$-2x + 3 = 0$,解得$x = \frac{3}{2}$,$\therefore$ 直线$y = -2x + 3$与x轴交于点$(\frac{3}{2},0)$.设点$P(m, -2m + 3)$,①当$m ＜ 0$或$m ＞ \frac{3}{2}$时,$m(-2m + 3) = -1$,整理得$2m^2 - 3m - 1 = 0$,解得$m_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$,$m_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$.②当$0 ＜ m ＜ \frac{3}{2}$时,$m(-2m + 3) = 1$,整理得$2m^2 - 3m + 1 = 0$,解得$m_3 = \frac{1}{2}$,$m_4 = 1$.综上,满足条件的点P有4个.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用一次函数图象上点的坐标特征，设出点P的坐标，再结合矩形面积为1的条件列方程。由于点P可能落在直线的第一、二、四象限，横纵坐标的符号会发生变化，因此需要分情况讨论面积对应的表达式，将问题转化为求一元二次方程的实根个数，即可得到符合条件的点P的个数。
【解析】
先求直线与x轴的交点：当$y = 0$时，$-2x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$，即直线$y=-2x+3$与x轴交于$(\frac{3}{2},0)$，与y轴交于$(0,3)$。
设点P的坐标为$(m, -2m + 3)$，矩形OCPD的面积为$|m|·|-2m+3|=1$，分两种情况讨论：
① 当$m ＜ 0$或$m ＞ \frac{3}{2}$时，$m$与$-2m+3$异号，因此$m(-2m + 3) = -1$，整理得$2m^2 - 3m - 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$，有两个不相等的实根，解得$m_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$（小于0，符合条件），$m_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$（大于$\frac{3}{2}$，符合条件）；
② 当$0 ＜ m ＜ \frac{3}{2}$时，$m$与$-2m+3$均为正数，因此$m(-2m + 3) = 1$，整理得$2m^2 - 3m + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×1=1＞0$，有两个不相等的实根，解得$m_3 = \frac{1}{2}$，$m_4 = 1$，均在$0＜m＜\frac{3}{2}$范围内，符合条件。
综上，共有4个符合条件的$m$值，对应4个点P。
【答案】D
【知识点】
一次函数点坐标特征，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题结合一次函数和一元二次方程考查，解题关键是根据点P所在象限的坐标符号特点分类讨论列方程，避免因漏考虑非第一象限的情况导致出错。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用一次函数图象上点的坐标特征，设出点P的坐标，再结合矩形面积为1的条件列方程。由于点P可能落在直线的第一、二、四象限，横纵坐标的符号会发生变化，因此需要分情况讨论面积对应的表达式，将问题转化为求一元二次方程的实根个数，即可得到符合条件的点P的个数。
【解析】
先求直线与x轴的交点：当$y = 0$时，$-2x + 3 = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$，即直线$y=-2x+3$与x轴交于$(\frac{3}{2},0)$，与y轴交于$(0,3)$。
设点P的坐标为$(m, -2m + 3)$，矩形OCPD的面积为$|m|·|-2m+3|=1$，分两种情况讨论：
① 当$m ＜ 0$或$m ＞ \frac{3}{2}$时，$m$与$-2m+3$异号，因此$m(-2m + 3) = -1$，整理得$2m^2 - 3m - 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$，有两个不相等的实根，解得$m_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$（小于0，符合条件），$m_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$（大于$\frac{3}{2}$，符合条件）；
② 当$0 ＜ m ＜ \frac{3}{2}$时，$m$与$-2m+3$均为正数，因此$m(-2m + 3) = 1$，整理得$2m^2 - 3m + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×1=1＞0$，有两个不相等的实根，解得$m_3 = \frac{1}{2}$，$m_4 = 1$，均在$0＜m＜\frac{3}{2}$范围内，符合条件。
综上，共有4个符合条件的$m$值，对应4个点P。
【答案】D
【知识点】
一次函数点坐标特征，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题结合一次函数和一元二次方程考查，解题关键是根据点P所在象限的坐标符号特点分类讨论列方程，避免因漏考虑非第一象限的情况导致出错。
【难度系数】
0.5
8. [2024 南充中考]当$2 ≤ x ≤ 5$时，一次函数$y=(m+1)x + m^2 +1$有最大值6，则实数$m$的值为（
A.-3或0
B.0或1
C.-5或-3
D.-5或1
A
）A.-3或0
B.0或1
C.-5或-3
D.-5或1
答案
①当$m + 1＞0$,即$m ＞ -1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,$\therefore$ 当$x = 5$时,$y = 6$,$\therefore 5(m + 1) + m^2 + 1 = 6$,解得$m = 0$或$m = -5$(舍去);②当$m + 1＜0$,即$m ＜ -1$时,$y$的值随$x$值的增大而减小,$\therefore$ 当$x = 2$时,$y = 6$,$\therefore 2(m + 1) + m^2 + 1 = 6$,解得$m = -3$或$m = 1$(舍去).综上,$m = 0$或$m = -3$.
