登录
7. 计算：$\cos 30° · \tan 30° =$
$\dfrac{1}{2}$
.答案
7. $\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查特殊锐角三角函数值的计算，解题思路如下：第一步，先回忆30°角的余弦值和正切值的准确结果；第二步，将两个三角函数值代入原式，按照乘法法则进行计算，最后约分化简得到最终结果。
【解析】
首先写出特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
代入原式计算：
$\cos30°·\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2} × \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3} × \sqrt{3}}{2 × 3} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是对特殊锐角三角函数值的熟练记忆，运算量小，掌握特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角三角函数值的计算，解题思路如下：第一步，先回忆30°角的余弦值和正切值的准确结果；第二步，将两个三角函数值代入原式，按照乘法法则进行计算，最后约分化简得到最终结果。
【解析】
首先写出特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
代入原式计算：
$\cos30°·\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2} × \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3} × \sqrt{3}}{2 × 3} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是对特殊锐角三角函数值的熟练记忆，运算量小，掌握特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 如果$\cos(α + 20°)=\frac{1}{2}$，那么锐角$α=$
$40°$
。答案
8. $40°$.
解析
【分析】
解题首先要回忆特殊角的三角函数值，已知余弦值为$\frac{1}{2}$的特殊锐角是$60°$；再结合题目中$α$是锐角的限定，确定$α+20°$的取值范围在$20°$到$110°$之间，该范围内只有$60°$的余弦值为$\frac{1}{2}$，因此可列等式求出$α$的度数。
【解析】
解：$\because$ 特殊角的三角函数值中，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
又$\because$ $α$是锐角，即$0°＜α＜90°$，
$\therefore$ $20°＜α+20°＜110°$，
$\therefore$ 结合$\cos(α+20°)=\frac{1}{2}$可得：$α+20°=60°$，
解得：$α=60°-20°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，角度计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，解题时注意结合锐角的取值范围排除不符合要求的解，避免出错。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆特殊角的三角函数值，已知余弦值为$\frac{1}{2}$的特殊锐角是$60°$；再结合题目中$α$是锐角的限定，确定$α+20°$的取值范围在$20°$到$110°$之间，该范围内只有$60°$的余弦值为$\frac{1}{2}$，因此可列等式求出$α$的度数。
【解析】
解：$\because$ 特殊角的三角函数值中，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
又$\because$ $α$是锐角，即$0°＜α＜90°$，
$\therefore$ $20°＜α+20°＜110°$，
$\therefore$ 结合$\cos(α+20°)=\frac{1}{2}$可得：$α+20°=60°$，
解得：$α=60°-20°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，角度计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，解题时注意结合锐角的取值范围排除不符合要求的解，避免出错。
【难度系数】
0.9
9. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$AB=3$，$BC=\sqrt{3}$，那么$\tan A$的值是________.
答案
9. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题需要在直角三角形中求锐角A的正切值，解题思路如下：首先回忆锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。已知Rt△ABC的斜边AB和∠A的对边BC，首先需要用勾股定理求出∠A的邻边AC的长度，再代入正切的定义式计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 由勾股定理求$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$
2. 根据正切的定义计算$\tan A$：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理；锐角正切的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是准确记忆锐角正切的定义，结合勾股定理求出未知直角边的长度，计算过程中注意二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题需要在直角三角形中求锐角A的正切值，解题思路如下：首先回忆锐角正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。已知Rt△ABC的斜边AB和∠A的对边BC，首先需要用勾股定理求出∠A的邻边AC的长度，再代入正切的定义式计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 由勾股定理求$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$
2. 根据正切的定义计算$\tan A$：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理；锐角正切的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是准确记忆锐角正切的定义，结合勾股定理求出未知直角边的长度，计算过程中注意二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
10. 如图，某铁路路基横断面为一个梯形，其中AB//DC，AD=BC。如果腰的坡度为1：1.5，上底AB为3 m，路基高为4 m，那么路基的下底宽DC是
$15\ \mathrm{m}$
。答案
10. $15\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题是等腰梯形结合坡度的实际应用问题，解题思路如下：首先根据已知条件判断梯形为等腰梯形，通过作梯形的两条高，将梯形分割为1个矩形和2个全等的直角三角形；再结合坡度（垂直高度与水平宽度的比值）的定义，求出直角三角形的水平边长；最后将各段长度相加即可得到下底的宽度。
