5. (2024·内江中考节选)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-2x+6$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线$y=-x^2+bx+c$经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作$DC ⊥ x$轴于点C,交AB于点E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四边形EGFD为菱形时,求点D的横坐标.

(1)令$y=0$,则$-2x+6=0$,则$x=3$;令$x=0$,则$y=6$,
∴ $A(3,0)$,$B(0,6)$.把$A(3,0)$,$B(0,6)$代入$y=-x^2+bx+c$,得$\begin{cases}-9+3b+c=0,\\c=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=1,\\c=6.\end{cases}$
∴ 这条抛物线所对应的函数表达式为$y=-x^2+x+6$.
(2)如图,
∵ 四边形EGFD为菱形,
∴ $DE//FG$,$DE=FG$,$ED=EG$,设点$D(m,-m^2+m+6)$,$E(m,-2m+6)$,$F(n,-n^2+n+6)$,$G(n,-2n+6)$,
∴ $DE=-m^2+3m$,$FG=-n^2+3n$,
∴ $-m^2+3m=-n^2+3n$,即$(m-n)(m+n-3)=0$.
∵ $m-n≠0$,
∴ $m+n-3=0$,即$m+n=3$或$n=3-m$.
∵ $A(3,0)$,$B(0,6)$,
∴ $AO=3$,$BO=6$,
∴ $AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=3\sqrt{5}$,过点G作$GK⊥DC$于点K,
∴ $KG//AC$,
∴ $∠EGK=∠BAC$,易得$△KGE∽△OAB$,
∴ $\dfrac{KG}{EG}=\dfrac{OA}{AB}$,即$\dfrac{n-m}{EG}=\dfrac{3}{3\sqrt{5}}$,
∴ $EG=\sqrt{5}(n-m)=\sqrt{5}(3-2m)$.
∵ $DE=EG$,
∴ $-m^2+3m=\sqrt{5}(3-2m)$,
∴ $m^2-(3+2\sqrt{5})m+3\sqrt{5}=0$,解得$m=\dfrac{3+2\sqrt{5}+\sqrt{29}}{2}$(不符合题意,舍去)或$m=\dfrac{3+2\sqrt{5}-\sqrt{29}}{2}$,故$m=\dfrac{3+2\sqrt{5}-\sqrt{29}}{2}$,
∴ 点D的横坐标为$\dfrac{3+2\sqrt{5}-\sqrt{29}}{2}$.

6. (2026·吉林期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+2x+c$经过原点$O$,与$x$轴正半轴交于另一点$A$,点$B(-1,-3)$在抛物线上,点$M$是抛物线上一点(不与点$B$重合),其横坐标为$m$,以$BM$为对角线作矩形$BCMD$,$BC$垂直于$y$轴.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)当抛物线在矩形$BCMD$内部的图象从左到右逐渐上升时,直接写出$m$的取值范围;
(3)当矩形$BCMD$内部的抛物线(包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时,求$m$的值;
(4)当矩形$BCMD$为正方形时,直接写出$m$的值.

(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+2x+c$经过原点O,点$B(-1,-3)$在抛物线上,
∴ $\begin{cases}c=0,\\a-2+c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=0,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-x^2+2x$,
∵ $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(1,1)$.
(2)$m＜3$且$m≠-1$. 解析:
∵ 点M是抛物线上一点(不与点B重合),其横坐标为m,又以BM为对角线作矩形BCMD,BC垂直于y轴,且抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升,如图①②③.
则当点M在点C上方时及点M在第三象限且在点C下方时满足条件,
∵ 当$y=-3$时,有$-x^2+2x=-3$,解得$x_1=3$,$x_2=-1$,此时,$m=3$(当$m=-1$时,点M与点B重合,舍去),
∴ 当$m＜3$且$m≠-1$时,抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升.
(3)
∵ 点M横坐标为m,
∴ $y_M=-m^2+2m$,当点M在点C的上方时$(-1＜m＜3)$,
∵ 矩形BCMD内部的抛物线(包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2,
∴ $-m^2+2m-(-3)=2$,解得$m=1+\sqrt{2}$或$m=1-\sqrt{2}$;当点M在点C的下方时($m＜1$或$m＞3$),
∵ 矩形BCMD内部的抛物线(包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2,
∴ $-3-(-m^2+2m)=2$,解得$m=1+\sqrt{6}$或$m=1-\sqrt{6}$.综上,当矩形BCMD内部的抛物线(包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时,m的值为$1+\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$或$1+\sqrt{6}$或$1-\sqrt{6}$.
(4)$m=2$或$m=4$. 解析:由(3)可知$y_M=-m^2+2m$,
∵ 矩形BCMD为正方形,
∴ $BC=MC$,
∴ $|m-(-1)|=|-m^2+2m-(-3)|$,即$|m+1|=|-m^2+2m+3|$,
∴ $m+1=-m^2+2m+3$或$m+1=-(-m^2+2m+3)$,解得$m=2$或$m=-1$(不合题意,舍去)或$m=4$或$m=-1$(不合题意,舍去).综上,当矩形BCMD为正方形时,m的值为2或4.