解析
【分析】
本题是一次函数在限定区间内的最值问题，解题核心是结合一次函数的增减性分类讨论：一次函数的增减性由一次项系数（斜率）决定，因此先分一次项系数大于0、小于0两种情况（系数等于0时为常数函数，不符合最大值为6的条件，可直接排除）；再根据增减性确定取得最大值时对应的x取值，代入函数解析式列方程求解，最后验证解是否符合对应情况中系数的取值范围，舍去不合题意的解即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$m + 1 ＞ 0$，即$m ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵$2 ≤ x ≤ 5$，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值6，
代入解析式得：$5(m + 1) + m^2 + 1 = 6$，
整理得$m^2 +5m = 0$，解得$m=0$或$m=-5$，
∵$m ＞ -1$，
∴$m=-5$不符合要求，舍去，保留$m=0$；
② 当$m + 1 ＜ 0$，即$m ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$2 ≤ x ≤ 5$，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值6，
代入解析式得：$2(m + 1) + m^2 + 1 = 6$，
整理得$m^2 +2m -3 = 0$，解得$m=-3$或$m=1$，
∵$m ＜ -1$，
∴$m=1$不符合要求，舍去，保留$m=-3$。
综上，实数$m$的值为$-3$或$0$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数区间最值；一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查一次函数性质的应用，解题关键是根据一次项系数的正负分类讨论确定最值点，易错点是求解后忽略验证解是否符合对应系数的取值范围，做题时要注意运用分类讨论思想，养成验根的习惯。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数在限定区间内的最值问题，解题核心是结合一次函数的增减性分类讨论：一次函数的增减性由一次项系数（斜率）决定，因此先分一次项系数大于0、小于0两种情况（系数等于0时为常数函数，不符合最大值为6的条件，可直接排除）；再根据增减性确定取得最大值时对应的x取值，代入函数解析式列方程求解，最后验证解是否符合对应情况中系数的取值范围，舍去不合题意的解即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$m + 1 ＞ 0$，即$m ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵$2 ≤ x ≤ 5$，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值6，
代入解析式得：$5(m + 1) + m^2 + 1 = 6$，
整理得$m^2 +5m = 0$，解得$m=0$或$m=-5$，
∵$m ＞ -1$，
∴$m=-5$不符合要求，舍去，保留$m=0$；
② 当$m + 1 ＜ 0$，即$m ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$2 ≤ x ≤ 5$，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值6，
代入解析式得：$2(m + 1) + m^2 + 1 = 6$，
整理得$m^2 +2m -3 = 0$，解得$m=-3$或$m=1$，
∵$m ＜ -1$，
∴$m=1$不符合要求，舍去，保留$m=-3$。
综上，实数$m$的值为$-3$或$0$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数区间最值；一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查一次函数性质的应用，解题关键是根据一次项系数的正负分类讨论确定最值点，易错点是求解后忽略验证解是否符合对应系数的取值范围，做题时要注意运用分类讨论思想，养成验根的习惯。
【难度系数】
0.6
9. [2026大庆期末]若直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{2}{x}$交于点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$x_1y_2 + x_2y_1$的值是
-4
。答案
令$kx = \frac{2}{x}$,得$kx^2 - 2 = 0$,$\therefore x_1 x_2 = -\frac{2}{k}$,$y_1 = kx_1$,$y_2 = kx_2$,$\therefore x_1 y_2 + x_2 y_1 = kx_1 x_2 + kx_1 x_2 = 2kx_1 x_2 = 2k·(-\frac{2}{k}) = -4$.
