11. 如图所示,已知抛物线$y=x^2$上有一点A,点A的横坐标是-1,过点A作$AB// x$轴,交抛物线于另一点B,则$△ AOB$的面积为.

11.1 解析:
∵点A在抛物线$y=x^2$上,且点A的横坐标是-1,
∴$A(-1,1)$.由题意得,点B是点A关于y轴的对称点,
∴$B(1,1)$,
∴$AB=2$,
∴$△AOB$的面积为$\frac{1}{2} AB · OC=\frac{1}{2}×2×1=1$.

12. 已知抛物线$y=-x^2$与直线$y=3x+m$都经过点$(2,n)$.
(1)画出$y=-x^2$的图象,并求出$m,n$的值.
(2)两者是否存在另一个交点? 若存在,请求出这个点的坐标;若不存在,请说明理由.

12.(1)$y=-x^2$的图象如图.把点$(2,n)$代入抛物线$y=-x^2$,得$n=-4$,把点$(2,-4)$代入直线$y=3x+m$,得$m=-10$.
(2)存在.由题意得$3x-10=-x^2$,解得$x=-5$或$x=2$,则$y=-25$或$y=-4$,
∴存在另一个交点,坐标为$(-5,-25)$.

13. 新题型 新运算 定义运算“※”为 $a※b = \begin{cases}ab^2(b＞0), \\ -ab^2(b≤0).\end{cases}$ 如: $1※(-2)= -1×(-2)^2=-4$, 则函数 $y=1※x$ 的图象大致是 ( )

13.C 解析:$y=1※x=\begin{cases}x^2(x＞0), \\ -x^2(x≤0),\end{cases}$ 当$x＞0$时,图象是$y=x^2$在y轴右侧的部分;当$x≤0$时,图象是$y=-x^2$在y轴左侧的部分(包括原点).

14. (2026·德州期中)如图,分别过点$P_i(i,0)$($i=1,2,\dots,2025$)作$x$轴的垂线,交$y=x^2$的图象于点$A_i$,交直线$y=-x$于点$B_i$,则$\frac{1}{A_1B_1}+\frac{1}{A_2B_2}+\frac{1}{A_3B_3}+\dots+\frac{1}{A_{2025}B_{2025}}$的值为 ()


A.$\frac{2024}{2025}$
B.$\frac{2025}{2026}$
C.$\frac{2023}{2025}$
D.$\frac{2023}{2026}$

14.B 解析:根据题意得,$A_iB_i=i^2-(-i)=i^2+i=i(i+1)$,
∴$\frac{1}{A_iB_i}=\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}$,
∴$\frac{1}{A_1B_1}+\frac{1}{A_2B_2}+\frac{1}{A_3B_3}+\dots+\frac{1}{A_{2025}B_{2025}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$.故选B.

15. 已知点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上.
(1)求点$A$的坐标.
(2)在$x$轴上是否存在点$P$,使$△ OAP$是等腰三角形?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

15.(1)
∵点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上,
∴代入得$a=1^2=1$,
∴点A的坐标为$(1,1)$.
(2)存在.
∵$△OAP$是等腰三角形,如图,①当$OA=AP_1$时,此时$OP_1=1+1=2$,即点$P_1$的坐标是$(2,0)$;②此时$AP_2=OP_2=1$,点$P_2$的坐标是$(1,0)$;③当$OA=OP$时,此时符合条件的有两点$P_3,P_4$,$OA=OP_3=OP_4=\sqrt{2}$,则$P_3(\sqrt{2},0)$,$P_4(-\sqrt{2},0)$.综上,点P的坐标为$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$或$(2,0)$或$(1,0)$.