【解析】
过A作$AE ⊥ DC$于E，过B作$BF ⊥ DC$于F，
$\because AB // DC$，$AE ⊥ DC$，$BF ⊥ DC$，
$\therefore$ 四边形AEFB是矩形，$\therefore EF=AB=3\ \mathrm{m}$，$AE=BF=4\ \mathrm{m}$。
又$\because AD=BC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$，$\therefore DE=FC$。
已知腰的坡度为$1:1.5$，即$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{1.5}$，
代入$AE=4\ \mathrm{m}$，得$DE=4 × 1.5=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore FC=DE=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore DC=DE+EF+FC=6+3+6=15\ \mathrm{m}$。
【答案】
$15\ \mathrm{m}$
【知识点】
等腰梯形的性质；坡度的定义；矩形的性质
【点评】
本题是几何实际应用类基础题，解题的核心是通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，结合坡度的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是等腰梯形结合坡度的实际应用问题，解题思路如下：首先根据已知条件判断梯形为等腰梯形，通过作梯形的两条高，将梯形分割为1个矩形和2个全等的直角三角形；再结合坡度（垂直高度与水平宽度的比值）的定义，求出直角三角形的水平边长；最后将各段长度相加即可得到下底的宽度。
【解析】
过A作$AE ⊥ DC$于E，过B作$BF ⊥ DC$于F，
$\because AB // DC$，$AE ⊥ DC$，$BF ⊥ DC$，
$\therefore$ 四边形AEFB是矩形，$\therefore EF=AB=3\ \mathrm{m}$，$AE=BF=4\ \mathrm{m}$。
又$\because AD=BC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$，$\therefore DE=FC$。
已知腰的坡度为$1:1.5$，即$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{1.5}$，
代入$AE=4\ \mathrm{m}$，得$DE=4 × 1.5=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore FC=DE=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore DC=DE+EF+FC=6+3+6=15\ \mathrm{m}$。
【答案】
$15\ \mathrm{m}$
【知识点】
等腰梯形的性质；坡度的定义；矩形的性质
【点评】
本题是几何实际应用类基础题，解题的核心是通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，结合坡度的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 在坡角为$30°$的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3 m，那么相邻两棵树间的斜坡距离为
$2\sqrt{3}$
m.答案
11. $2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形在实际生活中的应用题，解题思路如下：第一步，先将实际问题转化为几何模型：坡面、水平面、树的竖直高度可以构成一个直角三角形，其中坡角30°是直角三角形的一个锐角，相邻两树的水平距离是这个锐角的邻边，要求的斜坡距离是直角三角形的斜边；第二步，回忆锐角余弦函数的定义：锐角的余弦=邻边÷斜边，已知邻边长度和锐角角度，就可以求出斜边也就是斜坡距离。
【解析】
我们将山坡种树的场景抽象为直角三角形模型：
设相邻两棵树间的斜坡距离为$x$ m，
已知坡角为$30°$，相邻两树的水平距离为3 m，即直角三角形中$30°$角的邻边长为3 m，斜边长为$x$。
根据余弦函数的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，代入数据得：
$\cos30°=\frac{3}{x}$
因为$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{x}$
交叉相乘解得：$x=\frac{3×2}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角余弦函数
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是三角函数结合实际场景的基础题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，找准已知量和待求量对应的边角关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形在实际生活中的应用题，解题思路如下：第一步，先将实际问题转化为几何模型：坡面、水平面、树的竖直高度可以构成一个直角三角形，其中坡角30°是直角三角形的一个锐角，相邻两树的水平距离是这个锐角的邻边，要求的斜坡距离是直角三角形的斜边；第二步，回忆锐角余弦函数的定义：锐角的余弦=邻边÷斜边，已知邻边长度和锐角角度，就可以求出斜边也就是斜坡距离。
【解析】
我们将山坡种树的场景抽象为直角三角形模型：
设相邻两棵树间的斜坡距离为$x$ m，
已知坡角为$30°$，相邻两树的水平距离为3 m，即直角三角形中$30°$角的邻边长为3 m，斜边长为$x$。
根据余弦函数的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$，代入数据得：
$\cos30°=\frac{3}{x}$
因为$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{x}$
交叉相乘解得：$x=\frac{3×2}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角余弦函数
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是三角函数结合实际场景的基础题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，找准已知量和待求量对应的边角关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在边$AC$上，$∠ DBC=∠ A$。如果$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，那么$BD$的长度为
$\dfrac{15}{4}$
。答案