解析
【分析】
要求$x_1y_2 + x_2y_1$的值，首先明确交点A、B的坐标同时满足直线和双曲线的解析式：①先联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系可得$x_1x_2$的表达式；②再根据直线解析式将$y_1、y_2$用含$x_1、x_2$的式子表示，代入所求代数式化简，最后将$x_1x_2$的表达式代入计算即可得到结果。
【解析】
联立直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases}y = kx \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$
消去y得：$kx = \frac{2}{x}$，整理得$kx^2 - 2 = 0$（$x≠0$，$k≠0$）。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = -\frac{2}{k}$。
又因为点A、B在直线$y=kx$上，所以$y_1 = kx_1$，$y_2 = kx_2$，代入所求代数式：
$x_1y_2 + x_2y_1 = x_1· kx_2 + x_2· kx_1 = kx_1x_2 + kx_1x_2 = 2kx_1x_2$
将$x_1x_2 = -\frac{2}{k}$代入上式：
$2kx_1x_2 = 2k·(-\frac{2}{k}) = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
函数交点问题；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是函数与方程结合的常考题型，解题核心是通过联立函数解析式得到一元二次方程，利用根与系数的关系整体代入求值，无需解出$x_1、x_2$的具体值即可算出结果，解题时需注意$k≠0$、$x≠0$的隐含条件。
【难度系数】
0.7
要求$x_1y_2 + x_2y_1$的值，首先明确交点A、B的坐标同时满足直线和双曲线的解析式：①先联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系可得$x_1x_2$的表达式；②再根据直线解析式将$y_1、y_2$用含$x_1、x_2$的式子表示，代入所求代数式化简，最后将$x_1x_2$的表达式代入计算即可得到结果。
【解析】
联立直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases}y = kx \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$
消去y得：$kx = \frac{2}{x}$，整理得$kx^2 - 2 = 0$（$x≠0$，$k≠0$）。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = -\frac{2}{k}$。
又因为点A、B在直线$y=kx$上，所以$y_1 = kx_1$，$y_2 = kx_2$，代入所求代数式：
$x_1y_2 + x_2y_1 = x_1· kx_2 + x_2· kx_1 = kx_1x_2 + kx_1x_2 = 2kx_1x_2$
将$x_1x_2 = -\frac{2}{k}$代入上式：
$2kx_1x_2 = 2k·(-\frac{2}{k}) = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
函数交点问题；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是函数与方程结合的常考题型，解题核心是通过联立函数解析式得到一元二次方程，利用根与系数的关系整体代入求值，无需解出$x_1、x_2$的具体值即可算出结果，解题时需注意$k≠0$、$x≠0$的隐含条件。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$A(-2,4)$，$B(n,-2)$是直线$y=kx+b$和双曲线$y=\frac{m}{x}$的两个交点.
(1) 求直线$y=kx+b$和双曲线$y=\frac{m}{x}$的函数表达式.
(2) 过点$A$作直线$y=ax+c(a≠0)$，使其与双曲线$y=\frac{m}{x}$仅有一个公共点，求直线$y=ax+c(a≠0)$的表达式.
(1) 求直线$y=kx+b$和双曲线$y=\frac{m}{x}$的函数表达式.
(2) 过点$A$作直线$y=ax+c(a≠0)$，使其与双曲线$y=\frac{m}{x}$仅有一个公共点，求直线$y=ax+c(a≠0)$的表达式.
答案
(1)$\because$ 点$A(-2,4)$在双曲线$y = \frac{m}{x}$上,
$\therefore m = xy = -2×4 = -8$,$\therefore y = -\frac{8}{x}$.
令$y = -2$,得$-\frac{8}{x} = -2$,解得$x = 4$,$\therefore B(4,-2)$.
将$A(-2,4)$,$B(4,-2)$分别代入$y = kx + b$,
得$\begin{cases}-2k + b = 4 \\4k + b = -2\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -1 \\b = 2\end{cases}$,$\therefore y = -x + 2$.
