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一、选择题
1. 将一张边长为 30 cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为 $ x $ cm 的小正方形，设剩余部分面积为 $ S \ \mathrm{cm}^2 $，则 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为().
A.$ S=(30-x)^2 $
B.$ S=(30-2x)^2 $
C.$ S=900-x^2 $
D.$ S=900-4x^2 $
1. 将一张边长为 30 cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为 $ x $ cm 的小正方形，设剩余部分面积为 $ S \ \mathrm{cm}^2 $，则 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为().
A.$ S=(30-x)^2 $
B.$ S=(30-2x)^2 $
C.$ S=900-x^2 $
D.$ S=900-4x^2 $
答案
D
解析
【分析】
解题思路：要得到剩余部分面积S与x的函数表达式，需先明确面积的等量关系：剩余面积=原正方形的面积 - 四个被剪去的小正方形的总面积。首先计算原正方形的面积，再计算4个边长为x的小正方形的总面积，代入等量关系即可得到函数式，同时注意区分剩余总面积和折成无盖容器的底面积，避免误选干扰项。
【解析】
1. 计算原正方形的面积：原正方形边长为30cm，根据正方形面积公式可得，原正方形面积为$30×30=900\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算被剪去的小正方形的总面积：每个小正方形边长为x cm，单个小正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，共剪去4个，因此4个小正方形的总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$。
3. 推导函数表达式：剩余面积$S=$原正方形面积 - 4个小正方形的总面积，代入得$S=900-4x^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
根据实际问题列二次函数关系式；正方形面积计算
【点评】
本题考查结合几何面积关系列函数表达式，解题核心是找准面积的等量关系，做题时要注意审题，明确所求的是剩余部分的总面积，不要和剪后折成无盖盒子的底面积混淆，避免粗心选错。
【难度系数】
0.85
解题思路：要得到剩余部分面积S与x的函数表达式，需先明确面积的等量关系：剩余面积=原正方形的面积 - 四个被剪去的小正方形的总面积。首先计算原正方形的面积，再计算4个边长为x的小正方形的总面积，代入等量关系即可得到函数式，同时注意区分剩余总面积和折成无盖容器的底面积，避免误选干扰项。
【解析】
1. 计算原正方形的面积：原正方形边长为30cm，根据正方形面积公式可得，原正方形面积为$30×30=900\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算被剪去的小正方形的总面积：每个小正方形边长为x cm，单个小正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，共剪去4个，因此4个小正方形的总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$。
3. 推导函数表达式：剩余面积$S=$原正方形面积 - 4个小正方形的总面积，代入得$S=900-4x^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
根据实际问题列二次函数关系式；正方形面积计算
【点评】
本题考查结合几何面积关系列函数表达式，解题核心是找准面积的等量关系，做题时要注意审题，明确所求的是剩余部分的总面积，不要和剪后折成无盖盒子的底面积混淆，避免粗心选错。
【难度系数】
0.85
2. 下列函数中是二次函数的为().
