1. 已知二次函数$y=2x^2+bx+1$（$b$为常数），当$b$取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的表达式是________；如果二次函数$y=2x^2+bx+1$图象的顶点只在$x$轴上方移动，那么$b$的取值范围是________。

这条抛物线的表达式是$y=-2x^2+1$；$b$的取值范围是$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
解析: $\because y=2x^2+bx+1$ 的顶点坐标是 $(-\frac{b}{4},\frac{8-b^2}{8})$, 设 $x=-\frac{b}{4},y=\frac{8-b^2}{8},\therefore b=-4x,y=\frac{8-b^2}{8}=-2x^2+1$.若 $y=2x^2+bx+1$ 图象的顶点只在 $x$ 轴上方移动,$\because a=2＞0,\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴没有交点,$\therefore \Delta =b^2-8＜0$,解得$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$.

2. (2025·广安中考)如图,二次函数$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$($b,c$为常数)的图象交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$,已知点$B$的坐标为$(9,0)$,点$C$的坐标为$(0,-3)$,连接$AC,BC$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点$P$为抛物线上的一个动点,连接$PC$,当$∠ PCB = ∠ OBC$时,点$P$的坐标为________;
(3)将抛物线沿射线$CA$的方向平移$2\sqrt{10}$个单位长度后得到新抛物线,点$E$在新抛物线上,点$F$是原抛物线对称轴上的一点,若以点$B,C,E,F$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$E$的坐标.

(1)把 $B(9,0),C(0,-3)$ 代入到 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 中得
$\begin{cases}\frac{1}{3}×9^2+9b+c=0,\\c=-3,\end{cases}\therefore \begin{cases}b=-\frac{8}{3},\\c=-3,\end{cases}\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3$.
(2)点P的坐标为$(8,-3)$或$(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$
解析:如图①所示,当点 $P$ 在 $BC$ 下方时,
$\because ∠ PCB=∠ OBC,\therefore PC// OB,\therefore$ 点 $P$ 与点 $C$ 关于抛物线对称轴对称.$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{-\frac{8}{3}}{2×\frac{1}{3}}=4,\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(8,-3)$.如图②所示,当点 $P$ 在 $BC$ 上方时,设直线 $PC$ 交 $x$ 轴于 $H,\because ∠ PCB=∠ OBC,\therefore CH=BH,\therefore CH^2=BH^2$.设 $H(m,0),\therefore (0-m)^2+(-3-0)^2=(9-m)^2$, 解得 $m=4$, $\therefore H(4,0)$.设直线 $PC$ 的表达式为 $y=k_1x+b_1(k_1≠0)$,
$\therefore \begin{cases}4k_1+b_1=0,\\b_1=-3,\end{cases}\therefore \begin{cases}k_1=\frac{3}{4},\\b_1=-3,\end{cases}\therefore$ 直线 $PC$ 表达式为 $y=\frac{3}{4}x-3$,
联立 $\begin{cases}y=\frac{3}{4}x-3,\\y=\frac{1}{3}x^2-\frac{8}{3}x-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{41}{4},\\y=\frac{75}{16}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=-3\end{cases}$(舍去),$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$.综上所述,点 $P$ 的坐标为 $(8,-3)$ 或 $(\frac{41}{4},\frac{75}{16})$.
(3)点 $E$ 的坐标为 $(-5,14)$ 或 $(13,38)$ 或 $(5,\frac{2}{3})$.
解析:由(2)可得原抛物线对称轴为直线 $x=4,\because B(9,0)$, $\therefore$ 由对称性可得 $A(-1,0),\therefore OA=1.\because C(0,-3),\therefore OC=3$, $\therefore AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{10}.\because$ 将抛物线沿射线 $CA$ 的方向平移 $2\sqrt{10}$ 个单位长度后得到新抛物线,$\therefore$ 将原抛物线向左平移 2 个单位长度,向上平移 6 个单位长度得到新抛物线, $\therefore$ 新抛物线表达式为 $y=\frac{1}{3}(x+2)^2-\frac{8}{3}(x+2)-3+6=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$.当 $BE$ 为对角线时,$\because$ 平行四边形对角线互相平分, $\therefore BE,CF$ 的中点坐标相同,$\therefore \frac{x_E+9}{2}=\frac{0+4}{2},\therefore x_E=-5,\therefore y_E=\frac{1}{3}×(-5)^2-\frac{4}{3}×(-5)-1=14,\therefore$ 此时点 $E$ 的坐标为 $(-5,14)$;当 $BF$ 为对角线时,$\because$ 平行四边形对角线互相平分, $\therefore BF,CE$ 的中点坐标相同,$\therefore \frac{x_E+0}{2}=\frac{9+4}{2},\therefore x_E=13,\therefore y_E=\frac{1}{3}×13^2-\frac{4}{3}×13-1=38,\therefore$ 此时点 $E$ 的坐标为 $(13,38)$;当 $BC$ 为对角线时,$\because$ 平行四边形对角线互相平分,$\therefore BC,EF$ 的中点坐标相同,$\therefore \frac{x_E+4}{2}=\frac{9+0}{2},\therefore x_E=5,\therefore y_E=\frac{1}{3}×5^2-\frac{4}{3}×5-1=\frac{2}{3},\therefore$ 此时点 $E$ 的坐标为 $(5,\frac{2}{3})$.综上所述,点 $E$ 的坐标为 $(-5,14)$ 或 $(13,38)$ 或 $(5,\frac{2}{3})$.