(2)$\because$ 点$A(-2,4)$在$y = ax + c$上,
$\therefore -2a + c = 4$,$\therefore c = 2a + 4$,$\therefore y = ax + 2a + 4$,
$\therefore ax + 2a + 4 = -\frac{8}{x}$,整理得$ax^2 + (2a + 4)x + 8 = 0$.
$\because$ 直线$y = ax + c$与双曲线$y = \frac{m}{x}$仅有一个公共点,
$\therefore$ 该方程有两个相等的实数根,
$\therefore \Delta = (2a + 4)^2 - 4a×8 = 0$,解得$a_1 = a_2 = 2$,
$\therefore c = 2a + 4 = 2×2 + 4 = 8$,$\therefore y = 2x + 8$.
$\therefore m = xy = -2×4 = -8$,$\therefore y = -\frac{8}{x}$.
令$y = -2$,得$-\frac{8}{x} = -2$,解得$x = 4$,$\therefore B(4,-2)$.
将$A(-2,4)$,$B(4,-2)$分别代入$y = kx + b$,
得$\begin{cases}-2k + b = 4 \\4k + b = -2\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -1 \\b = 2\end{cases}$,$\therefore y = -x + 2$.
(2)$\because$ 点$A(-2,4)$在$y = ax + c$上,
$\therefore -2a + c = 4$,$\therefore c = 2a + 4$,$\therefore y = ax + 2a + 4$,
$\therefore ax + 2a + 4 = -\frac{8}{x}$,整理得$ax^2 + (2a + 4)x + 8 = 0$.
$\because$ 直线$y = ax + c$与双曲线$y = \frac{m}{x}$仅有一个公共点,
$\therefore$ 该方程有两个相等的实数根,
$\therefore \Delta = (2a + 4)^2 - 4a×8 = 0$,解得$a_1 = a_2 = 2$,
$\therefore c = 2a + 4 = 2×2 + 4 = 8$,$\therefore y = 2x + 8$.
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数m，已知点A在双曲线上，直接代入点A坐标即可求出m，得到双曲线解析式；再将点B的纵坐标代入双曲线解析式，求出n得到点B的坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，即可得到直线解析式。
(2) 已知直线过点A，将点A坐标代入直线$y=ax+c$，得到c与a的关系，用a表示出直线解析式；将直线与双曲线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线仅有一个公共点说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，代入求解得到a的值，再求出c即可得到直线表达式。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(-2,4)$在双曲线$y = \frac{m}{x}$上，
$\therefore m = xy = -2×4 = -8$，即双曲线的表达式为$y = -\frac{8}{x}$。
$\because$ 点$B(n,-2)$在双曲线$y = -\frac{8}{x}$上，
令$y = -2$，得$-\frac{8}{x} = -2$，解得$x = 4$，$\therefore B$点坐标为$(4,-2)$。
将$A(-2,4)$、$B(4,-2)$分别代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\4k + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1 \\b = 2\end{cases}$，即直线的表达式为$y = -x + 2$。
(2) $\because$ 点$A(-2,4)$在直线$y = ax + c(a≠0)$上，
代入得：$-2a + c = 4$，整理得$c = 2a + 4$，
$\therefore$ 直线解析式可写为$y = ax + 2a + 4$。
联立直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases}y = ax + 2a + 4 \\y = -\frac{8}{x}\end{cases}$
消去y整理得：$ax^2 + (2a + 4)x + 8 = 0$
$\because$ 直线与双曲线仅有一个公共点，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$，
$\Delta = (2a + 4)^2 - 4×a×8 = 0$，
化简解得$a = 2$，代入$c=2a+4$得$c=8$，
$\therefore$ 直线的表达式为$y = 2x +8$。
【答案】
(1) 双曲线表达式为$\boldsymbol{y = -\frac{8}{x}}$，直线表达式为$\boldsymbol{y = -x + 2}$；
(2) 直线表达式为$\boldsymbol{y = 2x + 8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，根的判别式应用
【点评】
本题是函数综合类常规题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能将直线与双曲线的交点个数问题转化为一元二次方程根的判别式问题，考查函数与方程结合的转化思维，是考试高频考查题型。
【难度系数】
0.65
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数m，已知点A在双曲线上，直接代入点A坐标即可求出m，得到双曲线解析式；再将点B的纵坐标代入双曲线解析式，求出n得到点B的坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，即可得到直线解析式。