12. $\dfrac{15}{4}$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据余弦的定义，结合已知的$\cos A$和$AC$的长度求出斜边$AB$的长；2. 利用勾股定理计算出直角边$BC$的长度；3. 由$∠ DBC=∠ A$可知两个角的余弦值相等，再在$\mathrm{Rt}△BCD$中，根据余弦的定义建立关于$BD$的等式，求解即可得到$BD$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由余弦的定义得$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，
已知$AC=4$，代入得$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
因为$∠ DBC=∠ A$，所以$\cos∠ DBC=\cos A=\frac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ C=90°$，
由余弦的定义得$\cos∠ DBC=\frac{BC}{BD}$，
代入已知值得$\frac{4}{5}=\frac{3}{BD}$，解得$BD=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
余弦的定义、勾股定理、等角的三角函数值相等
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题的关键是利用等角的余弦值相等，将已知条件转化到待求线段所在的直角三角形中求解，计算难度小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据余弦的定义，结合已知的$\cos A$和$AC$的长度求出斜边$AB$的长；2. 利用勾股定理计算出直角边$BC$的长度；3. 由$∠ DBC=∠ A$可知两个角的余弦值相等，再在$\mathrm{Rt}△BCD$中，根据余弦的定义建立关于$BD$的等式，求解即可得到$BD$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由余弦的定义得$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，
已知$AC=4$，代入得$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
因为$∠ DBC=∠ A$，所以$\cos∠ DBC=\cos A=\frac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ C=90°$，
由余弦的定义得$\cos∠ DBC=\frac{BC}{BD}$，
代入已知值得$\frac{4}{5}=\frac{3}{BD}$，解得$BD=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
余弦的定义、勾股定理、等角的三角函数值相等
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题的关键是利用等角的余弦值相等，将已知条件转化到待求线段所在的直角三角形中求解，计算难度小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系中，点$P(x,y)$在第一象限内，$O$是坐标原点，$OP$与$x$轴正半轴的夹角为$α$。如果$\cosα=\dfrac{12}{13}$，$x = 12$，那么点$P$的坐标是
$(12,5)$
。答案
13. $(12,5)$.
解析
【分析】
解题时先结合平面直角坐标系的特征，过点P作x轴的垂线构造直角三角形：根据余弦的定义，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比值，这里邻边就是点P的横坐标x=12，斜边是OP的长度，先通过已知的cosα求出OP的长；再用勾股定理求出点P的纵坐标y，结合P在第一象限，y为正，最终得到P的坐标。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴，垂足为A，则$∠ PAO=90°$，$OA=x=12$。
在$\mathrm{Rt}△ POA$中，$\cosα = \dfrac{OA}{OP}$，代入$\cosα=\dfrac{12}{13}$，$OA=12$，得：
$\dfrac{12}{OP}=\dfrac{12}{13}$，解得$OP=13$。
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
因为点P在第一象限，所以纵坐标$y=PA=5$，即点P的坐标为$(12,5)$。
【答案】
$(12,5)$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，象限内点的坐标特征
【点评】
本题将锐角三角函数、勾股定理与平面直角坐标系结合考查，解题关键是正确构造直角三角形，利用三角函数定义求出斜边长度，计算时注意第一象限内点的横纵坐标均为正数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平面直角坐标系的特征，过点P作x轴的垂线构造直角三角形：根据余弦的定义，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比值，这里邻边就是点P的横坐标x=12，斜边是OP的长度，先通过已知的cosα求出OP的长；再用勾股定理求出点P的纵坐标y，结合P在第一象限，y为正，最终得到P的坐标。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴，垂足为A，则$∠ PAO=90°$，$OA=x=12$。
在$\mathrm{Rt}△ POA$中，$\cosα = \dfrac{OA}{OP}$，代入$\cosα=\dfrac{12}{13}$，$OA=12$，得：
$\dfrac{12}{OP}=\dfrac{12}{13}$，解得$OP=13$。
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
因为点P在第一象限，所以纵坐标$y=PA=5$，即点P的坐标为$(12,5)$。
【答案】
$(12,5)$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，象限内点的坐标特征
【点评】
本题将锐角三角函数、勾股定理与平面直角坐标系结合考查，解题关键是正确构造直角三角形，利用三角函数定义求出斜边长度，计算时注意第一象限内点的横纵坐标均为正数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
14. 小海要测量一座古塔的高度，他在离古塔100 m的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为$37°20'$，示意图如图所示. 如果测角仪器AD的高为1.5 m，那么古塔BE的高为
$77.8\ \mathrm{m}$
.（精确到0.1 m）答案
14. $77.8\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
这是一道仰角测量类的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：1. 先作辅助线构造直角三角形和矩形，将古塔高度拆分为两部分：一部分与测角仪器高度相等，另一部分是直角三角形的对边；2. 利用矩形性质得到直角三角形的邻边长度；3. 结合仰角的正切值，求出直角三角形的对边长度；4. 两段长度相加即为古塔总高度，最后按要求取近似值即可。
【解析】
过点$A$作$AC⊥ BE$，垂足为$C$，
$\therefore$ 四边形$ADEC$是矩形，
