1.如图，C，D两点将线段AB分成2：3：4三部分，E为线段AB的中点，AD=10 cm.求： (1)线段AB的长；(2)线段DE的长.

解：(1)设 $AC=2x$ cm,$CD=3x$ cm,$BD=4x$ cm.
因为 $AD=10$ cm, 所以 $5x=10$, 解得 $x=2$, 所以 $AB=(2+3+4)×2=18(\mathrm{cm}).$
(2)因为 E 为线段 AB 的中点, 所以 $AE=9$ cm. 因为 $AD=10$ cm, 所以 $DE=10-9=1(\mathrm{cm}).$

【分析】
遇到线段按比例划分的问题，我们可以先设每一份的长度为x，将各段线段用含x的代数式表示。第一问先根据AD的长度是AC与CD的和，列方程求出x的值，再将三段长度相加得到AB的总长；第二问先利用线段中点的性质求出AE的长度，再根据DE=AD-AE计算即可得到DE的长。
【解析】
(1) 设$AC=2x$ cm，$CD=3x$ cm，$BD=4x$ cm。
由线段和差关系可得：$AD=AC+CD=2x+3x=5x$，
已知$AD=10$ cm，因此$5x=10$，解得$x=2$。
则$AB=AC+CD+BD=(2+3+4)x=9×2=18(\mathrm{cm})$。
(2) 因为E为线段AB的中点，根据线段中点的定义，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9(\mathrm{cm})$，
再由线段和差关系可得：$DE=AD-AE=10-9=1(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 线段AB的长为18 cm；
(2) 线段DE的长为1 cm。
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例线段求解
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题核心是利用设参数的方法将比例关系转化为可计算的代数式，再结合已知线段长度和中点性质求解，梳理清楚各线段之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2.如图所示，射线OP平分∠MON，且∠2:∠3:∠4=1:2:3，求∠NOP的度数.

解:设$∠ 2=x$,则$∠ 3=2x$,$∠ 4=3x$. 因为射线 OP 平分$∠ MON$,所以$∠ 1=∠ 2=x$. 因为$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°$, 所以 $x+x+2x+3x=360°$, 所以 $x=\frac{360°}{7}$, 所以$∠ NOP=x=\frac{360°}{7}.$

【分析】
遇到含比例的角度计算问题，优先考虑设参数求解。首先根据∠2:∠3:∠4的比例关系，设每份角度为x，可将三个角用含x的代数式表示；再结合OP平分∠MON的条件，可得∠1=∠2=x；最后四个角共同构成周角，和为360°，据此列方程求出x的值，∠NOP与∠2相等，即x的值，即可得到所求角度。
【解析】
设$∠ 2=x$，由$∠ 2:∠ 3:∠ 4=1:2:3$，得$∠ 3=2x$，$∠ 4=3x$。
因为射线OP平分$∠ MON$，根据角平分线的定义，所以$∠ 1=∠ 2=x$。
又因为$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360°$（周角的度数为$360°$），代入得：
$x+x+2x+3x=360°$
合并同类项得$7x=360°$，解得$x=\frac{360°}{7}$。
因为$∠ NOP=∠ 2$，所以$∠ NOP=\frac{360°}{7}$。
【答案】
$\frac{360°}{7}$
【知识点】
角平分线的定义；周角的性质；方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是利用比例设参数，结合角平分线性质和周角的度数建立方程求解，这种设未知数列方程的方法在比例类几何计算中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

3.已知$AB=10$，点$C$在直线$AB$上，如果$BC=4$，$D$是线段$AC$的中点，那么线段$BD$的长为.

7 或 3

【分析】
本题需注意点C在直线AB上，而非线段AB上，因此点C存在两种符合条件的位置情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上（若点C在BA延长线上时BC长度大于10，与BC=4矛盾，可直接排除）。解题时先针对两种情况分别计算线段AC的长度，再结合线段中点的定义求出DC的长度，最后通过线段的和差关系计算得到BD的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 10 - 4 = 6$
∵D是线段AC的中点
∴$DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6=3$
∴$BD = DC + BC = 3 + 4 = 7$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 10 + 4 = 14$
∵D是线段AC的中点
∴$DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×14=7$
∴$BD = DC - BC = 7 - 4 = 3$
综上，线段BD的长为7或3。
【答案】
7或3
【知识点】
线段和差计算、线段中点的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点在直线上”的条件，只考虑点C在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意结合题意全面分析点的所有可能位置，熟练运用线段中点性质和和差关系计算线段长度。
【难度系数】
0.7

4.已知点B在直线AC上，AB=4 cm，AC=6 cm，P，Q分别是AB，AC的中点，求线段PQ的长。

解:如图 1, 因为 P,Q 分别是 AB,AC 的中点, 所以 $AP=\frac{1}{2}AB=2$ cm,$AQ=\frac{1}{2}AC=3$ cm, 所以 $PQ=AQ+AP=3+2=5(\mathrm{cm}).$
如图 2, 因为 P,Q 分别是 AB,AC 的中点, 所以 $AP=\frac{1}{2}AB=2$ cm,$AQ=\frac{1}{2}AC=3$ cm, 所以 $PQ=AQ-AP=3-2=1(\mathrm{cm}).$
故线段 PQ 的长为 5 cm 或 1 cm.