(2) 已知直线过点A，将点A坐标代入直线$y=ax+c$，得到c与a的关系，用a表示出直线解析式；将直线与双曲线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线仅有一个公共点说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，代入求解得到a的值，再求出c即可得到直线表达式。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(-2,4)$在双曲线$y = \frac{m}{x}$上，
$\therefore m = xy = -2×4 = -8$，即双曲线的表达式为$y = -\frac{8}{x}$。
$\because$ 点$B(n,-2)$在双曲线$y = -\frac{8}{x}$上，
令$y = -2$，得$-\frac{8}{x} = -2$，解得$x = 4$，$\therefore B$点坐标为$(4,-2)$。
将$A(-2,4)$、$B(4,-2)$分别代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\4k + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1 \\b = 2\end{cases}$，即直线的表达式为$y = -x + 2$。
(2) $\because$ 点$A(-2,4)$在直线$y = ax + c(a≠0)$上，
代入得：$-2a + c = 4$，整理得$c = 2a + 4$，
$\therefore$ 直线解析式可写为$y = ax + 2a + 4$。
联立直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases}y = ax + 2a + 4 \\y = -\frac{8}{x}\end{cases}$
消去y整理得：$ax^2 + (2a + 4)x + 8 = 0$
$\because$ 直线与双曲线仅有一个公共点，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$，
$\Delta = (2a + 4)^2 - 4×a×8 = 0$，
化简解得$a = 2$，代入$c=2a+4$得$c=8$，
$\therefore$ 直线的表达式为$y = 2x +8$。
【答案】
(1) 双曲线表达式为$\boldsymbol{y = -\frac{8}{x}}$，直线表达式为$\boldsymbol{y = -x + 2}$；
(2) 直线表达式为$\boldsymbol{y = 2x + 8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，根的判别式应用
【点评】
本题是函数综合类常规题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能将直线与双曲线的交点个数问题转化为一元二次方程根的判别式问题，考查函数与方程结合的转化思维，是考试高频考查题型。
【难度系数】
0.65
11. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个实数根分别是 $ x_1, x_2 (x_1 ＜ x_2) $，则点 $ (x_1, x_2) $ 称为该方程的“Deep”点，经过点 $ (x_1, x_2) $ 的直线称为该方程的一条“Seek”线.
(1) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的“Deep”点为 $ ( \frac{1}{2025}, 2027 ) $，求 $ b, c $ 的值.
(2) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + m^2 + m = 0 $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 (x_1 ＜ x_2) $. 该方程是否存在一条“Seek”线为 $ y = -2x + 2 $？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.
(1) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的“Deep”点为 $ ( \frac{1}{2025}, 2027 ) $，求 $ b, c $ 的值.
(2) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + m^2 + m = 0 $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 (x_1 ＜ x_2) $. 该方程是否存在一条“Seek”线为 $ y = -2x + 2 $？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.
答案
(1)根据题意,得$\frac{1}{2025} + 2027 = -b$,$\frac{1}{2025}×2027 = c$,
所以$b = -2027\frac{1}{2025}$,$c = \frac{2027}{2025}$.
(2)存在.
因为关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 + m = 0$的两个实数根为$x_1,x_2(x_1 ＜ x_2)$,
所以$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 + m) = -4m ＞ 0$,
所以$m ＜ 0$.
因为$x_1 + x_2 = -2m$,$x_1 x_2 = m^2 + m$,
所以$x_2 = -x_1 - 2m$.
根据题意,得$x_2 = -2x_1 + 2$,
所以$-2x_1 + 2 = -x_1 - 2m$,即$x_1 = 2m + 2$,
所以$(2m + 2)^2 + 2m(2m + 2) + m^2 + m = 0$,
所以$9m^2 + 13m + 4 = 0$,
解得$m_1 = -1$,$m_2 = -\frac{4}{9}$.
当$m = -1$时,$x_1 = 2×(-1) + 2 = 0$,
则$x_2 = -2×0 + 2 = 2$.