A.$y=(x+2)(x-2)-(x-1)^2$
B.$y=\sqrt{x^2 -1}$
C.$y=x^2 + \frac{1}{x}$
D.$y=1-(x-5)(x+6)$
A.$y=(x+2)(x-2)-(x-1)^2$
B.$y=\sqrt{x^2 -1}$
C.$y=x^2 + \frac{1}{x}$
D.$y=1-(x-5)(x+6)$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的三个判断要点：①函数表达式的右侧是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们可以先对每个选项的表达式进行化简，再对照三个要点逐一判断，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，我们据此逐个分析选项：
选项A：对表达式展开化简：
$y=(x+2)(x-2)-(x-1)^2$
$=x^2-4-(x^2-2x+1)$
$=x^2-4-x^2+2x-1$
$=2x-5$
自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除A。
选项B：$y=\sqrt{x^2-1}$，表达式右侧含有二次根式，不是整式，不符合要求，排除B。
选项C：$y=x^2+\frac{1}{x}$，表达式右侧含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合要求，排除C。
选项D：对表达式展开化简：
$y=1-(x-5)(x+6)$
$=1-(x^2+6x-5x-30)$
$=1-x^2-x+30$
$=-x^2-x+31$
符合$y=ax^2+bx+c$的形式，且二次项系数$a=-1≠0$，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题的关键是牢记二次函数的定义，注意要先将表达式化简后再判断最高次项，同时需注意二次函数的表达式必须是整式，要排除含分式、根式的情况。
【难度系数】
0.85
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的三个判断要点：①函数表达式的右侧是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们可以先对每个选项的表达式进行化简，再对照三个要点逐一判断，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，我们据此逐个分析选项：
选项A：对表达式展开化简：
$y=(x+2)(x-2)-(x-1)^2$
$=x^2-4-(x^2-2x+1)$
$=x^2-4-x^2+2x-1$
$=2x-5$
自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除A。
选项B：$y=\sqrt{x^2-1}$，表达式右侧含有二次根式，不是整式，不符合要求，排除B。
选项C：$y=x^2+\frac{1}{x}$，表达式右侧含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合要求，排除C。
选项D：对表达式展开化简：
$y=1-(x-5)(x+6)$
$=1-(x^2+6x-5x-30)$
$=1-x^2-x+30$
$=-x^2-x+31$
符合$y=ax^2+bx+c$的形式，且二次项系数$a=-1≠0$，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题的关键是牢记二次函数的定义，注意要先将表达式化简后再判断最高次项，同时需注意二次函数的表达式必须是整式，要排除含分式、根式的情况。
【难度系数】
0.85
3. 若关于x的函数$y=(2-a)x^2 - x$是二次函数，则a的取值范围是().
A.$a≠0$
B.$a≠2$
C.$a＜2$
D.$a＞2$
A.$a≠0$
B.$a≠2$
C.$a＜2$
D.$a＞2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定条件：二次函数的最高次项为二次项，且二次项的系数不能为0。我们先找到题中函数的二次项系数，令其不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数。
已知函数$y=(2-a)x^2 - x$是二次函数，因此它的二次项系数不能为0，即：
$2-a≠0$
解这个不等式可得：$a≠2$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题核心是牢记二次函数中二次项系数不为0的要求，只要掌握二次函数的定义就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定条件：二次函数的最高次项为二次项，且二次项的系数不能为0。我们先找到题中函数的二次项系数，令其不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数。
已知函数$y=(2-a)x^2 - x$是二次函数，因此它的二次项系数不能为0，即：
$2-a≠0$
解这个不等式可得：$a≠2$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题核心是牢记二次函数中二次项系数不为0的要求，只要掌握二次函数的定义就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
4. 函数 $y=(m-n)x^2 + 5x + m$（$m$，$n$ 为常数）是二次函数需满足的条件是。
答案
解：根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，因此需满足
$m - n ≠ 0$
解得 $m ≠ n$
即该函数是二次函数需满足的条件是$m ≠ n$。
$m - n ≠ 0$
解得 $m ≠ n$
即该函数是二次函数需满足的条件是$m ≠ n$。
解析
【分析】
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，核心要求是二次项系数不为0、自变量最高次数为2。本题中函数的一次项、常数项均为常数，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列式推导就能得到所需条件。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
该函数$y=(m-n)x^2 + 5x + m$的二次项系数为$m-n$，因此需满足：
$m - n ≠ 0$
解得$m ≠ n$
【答案】
$m≠n$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数二次项系数不为0的限制，粗心忽略该条件很容易出错。
【难度系数】
0.9