3. 如图，将二次函数 $y = |x^2 - m|(m＞0)$ 的图象记为 $y_1$，一次函数 $y = x + b$ 的图象记为 $y_2$，则以下说法：
①当 $m = 1$，且 $y_1$ 与 $y_2$ 恰好有三个交点时，$b$ 有唯一值为 $1$；②当 $b = 2$，且 $y_1$ 与 $y_2$ 恰有两个交点时，$m＞4$ 或 $0＜m＜\frac{7}{4}$；③当 $m = b$ 时，$y_1$ 与 $y_2$ 至少有两个交点，且其中一个交点为 $(0,m)$；④当 $m = -b$ 时，$y_1$ 与 $y_2$ 一定有交点。
其中正确说法的序号为 。

正确说法的序号为②③
解析:$y_1=\begin{cases}x^2-m(x＞\sqrt{m}\mathrm{ 或 }x＜-\sqrt{m}),\\-x^2+m(-\sqrt{m}＜x＜\sqrt{m}),\end{cases}y_2=x+b$.
①当 $m=1$,直线与抛物线相切时也有三个交点,此时 $b=\frac{5}{4},\therefore b=1$ 或 $b=\frac{5}{4}$,故①错误;②当 $b=2$,$y_1$ 与 $y_2$ 恰有两个交点时,由图象可知,有两种情况,一种是直线 $y_2$ 与 $y=x^2-m$ 有一个交点,且与 $y=-x^2+m$ 有一个交点,此时 $m＞4$;另一种是 $y_2$ 与 $y=x^2-m$ 的 $x$ 轴上方部分有两个交点,此时 $0＜m＜\frac{7}{4}$,故②正确;③当 $m=b$ 时,$y_1$ 与 $y_2$ 均与 $y$ 轴相交于点 $(0,m)$,由图象可知 $y_1$ 与 $y_2$ 至少有两个交点,故③正确;④当$m=-b$时,$\because m＞0,\therefore b＜0$,由图象可知 $y_1$ 与 $y_2$ 不一定有交点(也可联立方程,用根的判别式来求),故④错误.

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ＞ 0) $ 的图象与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),且AB=10,图象顶点的横坐标为4.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求方程 $ ax^2 - (6a - b)x + 9a - 6b + c = 0 $ 的解;
(3)若 $ a = 1 $,将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象,若直线 $ y = k $ 与新图象有4个交点,从左至右依次为M,N,P,Q,当 $ MN = \frac{1}{2}NP = PQ $ 时,求k的值.

(1)$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c(a＞0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点,图象顶点的横坐标为 $4,\therefore$ 二次函数对称轴为直线 $x=4$,且 $A,B$ 两点关于直线 $x=4$ 对称.$\because AB=10$,$A$ 在 $B$ 的左侧, $\therefore A,B$ 两点到直线 $x=4$ 的距离为 $5,\therefore A(-1,0),B(9,0)$.
(2)$\because A(-1,0),B(9,0),\therefore y=ax^2+bx+c=a(x+1)(x-9)=ax^2-8ax-9a,\therefore b=-8a,c=-9a,\therefore$ 方程 $ax^2-(6a-b)x+9a-6b+c=0$ 化简为 $ax^2-14ax+48a=0.\because a＞0,\therefore x^2-14x+48=0$,解得 $x_1=6,x_2=8$.
(3)$\because a=1,\therefore y=(x+1)(x-9)=x^2-8x-9$,翻折后 $y'=-x^2+8x+9$,如图.直线 $y=k$ 与新图象有 4 个交点,从左至右依次为 $M,N,P,Q,\because MN=\frac{1}{2}NP=PQ$,对称轴为直线 $x=4,\therefore$ 设 $MN=\frac{1}{2}NP=PQ=m$,则 $x_P=4+m$, $x_Q=4+2m$,分别代入对应函数表达式,得 $y_P=-m^2+25$, $y_Q=4m^2-25$. $\because y_P=y_Q$,即$-m^2+25=4m^2-25$,解得 $m^2=10$, $\therefore k=y_P=-m^2+25=15$.