因为$0 ＜ 2$,所以$x_1 ＜ x_2$,符合题意.
当$m = -\frac{4}{9}$时,$x_1 = 2×(-\frac{4}{9}) + 2 = \frac{10}{9}$,
则$x_2 = -2×\frac{10}{9} + 2 = -\frac{2}{9}$.
因为$\frac{10}{9} ＞ -\frac{2}{9}$,所以$x_1 ＞ x_2$,不符合题意.
综上,$m$的值为$-1$.
所以$b = -2027\frac{1}{2025}$,$c = \frac{2027}{2025}$.
(2)存在.
因为关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 + m = 0$的两个实数根为$x_1,x_2(x_1 ＜ x_2)$,
所以$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 + m) = -4m ＞ 0$,
所以$m ＜ 0$.
因为$x_1 + x_2 = -2m$,$x_1 x_2 = m^2 + m$,
所以$x_2 = -x_1 - 2m$.
根据题意,得$x_2 = -2x_1 + 2$,
所以$-2x_1 + 2 = -x_1 - 2m$,即$x_1 = 2m + 2$,
所以$(2m + 2)^2 + 2m(2m + 2) + m^2 + m = 0$,
所以$9m^2 + 13m + 4 = 0$,
解得$m_1 = -1$,$m_2 = -\frac{4}{9}$.
当$m = -1$时,$x_1 = 2×(-1) + 2 = 0$,
则$x_2 = -2×0 + 2 = 2$.
因为$0 ＜ 2$,所以$x_1 ＜ x_2$,符合题意.
当$m = -\frac{4}{9}$时,$x_1 = 2×(-\frac{4}{9}) + 2 = \frac{10}{9}$,
则$x_2 = -2×\frac{10}{9} + 2 = -\frac{2}{9}$.
因为$\frac{10}{9} ＞ -\frac{2}{9}$,所以$x_1 ＞ x_2$,不符合题意.
综上,$m$的值为$-1$.
解析
【分析】
(1) 首先理解“Deep”点的定义：其横、纵坐标就是对应一元二次方程的两个实数根$x_1$、$x_2$。对于方程$x^2+bx+c=0$，直接利用根与系数的关系（韦达定理）：两根之和等于$-b$，两根之积等于$c$，代入已知的$x_1=\frac{1}{2025}$、$x_2=2027$即可求出$b$、$c$的值。
(2) 判断是否存在指定“Seek”线，首先要保证方程有两个不等实数根，因此先计算判别式$\Delta＞0$，得到$m$的取值范围；再根据“Seek”线的定义，点$(x_1,x_2)$在直线$y=-2x+2$上，因此$x_2=-2x_1+2$，结合韦达定理的两根和$x_1+x_2=-2m$，联立求出$x_1$关于$m$的表达式，将$x_1$代入原方程得到关于$m$的一元二次方程，解出$m$后，检验$m$是否满足$\Delta＞0$，以及是否符合$x_1＜x_2$的条件，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 根据“Deep”点的定义，方程$x^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=\frac{1}{2025}$，$x_2=2027$，由韦达定理得：
$\frac{1}{2025} + 2027 = -b$，$\frac{1}{2025}×2027 = c$
解得$b = -2027\frac{1}{2025}$，$c = \frac{2027}{2025}$。
(2) 存在，理由如下：
∵ 方程$x^2 + 2mx + m^2 + m = 0$有两个不等实数根$x_1＜x_2$，
∴ $\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 + m) = -4m ＞ 0$，解得$m ＜ 0$。
由韦达定理得$x_1 + x_2 = -2m$，即$x_2 = -x_1 - 2m$。
∵ 点$(x_1,x_2)$在直线$y = -2x + 2$上，
∴ $x_2 = -2x_1 + 2$，
联立得$-2x_1 + 2 = -x_1 - 2m$，解得$x_1 = 2m + 2$。
将$x_1 = 2m + 2$代入原方程得：
$(2m + 2)^2 + 2m(2m + 2) + m^2 + m = 0$，
整理得$9m^2 + 13m + 4 = 0$，
解得$m_1 = -1$，$m_2 = -\frac{4}{9}$，均满足$m＜0$。
当$m = -1$时，$x_1 = 2×(-1) + 2 = 0$，$x_2 = -2×0 + 2 = 2$，满足$0 ＜ 2$，符合题意；