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，核心要求是二次项系数不为0、自变量最高次数为2。本题中函数的一次项、常数项均为常数，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列式推导就能得到所需条件。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
该函数$y=(m-n)x^2 + 5x + m$的二次项系数为$m-n$，因此需满足：
$m - n ≠ 0$
解得$m ≠ n$
【答案】
$m≠n$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数二次项系数不为0的限制，粗心忽略该条件很容易出错。
【难度系数】
0.9
5. 出售成本为10元的某种文具盒，若每个获利x元(x为正整数)，一天可售出(6−x)个，那么一天出售该种文具盒的总利润y与x之间的函数表达式为。
答案
解：
由总利润=单个利润×销售量，可得
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
根据题意，$x$为正整数，且销售量$6-x＞0$，即$x＜6$，因此自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤5$，且$x$为正整数。
最终函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+6x\ (1≤ x≤5,\ x为正整数)}$。
由总利润=单个利润×销售量，可得
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
根据题意，$x$为正整数，且销售量$6-x＞0$，即$x＜6$，因此自变量$x$的取值范围是$1≤ x≤5$，且$x$为正整数。
最终函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+6x\ (1≤ x≤5,\ x为正整数)}$。
解析
【分析】
解这道题首先要明确销售问题中总利润的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售量。第一步先将题目给出的单个获利x元、销售量(6−x)个代入等量关系，得到初步的函数关系式；第二步结合实际意义确定自变量x的取值范围：x是正整数，同时销售量不能为0或负数，即6−x＞0，综合两个限制条件得到x的有效取值范围，最后整理出完整的函数表达式即可。
【解析】
根据总利润计算公式：总利润=单个利润×销售量，将已知条件代入得：
$y = x(6 - x)$
化简后为：$y = -x^2 + 6x$
接下来确定自变量x的取值范围：
由题意可知x为正整数，且销售量需满足$6 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$，因此x的取值范围是$1≤ x≤5$，且x为正整数。
综上可得完整的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2+6x\ (1≤ x≤5,\ x为正整数)}$
【知识点】
列二次函数解析式；实际问题自变量取值范围确定
【点评】
本题是销售类二次函数应用的基础题型，核心考查销售问题的利润等量关系，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值限制，漏写x的取值范围。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确销售问题中总利润的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售量。第一步先将题目给出的单个获利x元、销售量(6−x)个代入等量关系，得到初步的函数关系式；第二步结合实际意义确定自变量x的取值范围：x是正整数，同时销售量不能为0或负数，即6−x＞0，综合两个限制条件得到x的有效取值范围，最后整理出完整的函数表达式即可。
【解析】
根据总利润计算公式：总利润=单个利润×销售量，将已知条件代入得：
$y = x(6 - x)$
化简后为：$y = -x^2 + 6x$
接下来确定自变量x的取值范围：
由题意可知x为正整数，且销售量需满足$6 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$，因此x的取值范围是$1≤ x≤5$，且x为正整数。
综上可得完整的函数表达式。
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2+6x\ (1≤ x≤5,\ x为正整数)}$
【知识点】
列二次函数解析式；实际问题自变量取值范围确定
【点评】
本题是销售类二次函数应用的基础题型，核心考查销售问题的利润等量关系，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值限制，漏写x的取值范围。
【难度系数】
0.8
三、解答题
6. m支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的总场次数n与球队数m之间的函数表达式.
6. m支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的总场次数n与球队数m之间的函数表达式.
答案
解：
每支球队需要与除自身外的$(m-1)$支球队各进行1场比赛，直接计算得到的$m(m-1)$场中，每两队之间的比赛被重复统计了1次，
因此实际总场次数为：
$n=\frac{1}{2}m(m-1)$
整理得函数表达式为：
$n=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$（$m≥2$，且$m$为正整数）。
每支球队需要与除自身外的$(m-1)$支球队各进行1场比赛，直接计算得到的$m(m-1)$场中，每两队之间的比赛被重复统计了1次，
因此实际总场次数为：
$n=\frac{1}{2}m(m-1)$
整理得函数表达式为：
$n=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$（$m≥2$，且$m$为正整数）。
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先明确这是单循环比赛场景，第一步先分析单支球队的比赛场数：每支球队不能和自身比赛，因此每队需要和剩余的(m-1)支球队各赛1场；第二步注意重复计数问题：若直接用球队总数乘单支球队的比赛场数，每一场比赛会被对阵的两支球队各统计1次，相当于总场次被重复计算了1倍，因此需要除以2得到实际总场次；最后整理得到函数表达式，还要结合实际意义确定自变量m的取值：球队数至少为2，且为正整数。
【解析】
每支球队需要与除自身外的$(m-1)$支球队各进行1场比赛，直接计算得到的$m(m-1)$场中，每两队之间的比赛被重复统计了1次，因此实际总场次数为：
$n=\frac{1}{2}m(m-1)$
整理得函数表达式为：
$n=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$（$m≥2$，且$m$为正整数）。
