3.「2025内蒙古中考，★★★」【问题背景】
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示.

【外形参数】
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线$L_1$，中间的矩形$ABCD$和下方的抛物线$L_2$组成，抛物线$L_1$的高度为8 cm，矩形$ABCD$的边$AB=8$ cm，$BC=6$ cm，抛物线$L_2$的高度为4 cm，在装置内部安装矩形电子显示屏$EFGH$，点$E,F$在抛物线$L_2$上，点$H,G$在抛物线$L_1$上.
【问题解决】

如图3，该小组以矩形$ABCD$的顶点$A$为原点，以$AB$边所在的直线为$x$轴，以$AD$边所在的直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出$B,C,D$三点的坐标.
(2)直接写出抛物线$L_1$和$L_2$的顶点坐标，并分别求出抛物线$L_1$和$L_2$的函数表达式.
(3)为满足矩形电子显示屏$EFGH$的空间要求，需要$EH$边的长为15 cm，求此时$EF$边的长.

3.解析
(1)B(8,0),C(8,6),D(0,6).
(2)抛物线$L_1$和$L_2$的顶点坐标分别为(4,14),(4,-4).
分别设抛物线$L_1$和$L_2$的函数表达式为$y_1=a_1(x-4)^2+14$,$y_2=a_2(x-4)^2-4$,
将$D(0,6)$代入$y_1=a_1(x-4)^2+14$,解得$a_1=-\frac{1}{2}$,
则抛物线$L_1$的函数表达式为$y_1=-\frac{1}{2}(x-4)^2 + 14 = -\frac{1}{2}x^2 +4x +6$.
将$A(0,0)$代入$y_2=a_2(x-4)^2-4$,解得$a_2=\frac{1}{4}$,
则抛物线$L_2$的函数表达式为$y_2=\frac{1}{4}(x-4)^2 -4=\frac{1}{4}x^2 -2x$.
(3)易得$EF// HG// x$轴,$HE⊥ x$轴,装置整体图案对称轴为直线$x=4$,$\therefore x_E=x_H$,
设$x_E=x_H=n$,$\therefore y_H=-\frac{1}{2}n^2 +4n +6$,$y_E=\frac{1}{4}n^2 -2n$,
$\therefore EH=y_H-y_E=-\frac{3}{4}n^2 +6n +6=15$,
解得$n=2$或6(在对称轴右侧,舍),$\therefore x_E=2$,
由抛物线的对称性可得$EF=2×(4-2)=4$.
故$EF$边的长为4 cm.