【分析】
题目中点B在直线AC上，直线可向两端无限延伸，因此点B的位置有两种情况：①点B与点C分别在点A的两侧；②点B在线段AC上。解题时先利用线段中点的性质求出AP、AQ的长度，再结合两种位置关系，通过线段的和差分别计算PQ的长度，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 如图1，点B、C在点A的两侧：
因为P，Q分别是AB，AC的中点，所以 $AP=\frac{1}{2}AB=2$ cm，$AQ=\frac{1}{2}AC=3$ cm，
所以 $PQ=AQ+AP=3+2=5(\mathrm{cm})$。

2. 如图2，点B在线段AC上：
因为P，Q分别是AB，AC的中点，所以 $AP=\frac{1}{2}AB=2$ cm，$AQ=\frac{1}{2}AC=3$ cm，
所以 $PQ=AQ-AP=3-2=1(\mathrm{cm})$。

【答案】
线段PQ的长为5 cm或1 cm。

【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略直线的延伸性，只考虑点B在线段AC上的单种情况导致漏解。解题时需先明确点的所有可能位置，再结合线段的相关性质计算即可。
【难度系数】
0.7

5.如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=22,动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t＞0)s.

(1)数轴上点B表示的数是,点P表示的数是(用含t的代数式表示);
(2)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,Q同时出发,问点P运动多少秒时追上点Q?
(3)若M为AP的中点,N为BP的中点,在点P运动的过程中线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.

解:(1)$-14$ $8-5t$
(2)如图,设点 P 运动 $x$ 秒时,在点 C 处追上点 Q,则 $AC=5x$,$BC=3x$. 因为 $AC-BC=AB$, 所以 $5x-3x=22$,解得 $x=11$,所以点 P 运动 11 s 时追上点 Q.
(3)线段 MN 的长度不发生变化,都等于 11. 理由如下:
①当点 P 在点 A,B 之间运动时,如图. $MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×22=11.$
②当点 P 运动到点 B 的左侧时,如图. $MN=MP-NP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=11.$ 所以线段 MN 的长度不发生变化,其值为 11.

【分析】
1. 第(1)问：已知点A表示的数为8，B在A左侧且AB=22，因此B对应的数为A的数减去AB的长度；动点P向左做匀速运动，运动t秒的路程为速度×时间即5t，因此P对应的数为初始位置8减去运动的路程即可。
2. 第(2)问：属于追及问题，P、Q同时向左运动，P速度更快，当P追上Q时，P比Q多走的路程恰好等于AB的长度22，据此列一元一次方程求解即可。
3. 第(3)问：利用线段中点的性质分情况讨论：①当P在A、B之间时，MN为MP与NP的和，二者分别为AP、BP的一半，相加后即为AB长度的一半；②当P运动到B左侧时，MN为MP与NP的差，化简后仍为AB长度的一半，因此MN长度不变。
【解析】
(1) 点B在点A左侧，AB=22，因此点B表示的数为$8-22=-14$；动点P从A出发向左运动，t秒运动了$5t$个单位长度，因此点P表示的数为$8-5t$。
(2) 设点P运动x秒时追上Q，此时P运动的路程为$5x$，Q运动的路程为$3x$，追上时P比Q多走了AB的长度22，因此列方程：
$5x-3x=22$
解得$x=11$。
(3) 线段MN的长度不发生变化，理由如下：
①当点P在A、B之间运动时，M是AP中点，因此$MP=\frac{1}{2}AP$；N是BP中点，因此$NP=\frac{1}{2}BP$，则：
$MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×22=11$
②当点P运动到点B左侧时，同理$MP=\frac{1}{2}AP$，$NP=\frac{1}{2}BP$，则：
$MN=MP-NP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=11$
综上，MN的长度恒为11。
【答案】
解:(1)$-14$ $8-5t$
(2)如图,设点 P 运动 $x$ 秒时,在点 C 处追上点 Q,则 $AC=5x$,$BC=3x$. 因为 $AC-BC=AB$, 所以 $5x-3x=22$,解得 $x=11$,所以点 P 运动 11 s 时追上点 Q.
(3)线段 MN 的长度不发生变化,都等于 11. 理由如下:
①当点 P 在点 A,B 之间运动时,如图. $MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×22=11.$
②当点 P 运动到点 B 的左侧时,如图. $MN=MP-NP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=11.$ 所以线段 MN 的长度不发生变化,其值为 11.
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，线段中点性质
【点评】
本题是数轴与线段计算结合的典型题型，综合考察了数轴上点的表示、追及问题的方程解法，同时通过分类讨论的思路考察线段中点的性质，能够锻炼数形结合和分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.65

6.如图,点O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC.