【答案】
$n=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$（$m≥2$，且$m$为正整数）
【知识点】
1. 单循环计数
2. 列函数关系式
3. 二次函数的概念
【点评】
这道题结合实际比赛场景考查根据实际问题列函数关系式，解题核心是明确单循环比赛的计数规则，避免重复统计，同时要注意自变量的取值需符合实际意义，不能仅列出代数式忽略取值限制。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先明确这是单循环比赛场景，第一步先分析单支球队的比赛场数：每支球队不能和自身比赛，因此每队需要和剩余的(m-1)支球队各赛1场；第二步注意重复计数问题：若直接用球队总数乘单支球队的比赛场数，每一场比赛会被对阵的两支球队各统计1次，相当于总场次被重复计算了1倍，因此需要除以2得到实际总场次；最后整理得到函数表达式，还要结合实际意义确定自变量m的取值：球队数至少为2，且为正整数。
【解析】
每支球队需要与除自身外的$(m-1)$支球队各进行1场比赛，直接计算得到的$m(m-1)$场中，每两队之间的比赛被重复统计了1次，因此实际总场次数为：
$n=\frac{1}{2}m(m-1)$
整理得函数表达式为：
$n=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$（$m≥2$，且$m$为正整数）。
【答案】
$n=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$（$m≥2$，且$m$为正整数）
【知识点】
1. 单循环计数
2. 列函数关系式
3. 二次函数的概念
【点评】
这道题结合实际比赛场景考查根据实际问题列函数关系式，解题核心是明确单循环比赛的计数规则，避免重复统计，同时要注意自变量的取值需符合实际意义，不能仅列出代数式忽略取值限制。
【难度系数】
0.8
7. 用长20 cm的铁丝围成一个矩形，若设一边长为x，求所围矩形的面积S与x之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围。
答案
解：
由题意，矩形的周长为20 cm，一边长为$x$ cm，则与其相邻的另一边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)$ cm。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
结合矩形边长为正数的要求，列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 10 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 10$。
综上，所求函数表达式为$\boldsymbol{S=-x^2+10x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜10}$。
由题意，矩形的周长为20 cm，一边长为$x$ cm，则与其相邻的另一边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)$ cm。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
结合矩形边长为正数的要求，列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 10 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 10$。
综上，所求函数表达式为$\boldsymbol{S=-x^2+10x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜10}$。
解析
【分析】
解题时首先明确铁丝长度就是矩形的周长，结合矩形周长公式，已知一边长为x，可先求出相邻边的长度；再根据矩形面积=长×宽，即可列出面积S和x的函数关系式；最后结合矩形边长必须为正数的实际隐含条件，列不等式组求解，就能得到自变量x的取值范围。
【解析】
由题意，矩形的周长为20 cm，一边长为$x$ cm，则与其相邻的另一边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)$ cm。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
结合矩形边长为正数的要求，列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 10 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 10$。
【答案】
所求函数表达式为$\boldsymbol{S=-x^2+10x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜10}$。
【知识点】
二次函数实际应用，矩形周长与面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数的基础应用型题目，解题核心是结合几何图形的性质推导函数关系式，需要注意的是实际问题中的自变量取值要符合实际意义，不能仅从代数式本身的有意义条件判断。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确铁丝长度就是矩形的周长，结合矩形周长公式，已知一边长为x，可先求出相邻边的长度；再根据矩形面积=长×宽，即可列出面积S和x的函数关系式；最后结合矩形边长必须为正数的实际隐含条件，列不等式组求解，就能得到自变量x的取值范围。
【解析】
由题意，矩形的周长为20 cm，一边长为$x$ cm，则与其相邻的另一边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)$ cm。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
结合矩形边长为正数的要求，列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 10 - x ＞ 0 \end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 10$。
【答案】
所求函数表达式为$\boldsymbol{S=-x^2+10x}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜10}$。
【知识点】
二次函数实际应用，矩形周长与面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数的基础应用型题目，解题核心是结合几何图形的性质推导函数关系式，需要注意的是实际问题中的自变量取值要符合实际意义，不能仅从代数式本身的有意义条件判断。
【难度系数】
0.85
