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1. (2026·沈阳月考)关于函数$y=4x^2$的表述，
正确的一项是 （
A.无论$x$为任何实数，$y$的值总为正数
B.它的图象在第一、二象限内
C.当$x$的值增大时，$y$的值也增大
D.它的图象关于$y$轴对称
正确的一项是 （
D
）A.无论$x$为任何实数，$y$的值总为正数
B.它的图象在第一、二象限内
C.当$x$的值增大时，$y$的值也增大
D.它的图象关于$y$轴对称
答案
1. D 解析:$\because y=4x^{2}$是二次函数,且$a=4＞0,\therefore$ 函数图象开口向上,顶点为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.A. 当$x=0$时,$y=0$,不是正数,故 A 错误.B. 图象经过原点,原点不在任何象限内,故 B 错误.C. 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,故 C 错误.D. $\because y=4x^{2}$,$\therefore$ 图象关于$y$轴对称,故 D 正确.故选 D.
2. 已知点$A(x_{1},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})$在二次函数$y=-x^{2}+c(c＞0)$的图象上，点$A,C$是该函数图象与正比例函数$y=kx(k$为常数且$k＞0)$的图象的交点. 若$x_{1}＜0＜x_{2}＜x_{3}$，则$-\dfrac{\sqrt{2}}{2},y_{2},y_{3}$的大小关系为（
A.$y_{3}＜y_{2}＜-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{2}＜-\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜y_{3}$
D.$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜y_{3}＜y_{2}$
D
）A.$y_{3}＜y_{2}＜-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{2}＜-\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜y_{3}$
D.$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜y_{3}＜y_{2}$
答案
2. D 解析:根据题意可得大致图象如图所示,点A在第三象限,点B,C在第一象限,且B在C的左上方,则$y_2＞0,y_3＞0$,根据抛物线开口向下,在$y$轴右侧,$y$随着$x$的增大而减小得$y_3＜y_2$,$\therefore -\frac{\sqrt{2}}{2}＜y_3＜y_2$.故选 D.
归纳总结 比较二次函数值的大小：
①代入比较法:将点的坐标代入表达式计算,求出函数值再比较.
②增减性比较法:当点都在对称轴同侧时,直接根据增减性比较大小;当点不在对称轴同侧时,利用对称性将对称轴两侧的点转化到同一侧,再根据增减性比较大小.
③距离比较法:当开口向上时,抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大;当开口向下时,抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越小.
3. (2025·深圳模拟)如图,坐标平面内,点A是抛物线$y=x^2$上异于点O的任一点,AO与抛物线$y=2x^2$的交点记为A',现请你考查$\frac{OA}{OA'}$这一比值,它是否会随着点A的位置改变而发生改变?若改变,说明比值变化的规律;若不变,请求出该比值大小.下列对上述问题的回答正确的是 (
A.改变;该比值会随x的增大而增大
B.改变;该比值会随|x|的增大而减小
C.不变;比值大小为2
D.不变;比值大小为$\sqrt{2}$
C
)A.改变;该比值会随x的增大而增大
B.改变;该比值会随|x|的增大而减小
C.不变;比值大小为2
D.不变;比值大小为$\sqrt{2}$
答案
3. C 解析:设$A(a,a^2)$,$\therefore$ 直线$OA$的表达式为$y=ax$,代入$y=2x^2$,得$ax=2x^2$,$\therefore x=0$或$\frac{a}{2}$,$\therefore A'(\frac{a}{2},\frac{a^2}{2})$,$\therefore A'$是$OA$的中点,$\therefore \frac{OA}{OA'}=2$,即比值不变,恒为2.故选 C.
4. 抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2 +2$可由抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$沿y轴向
上
平移2
个单位长度得到，它的图象开口向下
，顶点坐标为(0,2)
，对称轴为y轴
。答案
4. 上 2 下 $(0,2)$ $y$轴 解析:$\because$ 抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2+2$的顶点坐标为$(0,2)$,而抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$,$\therefore$ 平移方法为向上平移2个单位长度.$\because a=-\frac{1}{3}＜0$,它的开口向下,顶点坐标为$(0,2)$,对称轴为$y$轴,故答案为上,2,下,$(0,2)$,$y$轴.
5. 新题型 双空题 二次函数$y=3x^2+100$的最小值是
100
.当x取$x_1$和$x_2(x_1≠x_2)$时函数值相等，则当x取$x_1+x_2$时，函数值为100
.答案
5. 100 100 解析:二次函数$y=3x^2+100$图象的对称轴为$y$轴,开口向上,$x=0$时有最小值100,$x$分别取$x_1,x_2$时函数值相等,$\therefore x_1+x_2=0$,$\therefore$ 当$x$取$x_1+x_2$时,函数值$y=100$.
6. 如图所示,四个二次函数图象对应的表达式分别是①$y=ax^2$；②$y=bx^2$；③$y=cx^2$；④$y=dx^2$.则$a,b,c,d$的大小关系是
a＞b＞d＞c
.答案
6. $a＞b＞d＞c$ 解析:因为直线$x=1$与四条抛物线的交点从上到下依次为$(1,a),(1,b),(1,d),(1,c)$,$\therefore a＞b＞d＞c$.
7. 分别根据下列条件,求抛物线$y=ax^2 -1$的函数表达式.
(1)过点$(-3,2)$;
(2)与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口大小相同、方向相反;
(3)当$x$的值由0增加到2时,函数值减少4.
(1)过点$(-3,2)$;
(2)与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口大小相同、方向相反;
(3)当$x$的值由0增加到2时,函数值减少4.
答案
7. (1)$2=a×(-3)^2-1$,$9a=3$,$a=\frac{1}{3}$,故$y=\frac{1}{3}x^2-1$.
(2)由已知得$a=-\frac{1}{2}$,故$y=-\frac{1}{2}x^2-1$.
(3)当$x=0$时,$y=-1$;当$x=2$时,$y=a×2^2-1$,故$a×2^2-1=-5$,解得$a=-1$,即$y=-x^2-1$.
(2)由已知得$a=-\frac{1}{2}$,故$y=-\frac{1}{2}x^2-1$.
(3)当$x=0$时,$y=-1$;当$x=2$时,$y=a×2^2-1$,故$a×2^2-1=-5$,解得$a=-1$,即$y=-x^2-1$.