(1)若∠AOC=40°,求∠DOE的度数;
(2)将∠COD绕顶点O旋转,且保持射线OC在直线AB上方,在整个旋转过程中,当∠AOC的度数是多少时,∠COE=2∠DOB?

解:(1)因为$∠ AOC=40°$,所以$∠ BOC=140°$. 又因为 OE 平分$∠ BOC$,所以$∠ COE=\frac{1}{2}×140°=70°$. 因为$∠ COD=90°$,所以$∠ DOE=90°-70°=20°.$
(2)设$∠ AOC=α$,则$∠ BOC=180°-α$, 因为 OE 平分$∠ BOC$,所以$∠ COE=\frac{1}{2}×(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$,分两种情况:
① 当 OD 在直线 AB 上方时,$∠ BOD=90°-α$, 因为$∠ COE=2∠ DOB$, 所以 $90°-\frac{1}{2}α=2(90°-α)$,解得 $α=60°$.
② 当 OD 在直线 AB 下方时,$∠ BOD=90°-(180°-α)=α-90°$. 因为$∠ COE=2∠ DOB$,所以 $90°-\frac{1}{2}α=2(α-90°)$,解得 $α=108°$.
综上所述,当$∠ AOC$的度数是$60°$或$108°$时,$∠ COE=2∠ DOB.$

【分析】
(1) 首先利用平角的性质，直线AB上的∠AOC与∠BOC之和为180°，结合已知∠AOC的度数可求出∠BOC；再根据角平分线的定义，由OE平分∠BOC求出∠COE的度数；最后结合∠COD是直角，用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数。
(2) 设∠AOC=α，先表示出∠BOC=180°-α，再由角平分线定义得到∠COE的表达式。由于∠COD绕点O旋转时，OD的位置有两种可能：在直线AB上方、在直线AB下方，因此分两种情况分别表示出∠DOB，再根据∠COE=2∠DOB列方程求解，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 因为点O在直线AB上，所以∠AOC+∠BOC=180°，已知∠AOC=40°，因此∠BOC=180°-40°=140°。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
又因为∠COD是直角，即∠COD=90°，所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-70°=20°。
(2) 设∠AOC=α，则∠BOC=180°-α，
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
分两种情况讨论：
① 当OD在直线AB上方时，∠BOD=90°-α，根据∠COE=2∠DOB，列方程得：$90°-\frac{1}{2}α=2(90°-α)$，解得$α=60°$。
② 当OD在直线AB下方时，∠BOD=α-90°，根据∠COE=2∠DOB，列方程得：$90°-\frac{1}{2}α=2(α-90°)$，解得$α=108°$。
综上可得∠AOC的度数为60°或108°。
【答案】
解:(1)因为$∠ AOC=40°$,所以$∠ BOC=140°$. 又因为 OE 平分$∠ BOC$,所以$∠ COE=\frac{1}{2}×140°=70°$. 因为$∠ COD=90°$,所以$∠ DOE=90°-70°=20°.$
(2)设$∠ AOC=α$,则$∠ BOC=180°-α$, 因为 OE 平分$∠ BOC$,所以$∠ COE=\frac{1}{2}×(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$,分两种情况:
① 当 OD 在直线 AB 上方时,$∠ BOD=90°-α$, 因为$∠ COE=2∠ DOB$, 所以 $90°-\frac{1}{2}α=2(90°-α)$,解得 $α=60°$.
② 当 OD 在直线 AB 下方时,$∠ BOD=90°-(180°-α)=α-90°$. 因为$∠ COE=2∠ DOB$,所以 $90°-\frac{1}{2}α=2(α-90°)$,解得 $α=108°$.
综上所述,当$∠ AOC$的度数是$60°$或$108°$时,$∠ COE=2∠ DOB.$
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查角的相关计算，需要熟练掌握角平分线的性质和平角的特征，解题时要注意动态旋转类问题往往存在多种情况，需分类讨论避免漏解，通过设未知数列方程的方法可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6