当$m = -\frac{4}{9}$时，$x_1 = 2×(-\frac{4}{9}) + 2 = \frac{10}{9}$，$x_2 = -2×\frac{10}{9} + 2 = -\frac{2}{9}$，此时$\frac{10}{9} ＞ -\frac{2}{9}$，不符合$x_1＜x_2$的条件，舍去。
综上，$m$的值为$-1$。
【答案】
(1) $b = -2027\frac{1}{2025}$，$c = \frac{2027}{2025}$；
(2) 存在，$m$的值为$-1$。
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类综合题，将一元二次方程根的相关知识与一次函数结合考查，解题的关键是准确理解新定义的含义，将陌生的新定义转化为已学的代数知识求解，同时要注意题干给出的$x_1＜x_2$的限制条件，求出解后需检验是否符合要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
(1) 首先理解“Deep”点的定义：其横、纵坐标就是对应一元二次方程的两个实数根$x_1$、$x_2$。对于方程$x^2+bx+c=0$，直接利用根与系数的关系（韦达定理）：两根之和等于$-b$，两根之积等于$c$，代入已知的$x_1=\frac{1}{2025}$、$x_2=2027$即可求出$b$、$c$的值。
(2) 判断是否存在指定“Seek”线，首先要保证方程有两个不等实数根，因此先计算判别式$\Delta＞0$，得到$m$的取值范围；再根据“Seek”线的定义，点$(x_1,x_2)$在直线$y=-2x+2$上，因此$x_2=-2x_1+2$，结合韦达定理的两根和$x_1+x_2=-2m$，联立求出$x_1$关于$m$的表达式，将$x_1$代入原方程得到关于$m$的一元二次方程，解出$m$后，检验$m$是否满足$\Delta＞0$，以及是否符合$x_1＜x_2$的条件，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 根据“Deep”点的定义，方程$x^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=\frac{1}{2025}$，$x_2=2027$，由韦达定理得：
$\frac{1}{2025} + 2027 = -b$，$\frac{1}{2025}×2027 = c$
解得$b = -2027\frac{1}{2025}$，$c = \frac{2027}{2025}$。
(2) 存在，理由如下：
∵ 方程$x^2 + 2mx + m^2 + m = 0$有两个不等实数根$x_1＜x_2$，
∴ $\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 + m) = -4m ＞ 0$，解得$m ＜ 0$。
由韦达定理得$x_1 + x_2 = -2m$，即$x_2 = -x_1 - 2m$。
∵ 点$(x_1,x_2)$在直线$y = -2x + 2$上，
∴ $x_2 = -2x_1 + 2$，
联立得$-2x_1 + 2 = -x_1 - 2m$，解得$x_1 = 2m + 2$。
将$x_1 = 2m + 2$代入原方程得：
$(2m + 2)^2 + 2m(2m + 2) + m^2 + m = 0$，
整理得$9m^2 + 13m + 4 = 0$，
解得$m_1 = -1$，$m_2 = -\frac{4}{9}$，均满足$m＜0$。
当$m = -1$时，$x_1 = 2×(-1) + 2 = 0$，$x_2 = -2×0 + 2 = 2$，满足$0 ＜ 2$，符合题意；
当$m = -\frac{4}{9}$时，$x_1 = 2×(-\frac{4}{9}) + 2 = \frac{10}{9}$，$x_2 = -2×\frac{10}{9} + 2 = -\frac{2}{9}$，此时$\frac{10}{9} ＞ -\frac{2}{9}$，不符合$x_1＜x_2$的条件，舍去。
综上，$m$的值为$-1$。
【答案】
(1) $b = -2027\frac{1}{2025}$，$c = \frac{2027}{2025}$；
(2) 存在，$m$的值为$-1$。
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类综合题，将一元二次方程根的相关知识与一次函数结合考查，解题的关键是准确理解新定义的含义，将陌生的新定义转化为已学的代数知识求解，同时要注意题干给出的$x_1＜x_2$的限制条件，求出解后需检验是否符合要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