$\therefore AC=ED=100\ \mathrm{m}$，$CE=AD=1.5\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=37°20'$，
根据正切的定义：$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
$\therefore BC=AC·\tan37°20'\approx100×0.763=76.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=BC+CE=76.3+1.5=77.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$77.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是实际测量高度的常规题型，核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，合理作辅助线拆分未知线段，结合三角函数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是一道仰角测量类的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：1. 先作辅助线构造直角三角形和矩形，将古塔高度拆分为两部分：一部分与测角仪器高度相等，另一部分是直角三角形的对边；2. 利用矩形性质得到直角三角形的邻边长度；3. 结合仰角的正切值，求出直角三角形的对边长度；4. 两段长度相加即为古塔总高度，最后按要求取近似值即可。
【解析】
过点$A$作$AC⊥ BE$，垂足为$C$，
$\therefore$ 四边形$ADEC$是矩形，
$\therefore AC=ED=100\ \mathrm{m}$，$CE=AD=1.5\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=37°20'$，
根据正切的定义：$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
$\therefore BC=AC·\tan37°20'\approx100×0.763=76.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=BC+CE=76.3+1.5=77.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$77.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是实际测量高度的常规题型，核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，合理作辅助线拆分未知线段，结合三角函数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15. 在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$AC=\dfrac{7}{2}$，$AB=4$，那么$BC=$
$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{5}{2}$
.答案
15. $\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题给出了三角形的一个内角、该角的对边以及一条邻边，要求另一条邻边的长度。我们可以利用余弦定理建立关于未知边BC的一元二次方程求解，也可以通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求解，两种方法都需要注意最终解要符合三角形三边的构成条件，避免漏解。
【解析】
设BC的长度为x，根据余弦定理：三角形任意一边的平方等于另外两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，对于∠B有：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2· AB· BC· \cos B$
将已知条件$∠B=60°$，$AC=\frac{7}{2}$，$AB=4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$代入得：
$(\frac{7}{2})^2 = 4^2 + x^2 - 2×4× x×\frac{1}{2}$
计算整理：
$\frac{49}{4} = 16 + x^2 - 4x$
两边同乘4消去分母：
$49 = 64 + 4x^2 - 16x$
移项化为标准一元二次方程：
$4x^2 - 16x + 15 = 0$
因式分解得：$(2x-3)(2x-5)=0$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$。
经检验，两个解均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），均为有效解。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$
【知识点】
余弦定理、一元二次方程求解、三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形边角关系的应用，解题时要注意考虑多解情况，求出解后要验证是否符合三角形的构成条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题给出了三角形的一个内角、该角的对边以及一条邻边，要求另一条邻边的长度。我们可以利用余弦定理建立关于未知边BC的一元二次方程求解，也可以通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求解，两种方法都需要注意最终解要符合三角形三边的构成条件，避免漏解。
【解析】
设BC的长度为x，根据余弦定理：三角形任意一边的平方等于另外两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，对于∠B有：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2· AB· BC· \cos B$
将已知条件$∠B=60°$，$AC=\frac{7}{2}$，$AB=4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$代入得：
$(\frac{7}{2})^2 = 4^2 + x^2 - 2×4× x×\frac{1}{2}$
计算整理：
$\frac{49}{4} = 16 + x^2 - 4x$
两边同乘4消去分母：
$49 = 64 + 4x^2 - 16x$
移项化为标准一元二次方程：
$4x^2 - 16x + 15 = 0$
因式分解得：$(2x-3)(2x-5)=0$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$。
经检验，两个解均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），均为有效解。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$
【知识点】
余弦定理、一元二次方程求解、三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形边角关系的应用，解题时要注意考虑多解情况，求出解后要验证是否符合三角形的构成条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
